第十五章 分式（10個知識歸納）

第十五章分式（知識歸納）一、分式的定義分式：一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么稱為分式．分式中，A叫做分子，B叫做分母．注：=1\*GB3①分式可以理解為兩個整式相除的商，分母是除數(shù)，分子是被除數(shù)，分數(shù)線是除號。=2\*GB3②整式B作為分母，則整式B0.=3\*GB3③只要最終能轉(zhuǎn)化為形式即可.=4\*GB3④B中若無字母，則變成系數(shù)乘A，為整式.二、分式的相關(guān)概念（1）分式有意義的條件：分母不為0，即B0（2）分式的值為0的條件：分子為0，且分母不為0，即A=0且B0（3）分式為正的條件：分子與分母的積為正，即AB>0（4）分式為負的條件：分子與分母的積為負，即AB<0三、分式的基本性質(zhì)（1）分數(shù)的性質(zhì)（特點）如下：=1\*GB3①分母不能為零;=2\*GB3②分數(shù)分子分母同乘除不為零的數(shù)，分數(shù)的大小不變;=3\*GB3③分數(shù)的通分與約分（短除法）.（2）分式是分數(shù)的拓展延伸，分式有與分數(shù)類似的性質(zhì)（特點）：=1\*GB3①分式分母也不能為零=2\*GB3②分式分子分母同乘除一個不為零的整式，分式大小不變。即：用式子表示為或，其中A，B，C均為整式．=3\*GB3③分式的通分與約分在知識點4中詳細講解.四、分式的約分與通分（1）分式的約分：與分數(shù)的約分類似，約去分式分子、分母中的公因式（最大公約數(shù)）.注：有時，分式分子、分母需進行一定的轉(zhuǎn)換才有公因式。（2）最簡分式：分子、分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．注：約分一般是將一個分式化為最簡分式，分式約分所得的結(jié)果有時可能成為整式．（3）分式的通分：利用分式的性質(zhì)，將分式的分母變成最小公倍數(shù)，分子根據(jù)分母擴大的倍數(shù)相應擴大，不改變分式的值。步驟：=1\*GB3①通過短除法，求出分式分母的最小公倍數(shù)；=2\*GB3②分母變?yōu)樽钚」稊?shù)的值，確定原式分母擴大的倍數(shù);=3\*GB3③分子對應擴大相同倍數(shù).（4）最簡公分母：幾個分式通分時，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡公分母．五、分式的混合運算分式是分數(shù)的擴展，因此分式的運算法則與分數(shù)的運算法則類似：（1）分式的加減①同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減．用式子表示為：．②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p．用式子表示為：．（2）分式的乘法乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．用式子表示為：．（3）分式的除法除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．用式子表示為：．（4）分式的乘方乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示為：為正整數(shù)，．（5）分式的混合運算含有分式的乘方、乘除、加減的多種運算叫做分式的混合運算．混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號的，先算括號里的．注：上述所有計算中，結(jié)果中分子、分母可約分的，需進行約分化為最簡分式六、整數(shù)指數(shù)冪（冪的運算的擴大）（1）前面已學習：=1\*GB3①am?an=am+n，（m，n是正整數(shù)）；=2\*GB3②（am）=3\*GB3③（ab）m=ambm，（m是正整數(shù)）；=4\*GB3④am÷an=am?n，（a≠0，m=5\*GB3⑤（ab）n=anbn，（n是正整數(shù)）；=6\*GB3若按照=4\*GB3④運算，當m<n時。如：a2÷a3=（2）針對這種現(xiàn)象，我們規(guī)定，當n為正整數(shù)時，a?n=1a（3）冪的運算性質(zhì)擴大當a≠0時=1\*GB3①am?an=2\*GB3②（am）n=3\*GB3③（ab）m=am（4）利用負指數(shù)化除為乘，設m，n為正整數(shù)，a≠0，根據(jù)定義am÷a（5）科學記數(shù)法的擴大一般，一個小于1的數(shù)可以表示為a×10?n的形式，其中步驟：確定a值的大小。1＜a＜10；確定n的值。原數(shù)變?yōu)閍后，小數(shù)點向前移動x位，則原數(shù)相應擴大了10x倍。故n七、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判定一個方程為分式方程的依據(jù)．八、分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母．（2）解分式方程的步驟：①找最簡公分母，當分母是多項式時，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗根．注意：解分式方程過程中，易錯點有：①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項；②忘記驗根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．九、增根在方程變形時，有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程要驗根，其方法是將根代入最簡公分母中，使最簡公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根．若這個整式方程本身無解，當然原分式方程就一定無解．十、分式方程的應用（1）分式方程的