數(shù)字信號(hào)處理原理配套習(xí)題答案第8章FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)習(xí)題解答

8.1：FIR低通濾波器的脈沖響應(yīng)h(n)是由理想低通濾波器的脈沖響應(yīng)?dh當(dāng)n=?對(duì)于給定的N=21,濾波器的階數(shù)是20，即n=0,1,2,...,20，中心位置為n=10,理想脈沖響應(yīng)需要乘以矩形窗,矩形窗函數(shù)ω(n)的值為1，因此濾波器的脈沖響應(yīng)h頻率響應(yīng)H(ejωStep1:計(jì)算理想低通濾波器的脈沖響應(yīng)h?矩形窗函數(shù)：ω濾波器的脈沖響應(yīng):h(n)=Step2:計(jì)算頻率響應(yīng)通過(guò)傅里葉變換(DTFT)，求解H(H(8.2：與上題類似：Step1:計(jì)算理想低通濾波器的脈沖響應(yīng)h?三角形窗函數(shù)ωh(n)=Step2:計(jì)算頻率響應(yīng)通過(guò)傅里葉變換(DTFT)，求解H(H(8.3:理想高通濾波器的脈沖響應(yīng)hdhhStep1:N=51，αhhStep2:漢寧窗的公式為：ωh(n)=8.4:理想帶通濾波器的脈沖響應(yīng)hdhStep1:hStep2:海明窗的表達(dá)式為：ωh(n)=8.5：hStep1：其中，M=hStep2：布萊克曼窗ωω8.6:理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為：H其對(duì)應(yīng)的時(shí)域沖激響應(yīng)為：?凱澤窗:ω其中I0若ω8.7：通常，阻帶衰減要求與過(guò)渡帶寬度一起決定了窗函數(shù)的類型：1、漢明窗：阻帶衰減約為44dB2、凱澤窗：通過(guò)調(diào)整窗系數(shù)β可以滿足更大的阻帶衰減要求為滿足-45dB的阻帶衰減，選擇凱澤窗并根據(jù)阻帶衰減和過(guò)渡帶寬度來(lái)確定Step1：濾波器長(zhǎng)度N計(jì)算：凱澤窗法中，N和過(guò)渡帶寬度?ω的N其中，A是是阻帶衰減的絕對(duì)值，即A=-45dB，帶入得到NStep2：理想低通濾波器的沖激響應(yīng)計(jì)算hStep3：凱澤窗ω8.8：(1)?則H由上式可以看出|因?yàn)?1(n)是偶對(duì)稱序列，根據(jù)線性相位的定義，它是一個(gè)線性相位濾波器，其時(shí)延為N?12=3.5，令要知兩個(gè)濾波器的性能,必須求出它們各自的頻率響應(yīng)的幅度函數(shù),根據(jù)它們的通帶起伏以及阻帶衰減的情況,來(lái)加以比較。由于N=8是偶數(shù)，又是線性相位，則H(可以令??及??代入可得HH從阻帶看,H1(ω)的阻帶衰減大,而H2(ω)的阻帶衰減小,這一點(diǎn)8.9由H(z)z其中z01和z02、z03和z04互為共軛零點(diǎn)。為了使新系統(tǒng)滿足單位抽樣響應(yīng)為實(shí)數(shù),必須滿足新系統(tǒng)的零點(diǎn)保持共軛分布,因此在移動(dòng)零點(diǎn)過(guò)程中應(yīng)將z01和z因此總共可得到的新系統(tǒng)的個(gè)數(shù)為M=總共可得到的系統(tǒng)個(gè)數(shù)為M+1=16由系統(tǒng)零點(diǎn)分布可知,系統(tǒng)有3個(gè)零點(diǎn)分布在單位圓外,即z用全通系統(tǒng)將這些零點(diǎn)映射到單位圓內(nèi)可得到最小相位系統(tǒng)。H(1?0.7其中最小相位系統(tǒng)為H(1?要獲得最大相位系統(tǒng),需要將原H(z)級(jí)聯(lián)一個(gè)全通系統(tǒng),把單位圓內(nèi)的零點(diǎn)映射到單位圓外。滿足要求的全通系統(tǒng)為H從而可得最大相位系統(tǒng)為H×8.10由于HBP(eH且φ(H所以帶阻濾波器可以表示為：H(2)?考慮到φ(φ?8.11因?yàn)V波器的沖激響應(yīng)具有反對(duì)稱性質(zhì)，即h(n)=?h(N?1?n)故當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，有h(H(上式中n用N?12H(由于濾波器的頻率響應(yīng)為H(令c(n)=2h(得到H(8.12(1)H(首先計(jì)算?minH再計(jì)算?(n)的幅頻響應(yīng)H(進(jìn)行變量替換,令m=N?1?n,則n=N?1?m,當(dāng)n=0時(shí),m=N?1,當(dāng)n=N?1時(shí),m=0,因此幅頻響應(yīng)可以改寫為H(利用e?jH(由于幅頻響應(yīng)只關(guān)注幅度，不關(guān)注相位，因此兩者具有相同的幅頻響應(yīng)(2)一個(gè)系統(tǒng)是最大相位系統(tǒng)，當(dāng)其單位沖激響應(yīng)h(n)的所有非零系數(shù)的時(shí)延響應(yīng)都是正的。由于h(n)=?min(N?1?n)?？梢钥吹?h(n)的系數(shù)是反向排列的，這意味著系統(tǒng)在頻域中的相位響應(yīng)為負(fù)的，因?yàn)槊恳粋€(gè)8.13題8.1的MATLAB實(shí)現(xiàn)：%參數(shù)設(shè)置N=21;%濾波器階數(shù)wc=0.5*pi;%截止頻率M=(N-1)/2;%中心位置%計(jì)算理想脈沖響應(yīng)h_d(n)n=0:(N-1);hd=sinc((n-M)*0.5);%0.5=wc/pi%矩形窗w(n)，所有值為1w=ones(1,N);%計(jì)算加窗后的脈沖響應(yīng)h(n)h=hd.*w;%計(jì)算頻率響應(yīng)H(e^jw)H=fft(h,1024);%使用FFT計(jì)算頻率響應(yīng)H=fftshift(H);%將零頻率移到中心w_freq=linspace(-pi,pi,length(H));%頻率范圍%繪制頻率響應(yīng)|H(e^jw)|的對(duì)數(shù)刻度f(wàn)igure;plot(w_freq,20*log10(abs(H)));title('20\log_{10}|H(e^{j\omega})|');xlabel('Frequency[radians/sample]');ylabel('Magnitude[dB]');gridon;題8.2的MATLAB實(shí)現(xiàn)%參數(shù)設(shè)置N=51;%濾波器階數(shù)wc=0.5*pi;%截止頻率M=(N-1)/2;%中心位置%計(jì)算理想脈沖響應(yīng)h_d(n)n=0:N-1;%n從0到N-1hd=sinc((n-M)*0.5);%理想脈沖響應(yīng)，0.5=wc/pi%計(jì)算三角形窗w(n)w=1-abs((2*n)/(N-1)-1);%計(jì)算加窗后的脈沖響應(yīng)h(n)h=hd.*w;%計(jì)算頻率響應(yīng)H(e^jw)H=fft(h,1024);%使用FFT計(jì)算頻率響應(yīng)H=fftshift(H);%將零頻率移到中心w_freq=linspace(-pi,pi,length(H));%頻率軸%繪制頻率響應(yīng)|H(e^jw)|的對(duì)數(shù)刻度f(wàn)igure;plot(w_freq,20*log10(abs(H)));title('20\log_{10}|H(e^{jw})|');xlabel('Frequency[radians/sample]');ylabel('Magnitude[dB]');gridon;8.13%參數(shù)設(shè)置w_c=0.2*pi;%帶寬w_0=0.6*pi;%中心頻率N=51;%濾波器階數(shù)%生成nn=(0:N-1)-(N-1)/2;%以0為中心的對(duì)稱范圍%理想頻率響應(yīng)：定義相對(duì)于中心頻率w_0的帶通濾波器h_n=(sin(w_c*n).*cos(w_0*n))./(pi*n);%sinc調(diào)制h_n((N-1)/2+1)=cos(w_0*n((N-1)/2+1))*w_c/pi;%處理n=0的情況%應(yīng)用布萊克曼窗h_n=h_n.*blackman(N)';%確保窗的維度匹配%計(jì)算頻率響應(yīng)[H,w]=freqz(h_n,1,8000);H_dB=20*log10(abs(H));%繪圖figure;plot(w/pi,H_dB,'LineWidth',1.5);title('FIR帶通濾波器的幅度響應(yīng)（90度相移）');xlabel('歸一化頻率(×\pirad/sample)');ylabel('幅度(dB)');gridon;legend('20*log10|H(e^{j\omega})|');8.15選擇凱澤窗，N=51%參數(shù)設(shè)定wc=0.5*pi;%截止頻率N=51;%增加濾波器長(zhǎng)度%理想低通濾波器的沖激響應(yīng)n=0:(N-1);h_d=sinc((wc/pi)*(n-(N-1)/2));%漢明窗w_hamming=hamming(N)';%實(shí)際濾波器系數(shù)h=h_d.*w_hamming;%計(jì)算頻率響應(yīng)[H,w]=freqz(h(:),1,8000);%將h轉(zhuǎn)換為列向量H_dB=20*log10(abs(H));%繪制幅度響應(yīng)figur