東大《傳熱學》課件：導熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導熱

2020/11/12Thursday1第二章導熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導熱2-1導熱基本定律2-2導熱微分方程式及定解條件2-3通過平壁、圓筒壁、球殼和其它變截面物體的導熱2-4通過肋片的導熱2-5具有內熱源的導熱及多維導熱2020/11/12Thursday2§2-1導熱基本定律(1)溫度場：三維非穩(wěn)態(tài)溫度場：三維穩(wěn)態(tài)溫度場：一維穩(wěn)態(tài)溫度場：二維穩(wěn)態(tài)溫度場：1幾個基本概念:溫度場、等溫面、等溫線、溫度梯度、熱流密度矢量2020/11/12Thursday3§2-1導熱基本定律（續(xù)）(2)等溫線(3)等溫面圖2-1溫度場的圖示(4)等溫面和等溫線的特點2020/11/12Thursday42導熱基本定律——FourierLaw對于一維情況，對于三維直角坐標系情況，有通用形式的FourierLaw圖2-2溫度梯度2020/11/12Thursday5§2-1導熱基本定律（續(xù)）(1)物理意義：熱導率的數(shù)值就是物體中單位溫度梯度、單位時間、通過單位面積的導熱量。熱導率的數(shù)值表征物質導熱能力大小，由實驗測定。(2)影響因素：物質的種類、材料成分、溫度、濕度、壓力、密度等3導熱系數(shù)(熱導率)2020/11/12Thursday6A氣體的導熱系數(shù)特點：(a)氣體的導熱系數(shù)基本不隨壓力的改變而變化

(b)隨溫度的升高而增大

(c)隨分子質量減小而增大B液體的導熱系數(shù)特點：(a)隨壓力的升高而增大

(b)隨溫度的升高而減小2020/11/12Thursday7特點：純金屬：合金和非金屬：金屬的導熱系數(shù)與溫度的依變關系參見圖2-7C固體的導熱系數(shù)保溫材料：國家標準規(guī)定，溫度低于350度時導熱系數(shù)小于0.12W/(mK)的材料（絕熱材料）2020/11/12Thursday8圖2-7導熱系數(shù)對溫度的依變關系2020/11/12Thursday9第二章導熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導熱2-1導熱基本定律2-2導熱微分方程式及定解條件2-3通過平壁、圓筒壁、球殼和其它變截面物體的導熱2-4通過肋片的導熱2-5具有內熱源的導熱及多維導熱2020/11/12Thursday10§2-2導熱微分方程式及定解條件1導熱微分方程式的推導為什么需要導熱微分方程？理論基礎：Fourier定律+能量守恒定律導熱微分方程式下面我們來考察一個矩形微元六面體，如下圖所示。xyzxx+dxdx2020/11/12Thursday11假設：(1)所研究的物體是各向同性的連續(xù)介質

(2)導熱系數(shù)、比熱容和密度均為已知

(3)物體內具有內熱源；強度[W/m3];內熱源均勻分布；2020/11/12Thursday12dyyxodx§2-2導熱微分方程式及定解條件（續(xù)）根據(jù)能量守恒定律有：導入微元體的總熱流量in+微元體內熱源的生成熱g=導出微元體的總熱流量out+微元體熱力學能的增量sta導入微元體的總熱流量Ein2020/11/12Thursday13§2-2導熱微分方程式及定解條件（續(xù)）b導出微元體的總熱流量Eout采用Taylor級數(shù)展開，并忽略高階項，則有dyyxodx2020/11/12Thursday14§2-2導熱微分方程式及定解條件（續(xù)）c內熱源的生成熱d熱力學能的增量？把Qin、Qout、Qg、Qst帶入前面的能量守恒方程這就是三維、非穩(wěn)態(tài)、變物性、有內熱源的導熱微分方程的一般形式。得：2020/11/12Thursday15§2-2導熱微分方程式及定解條件（續(xù)）2幾種特殊情況(1)若物性參數(shù)、c和均為常數(shù)：(2)無內熱源、常物性：(3)穩(wěn)態(tài)、常物性：(4)穩(wěn)態(tài)、常物性、無內熱源：物理意義？友情提示：非直角坐標系下的導熱微分方程式自己看2020/11/12Thursday16非穩(wěn)態(tài)項擴散項源項是不是有了導熱微分方程式，就可以獲得溫度分布呢？答案是否定的！定解條件(單值性條件)導熱微分方程+定解條件+求解方法=確定的溫度場定解條件包括四項：幾何、物理、時間、邊界下面詳細介紹邊界條件！2020/11/12Thursday17§2-2導熱微分方程式及定解條件（續(xù)）邊界條件：規(guī)定了物體與外部環(huán)境之間的換熱條件，包括以下三類：a第一類邊界條件:已知任一瞬間導熱體邊界上的溫度值：最簡單的情況為：2020/11/12Thursday18b第二類邊界條件:已知任一瞬間導熱體邊界上的熱流密度：§2-2導熱微分方程式及定解條件（續(xù)）對于非穩(wěn)態(tài)：最簡單的情況為：第二類邊界條件相當于已知任何時刻物體邊界面法向的溫度梯度值qw特例：絕熱邊界面：2020/11/12Thursday19§2-2導熱微分方程式及定解條件（續(xù)）c第三類邊界條件:當物體壁面與流體相接觸進行對流換熱時，已知任一時刻邊界面周圍流體的溫度和表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)Newton冷卻公式：Fourier定律：特例：tf,hx

h=0時，變?yōu)榻^熱邊界條件

h時，變?yōu)榈谝活愡厳l2020/11/12Thursday20在任意直角坐標系下，對于以下兩種關于第三類邊界條件的表達形式，你認為哪個對？簡述理由。In-ClassProblems2020/11/12Thursday21QuickReview：1重要概念：溫度場、溫度梯度、導熱系數(shù)及其性質、導溫系數(shù)（熱擴散率）定義及性質；2導熱微分方程式的理論基礎及推導過程3導熱微分方程式的一般形式、組成、及在推導給定條件下的具體形式；靈活運用導熱微分方程，如溫度的空間分布通過導熱方程與時間分布建立聯(lián)系等定解條件？邊界條件？三類邊界條件的數(shù)學表達式？2020/11/12Thursday22第二章導熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導熱2-1導熱基本定律2-2導熱微分方程式及定解條件2-3通過平壁、圓筒壁、球殼和其它變截面物體的導熱2-4通過肋片的導熱2-5具有內熱源的導熱及多維導熱2020/11/12Thursday23§2-3通過平壁，圓筒壁，球殼和其它變截面物體的導熱本節(jié)將針對一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無內熱源情況，考察平板和圓柱內的導熱。直角坐標系：1單層平壁的導熱o

xa幾何條件：單層平板；

b物理條件：、c、為常數(shù)并已知；無內熱源c時間條件：

d邊界條件：第一類2020/11/12Thursday24§2-3通過平壁，圓筒壁和其它變截面物體的導熱（續(xù)）xo

t1tt2直接積分，得：根據(jù)上面的條件可得：第一類邊條：控制方程邊界條件求解方法帶入邊界條件：2020/11/12Thursday25帶入Fourier定律§2-3通過平壁，圓筒壁和其它變截面物體的導熱（續(xù)）線性分布2020/11/12Thursday262多層平壁的導熱§2-3通過平壁，圓筒壁和其它變截面物體的導熱（續(xù)）t1t2t3t4t1t2t3t4三層平壁的穩(wěn)態(tài)導熱多層平壁：由幾層不同材料組成

邊界條件：熱阻：2020/11/12Thursday27§2-3通過平壁，圓筒壁和其它變截面物體的導熱（續(xù)）由熱阻分析法：問：知道了q，如何計算其中第i層的右側壁溫？第一層：第二層：第i層：t1t2t3t4t1t2t3t42020/11/12Thursday28§2-3通過平壁，圓筒壁和其它變截面物體的導熱（續(xù)）單位：t1t2t3t2三層平壁的穩(wěn)態(tài)導熱t(yī)f1t2t3tf2h1h2tf2tf1？？總傳熱系數(shù)？多層、第三類邊條2020/11/12Thursday293單層圓筒壁的導熱§2-3通過平壁，圓筒壁和其它變截面物體的導熱（續(xù)）圓柱坐標系：一維、穩(wěn)態(tài)、無內熱源、常物性：第一類邊界條件：(a)2020/11/12Thursday30§2-3通過平壁，圓筒壁和其它變截面物體的導熱（續(xù)）對上述方程(a)積分兩次:第一次積分第二次積分應用邊界條件獲得兩個系數(shù)將系數(shù)帶入第二次積分結果顯然，溫度呈對數(shù)曲線分布2020/11/12Thursday31§2-3通過平壁，圓筒壁和其它變截面物體的導熱（續(xù)）下面來看一下圓筒壁內部的熱流密度和熱流分布情況

長度為l的圓筒壁的導熱熱阻雖然是穩(wěn)態(tài)情況，但熱流密度q與半徑r成反比！2020/11/12Thursday324n層圓筒壁由不同材料構成的多層圓筒壁，其導熱熱流量可按總溫差和總熱阻計算通過單位長度圓筒壁的熱流量2020/11/12Thursday33單層圓筒壁，第三類邊條，穩(wěn)態(tài)導熱通過單位長度圓筒壁傳熱過程的熱阻[mK/W]h1h22020/11/12Thursday34(1)單層圓筒壁（續(xù)）h1h2思考：壁面溫度分布應如何求出？(2)多層圓筒壁通過球殼的導熱自己看？2020/11/12Thursday35§2-3通過平壁，圓筒壁和其它變截面物體的導熱（續(xù)）5其它變面積或變導熱系數(shù)問題求解導熱問題的主要途徑分兩步：求解導熱微分方程，獲得溫度場；根據(jù)Fourier定律和已獲得的溫度場計算熱流量。對于穩(wěn)態(tài)、無內熱源、第一類邊條下的一維導熱問題，可以不通過溫度場而直接獲得熱流量。此時，一維Fourier定律：當＝(t),A=A(x)時，2020/11/12Thursday36分離變量后積分，并注意到熱流量Φ與x無關，得定義

當隨溫度呈線性分布時，即＝0＋at，則實際上，不論如何變化，只要能計算出平均導熱系數(shù)，就可以利用前面講過的所有定導熱系數(shù)公式，只是需要將換成平均導熱系數(shù)。作業(yè)：

2-1

2-6:空氣的導熱系數(shù)從附錄8查詢，溫度取(-20+20)/2=0

2-9:平均導熱系數(shù)從附錄7查詢

2-13

2-15:不用求解，只需要列出微分方程和邊界條件2020/11/12Thursday372020/11/12Thursday38In-ClassProblems某時刻，厚度為1m的平板內的溫度分布為：式中t為溫度[C]；x沿厚度方向的位置坐標[m]；a=900C，b=-300C/m，andc=-50C/m2。均勻內熱源，平板面積A=10m2，其他物性為：=1600kg/m3，=40w/(m?K)，cp=4kJ/(kg?K)1確定在x=0m壁面進入平板的熱量和x=1m壁面逸出的熱量；2確定平板內熱力學能（內能）的變化率st；3確定在x=0，0.25，and0.5m處溫度隨時間的變化率求解七步驟：Known,Find,Schematic,Assumptions,Properties,Analysis,Comments2020/11/12Thursday39QuickReview：1第三類邊界條件中兩個溫度的含義和先后順序的確定2通過微分方程獲得溫度分布的思路，以及在已知溫度分布的前提下，如何獲得熱流量/熱流密度？3平板導熱熱阻、圓筒壁導熱熱阻、對流換熱熱阻的含義和公式4一維、穩(wěn)態(tài)情況下，平板、圓筒壁內溫度分布的特點和傳熱熱流量的計算5已知換熱量的情況下，如何計算邊界面溫度2020/11/12Thursday40主要研究內容：2-1導熱基本定律2-2導熱微分方程式及定解條件2-3通過平壁、圓筒壁、球殼和其它變截面物體的導熱2-4通過肋片的導熱2-5具有內熱源的導熱及多維導熱第二章導熱基本定律及穩(wěn)態(tài)導熱2020/11/12Thursday41§2-4通過肋片的導熱第三類邊界條件下通過平壁的一維穩(wěn)態(tài)導熱：為了增加傳熱量，可以采取哪些措施?（1）增大溫差（tf1-tf2），但受工藝條件限制（2）減小熱阻：

a)金屬壁一般很薄(很小)、熱導率很大，故導熱熱阻一般可忽略b)增大h1、h2，但提高h1、h2并非任意的c)增大換熱面積A也能增加傳熱量2020/11/12Thursday42在一些換熱設備中，在換熱面上加裝肋片是增大換熱量的重要手段,肋壁：直肋、環(huán)肋；等截面、變截面等§2-4通過肋片的導熱(續(xù))2020/11/12Thursday431通過等截面直肋的導熱§2-4通過肋片的導熱(續(xù))l已知：矩形直肋肋根溫度為t0，且t0>t肋片與環(huán)境的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h.

，h和Ac均保持不變求：溫度場t和熱流量2020/11/12Thursday44分析：將問題簡化為一維問題?§2-4通過肋片的導熱(續(xù))簡化：a長度l>>andH假設肋片長度方向溫度均勻

b大、<<H，認為溫度沿厚度方向均勻邊界：肋根：第一類；肋端：絕熱；四周：對流換熱求解：這個問題可以從兩個方面入手：

a導熱微分方程，例如書上第38頁

b能量守恒＋FourierLaw2020/11/12Thursday45§2-4通過肋片的導熱(續(xù))能量守恒：Fourier定律：Newton冷卻公式：關于溫度的二階非齊次常微分方程2020/11/12Thursday46§2-4通過肋片的導熱(續(xù))導熱微分方程：混合邊界條件：引入過余溫度。令則有：2020/11/12Thursday47§2-4通過肋片的導熱(續(xù))方程的通解為：應用邊界條件可得：最后可得等截面內的溫度分布：雙曲余弦函數(shù)雙曲正切函數(shù)雙曲正弦函數(shù)2020/11/12Thursday48§2-4通過肋片的導熱(續(xù))穩(wěn)態(tài)條件下肋片表面的散熱量=通過肋基導入肋片的熱量肋端過余溫度：即x＝H2020/11/12Thursday49兩點說明：(1)上述推導中忽略了肋端的散熱（認為肋端絕熱）。對于一般工程計算，尤其高而薄的肋片，足夠精確。若必須考慮肋端散熱，?。篐c=H+/2(2)上述分析近似認為肋片溫度場為一維。當h/=Bi0.05時，誤差小于1%。對于短而厚的肋片，二維溫度場，上述算式不適用；實際上，肋片表面上表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h不是均勻一致的—數(shù)值計算2020/11/12Thursday50§2-4通過肋片的導熱(續(xù))2肋片效率為了從散熱的角度評價加裝肋片后換熱效果，引進肋片效率

2020/11/12Thursday51肋片的縱截面積影響肋片效率的因素：肋片材料的熱導率、肋片表面與周圍介質之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h、肋片的幾何形狀和尺寸（P、A、H）可見，與參量有關，其關系曲線如圖2－14所示。這樣，矩形直肋的散熱量可以不用(2-38)計算，而直接用圖2－14查出然后，散熱量ALAc2020/11/12Thursday52肋片熱阻2020/11/12Thursday53In-ClassProblems如右圖所示的等截面直肋，可以假設為一維穩(wěn)態(tài)導熱，問：（1）是否肋片一定能增強換熱？（2）如果不能，依據(jù)是什么？換熱增強2020/11/12Thursday54§2-4通過肋片的導熱(續(xù))3通過環(huán)肋及三角形截面直肋的導熱為了減輕肋片重量、節(jié)省材料，并保持散熱量基本不變，有時候需要采用變截面肋片，環(huán)肋及三角形截面直肋是其中的兩種。對于變截面肋片來講，由于從導熱微分方程求得的肋片散熱量計算公式相當復雜，因此，人們仿照等截面直肋。利用肋片效率曲線來計算方便多了，書中圖2－14和2－15分別給出了三角形直肋和矩形剖面環(huán)肋的效率曲線。2020/11/12Thursday55圖2－142020/11/12Thursday56圖2－152020/11/12Thursday574.通過接觸面的導熱當界面上的空隙中充滿導熱系數(shù)遠小于固體的氣體時，接觸熱阻的影響更突出接觸熱阻的產生？當兩固體壁具有溫差時，接合處的熱傳遞機理為接觸點間的固體導熱和間隙中的空氣導熱,對流和輻射的影響一般不大2020/11/12Thursday58（1）當熱流量不變時，接觸熱阻rc較大時，必然在界面上產生較大溫差（2）當溫差不變時，熱流量必然隨著接觸熱阻rc

的增大而下降（3）即使接觸熱阻rc不是很大，若熱流量很大，界面上的溫差仍是不容忽視的2020/11/12Thursday59接觸熱阻的影響因素：（1）固體表面的粗糙度（3）接觸面上的擠壓壓力（2）接觸表面的硬度匹配（4）空隙中的介質的性質在實驗研究與工程應用中，消除接觸熱阻很重要如何消除或減小接觸熱阻？2020/11/12Thursday601具有內熱源的導熱§2-5具有內熱源的導熱及多維導熱如圖所示，一無限大平板中具有均勻的內熱源，其兩側同時與溫度為tf的流體對流換熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h，現(xiàn)在要確定平板中任一x處的溫度及通過該截面的熱流密度。對稱邊界的處理？tfhtfhxt

0

tfhxt

02020/11/12Thursday61tfhxt

0xdx§2-5具有內熱源的導熱及多維導熱（續(xù)）控制方程:邊界條件:第幾類？第幾類？積分兩次：應用邊界條件：2020/11/12Thursday62§2-5具有內熱源的導熱及多維導熱（續(xù)）

與無內熱源的一維穩(wěn)態(tài)平板導熱相比，熱流密度不是常數(shù)，溫度呈二次曲線分布2020/11/12Thursday632二維穩(wěn)態(tài)導熱§2-5具有內熱源的導熱及多維導熱（續(xù)）工程上經常遇到二維和三維穩(wěn)態(tài)導熱問題，如？導熱微分方程式：二維、常物性、無內熱源上面方程求解方法：（1）分析解法（簡單形狀、線性邊界條件），常用分離變量法（2）數(shù)值計算（復雜形狀、復雜邊界條件）（3）利用導熱形狀因子（工程計算、兩個邊界的溫度恒定）2020/11/12Thursday64§2-5具有內熱源的導熱及多維導熱（續(xù)）1.分析解法（簡單形狀、線性邊界條件)分離變量法：這是個關于溫度的齊次方程，為能采用分離變量法，需要將其邊界條件表達式也齊次化（最多只能包含一個非齊次邊界條件）。為此，引進以下無量綱過余溫度作為求解變量2020/11/12Thursday65§2-5具有內熱源的導熱及多維導熱（續(xù)）于是上述方程變?yōu)椴捎梅蛛x變量法，令通解：2020/11/12Thursday66帶入邊界條件，并利用傅立葉級數(shù)，可得出溫度場的分析解二維溫度分布示意圖2020/11/12Thursday67§2-5具有內熱源的導熱及多維導熱（續(xù)）2.形狀因子法看一下如下幾個公式：(2-19)p.29一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無內熱源的平板導熱一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無內熱源的圓筒壁導熱(2-28)p.34一維、穩(wěn)態(tài)、常物性、無內熱源的球殼導熱(2-32)p.3