2023屆陜西省西安市長安區(qū)高三下學(xué)期一模理科數(shù)學(xué)試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1陜西省西安市長安區(qū)2023屆高三一模數(shù)學(xué)（理科）試卷長安區(qū)高三質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理科）試題注意事項：1.本試題共4頁，滿分150分，時間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上.3.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標號，回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分.共60分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗解指數(shù)不等式化簡集合B，再利用交集的定義求解作答.〖詳析〗解不等式得：，則，而，又，所以.故選：A2.甲乙兩位射擊運動員參加比賽，抽取連續(xù)6輪射擊比賽的成績情況如下：甲：80、70、80、90、90、70；乙：70、80、80、80、70、80則下列說法中正確的是（）A.甲比乙平均成績高，甲比乙成績穩(wěn)定B.甲比乙平均成績高，乙比甲成績穩(wěn)定C.乙比甲平均成績高，甲比乙成績穩(wěn)定D.乙比甲平均成績高，乙比甲成績穩(wěn)定〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定數(shù)據(jù)，求出甲乙成績的平均數(shù)及方差，再比較判斷作答.〖詳析〗依題意，甲射擊成績的平均數(shù)，方差，乙射擊成績的平均數(shù)，方差，因此，所以甲比乙平均成績高，乙比甲成績穩(wěn)定.故選：B3.復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗設(shè)復(fù)數(shù)，則根據(jù)題意根據(jù)復(fù)數(shù)相等列出關(guān)于的方程，即可求得〖答案〗.〖詳析〗設(shè)復(fù)數(shù)，則由可得，即，則，整理得，當時，解得，此時，當時，即，則結(jié)合各選項，該式均不成立，故選：B4.函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用函數(shù)的奇偶性和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，排除選項得出正確〖答案〗．〖詳析〗偶函數(shù)，排除選項B和D當時，，，即，排除選項C故選：A5.在平行四邊形ABCD中，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗設(shè)，，將，，都用，表示，設(shè)，解出m，n.〖詳析〗設(shè)，，因為，所以，因為，所以，設(shè)，則，，解得，，即.故選：C.6.我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長1與太陽天頂距的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表，根據(jù)三角學(xué)知識可知，晷影長度l等于表高h與太陽天頂距正切值的乘積，即．對同一“表高”兩次測量，第一次和第二次太陽天頂距分別為，且，若第二次的“晷影長”與“表高”相等，則第一次的“晷影長”是“表高”的（）A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，可得，再利用和角的正切公式計算作答.〖詳析〗依題意，，則，所以第一次“晷影長”是“表高”的2倍.故選：B7.下列是函數(shù)圖像的對稱軸的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡函數(shù)，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.〖詳析〗，顯然，，，，所以函數(shù)圖像的對稱軸的是，ABC錯誤，D正確.故選：D8.盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商準備將棱長為的正四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，為節(jié)約成本，使得魔方能夠放入盲盒且盲盒棱長最小時，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗棱長為8的正四面體放入正方體，使正方體面對角線長等于正四面體棱長，然后求出體積作答.〖詳析〗依題意，要使棱長為的正四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，且盲盒棱長最小，則當且僅當正方體的面對角線長等于正四面體的棱長，即它們有相同的外接球，如圖，正四面體的棱長為8cm，該正四面體的所有棱均為正方體對應(yīng)的面對角線，所以該正方體棱長為，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為.故選：C9.已知點是雙曲線的右焦點，過點F向C的一條漸近線引垂線垂足為A，交另一條漸近線于點B．若，則雙曲線C的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用點到直線距離公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式計算作答.〖詳析〗雙曲線的漸近線方程為：，不妨令點A在直線上，，如圖，因為，則，而，即有，，，由知，點在y軸同側(cè)，于是，，，在中，，由得：，整理得：，化簡得，解得或（舍去），所以，，雙曲線方程為.故選：A10.已知函數(shù)滿足，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗求出的〖解析〗式，在同一坐標系中作，，，的圖象，得到，借助的單調(diào)性進行判斷即可.〖詳析〗因為，所以，聯(lián)立，得，在R上單調(diào)遞減，在同一坐標系中作，，，的圖象，如圖，所以，故.故選：B.11.在三棱錐中，平面平面BCD，是以CD為斜邊的等腰直角三角形，M為CD中點，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗分析得到球心O在平面ACD的投影與M點重合，由面面垂直得到球心O在平面BCD上，作出輔助線，球心O在MH上，設(shè)OM=x，由半徑相等列出方程，求出x，進而得到外接球半徑，求出表面積.〖詳析〗因為是以CD為斜邊的等腰直角三角形，M為CD中點，，所以AM⊥CD，且，因為，所以，而，由勾股定理得：，所以BM=BC，故為等腰直角三角形，，，由題意得：球心O在平面ACD投影與M點重合，因為平面平面BCD，所以球心O在平面BCD上，在平面BCD上，過點M作MH⊥CD，故，球心O在MH上，設(shè)OM=x，由余弦定理得：，則，由得：，解得：，設(shè)外接球半徑為，則，故該三棱錐的外接球的表面積為.故選：D〖『點石成金』〗解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑．12.設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，.則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）①；②若對任意，都有，則的取值范圍是；③若方程恰有3個實數(shù)根，則的取值范圍是；④函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，若，使得成立，則.A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由題意推出函數(shù)的〖解析〗式，作出函數(shù)圖象，利用〖解析〗式可判斷①；解方程，結(jié)合函數(shù)圖象可判斷②；舉反例取特殊值，可判斷③；根據(jù)函數(shù)〖解析〗式求得最值，可得表達式，分離參數(shù)，將，使得成立轉(zhuǎn)化為數(shù)列的單調(diào)性問題，可判斷④.〖詳析〗函數(shù)的定義域為，滿足，即，且當時，,當時，，故,當時，，故，依次類推，當時，，由此可作出函數(shù)的圖象如圖：對于①，，此時，故，①正確；對于②，當時，；結(jié)合①可知當時，；故當時，令，即，解得，又，故對任意，都有，則的取值范圍是，正確；對于③，取，則直線，過點，結(jié)合圖象可知恰有3個交點，即恰有3個實數(shù)根，即說明符合題意，則③錯誤；對于④，當時，，其最大值為，若，使得成立，即，即需；記，則，故，當時，，遞增；當時，，遞減，又，則，故的最大值為，則，即，故④錯誤，綜合可知，結(jié)論正確的個數(shù)是2個，故選：B〖『點石成金』〗難點『點石成金』：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)以及數(shù)列的單調(diào)性等，綜合性較強，解答的難點在于要明確函數(shù)的性質(zhì)，明確函數(shù)的〖解析〗式，從而作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，解決問題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為，若是偶函數(shù)，則__________，此時，曲線在原點處的切線方程為______________．〖答案〗①.②.〖解析〗〖祥解〗由偶函數(shù)的定義得出的值，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.〖詳析〗，因為是偶函數(shù)，所以在上恒成立，則恒成立，故.因為，，所以曲線在原點處的切線方程為，即.故〖答案〗為：；14.已知直線與圓交于A，B兩點，若，則__________．〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用圓的弦長公式求出圓心到直線l的距離即可求解作答.〖詳析〗圓的圓心，半徑，因為圓O的弦AB長為2，則點O到直線l的距離，而，因此，解得，所以.故〖答案〗為：15.已知在中，角所對邊分別為，滿足，且，則的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)已知利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦公式可得，從而可表示出的表達式，利用輔助角公式化簡結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得〖答案〗.〖詳析〗由題意在中，滿足，即,即，而，故，又,則，同理，故，又,故，則，故〖答案〗為：16.在生活中，可以利用如下圖工具繪制橢圓，已知是滑桿上的一個定點，D可以在滑桿上自由移動，線段，點E在線段上，且滿足，若點E所形成的橢圓的離心率為，則______.〖答案〗2〖解析〗〖祥解〗建立坐標系，求得P點的軌跡方程，從而求出點E的軌跡方程，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，列方程即可求得〖答案〗.〖詳析〗如圖，以O(shè)為原點，為x軸，過點O作的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，過點E作的垂線交延長線于P，交于M,作,垂足為F，則,因為，故,則，故,設(shè)，則，故,則P點的軌跡方程為，由于，則，故，則，設(shè)，則,而,故，即為E點軌跡方程，表示橢圓，即，由于橢圓的離心率為，即，解得，即，由于，故，故〖答案〗為：2〖『點石成金』〗關(guān)鍵點『點石成金』：解答本題時，要明確由該題中的方法形成橢圓的過程，因此解答時結(jié)合平面圖形幾何性質(zhì)，判斷P點軌跡為圓，由此解答本題的關(guān)鍵在于要由此確定E點的軌跡方程，從而根據(jù)橢圓的性質(zhì)求得〖答案〗.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為洗考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知等差數(shù)列的前n項和為，滿足，_____________．在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在上面的問題中并解答（注：如果選擇多個條件，按照第一個解答給分．在答題前應(yīng)說明“我選_____________”）（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求的前n項和．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量的運算可得，進而即得；（2）利用分組求和法即得.〖小問1詳析〗設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為若選擇條件①，則由，得，解得，；若選擇條件②，則由，得，解得，；若選擇條件③，則由，得，解得，；〖小問2詳析〗由（1）知，選擇三個條件中的任何一個，都有，則，的前n項和18.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，E為的中點，F(xiàn)在上，滿足.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.〖答案〗（1）證明見〖解析〗.（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)題意求得相關(guān)點坐標，求出點F的坐標，求出平面和平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得〖答案〗.〖小問1詳析〗證明：因為平面，平面ABCD,所以,又因為，平面，所以平面.小問2詳析〗過A作的垂線交于點M,因為平面，平面,所以,以A為坐標原點，以分別為軸，建立空間直角坐標系如圖，則,因為E為的中點，所以,因為F在上，設(shè),則,故,因為，所以，即，即，即，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則,即，令，則，故；，設(shè)平面的一個法向量為，則,即，令，則，故，故，由圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.19.設(shè)拋物線的焦點為，，Q在準線上，Q的縱坐標為，點M到F與到定點的距離之和的最小值為4．（1）求拋物線C的方程；（2）過F且斜率為2的直線l與C交于A、B兩點，求的面積．〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）由已知可推得，求出的坐標代入，即可得出關(guān)于的方程，求解即可得出；（2）由已知可求得直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)韋達定理求出弦長.然后根據(jù)點到直線的距離求出點到直線的距離，即可得出面積.〖小問1詳析〗由已知可得，，.因為，當且僅當三點共線時，取得最小值.又，所以，即，整理可得，因為，所以.所以，拋物線C的方程為.〖小問2詳析〗由（1）知，，所以直線的方程為，.聯(lián)立直線與拋物線的方程可得，.設(shè)，，則由韋達定理可得.所以.又點到直線，即直線的距離為，所以，的面積.〖『點石成金』〗方法『點石成金』：求圓錐曲線中的有關(guān)三角形的面積時，常聯(lián)立直線與曲線的方程，根據(jù)韋達定理求出弦長.然后根據(jù)點到直線的距離公式，求出三角形的高，即可得出.20.某學(xué)校組織知識競答比賽，設(shè)計了兩種答題方案：方案一：先回答一道多選題，從第二道開始都回答單選題；方案二：全部回答單選題.其中每道單選題答對得2分，答錯得0分；多選題全部選對得3分，選對但不全得1分，有錯誤選項得0分.每名參與競答的同學(xué)至多答題3道.在答題過程中得到4分或4分以上立刻停止答題.統(tǒng)計參與競答的500名同學(xué)，所得結(jié)果如下表所示：男生女生選擇方案一10080選擇方案二200120（1）能否有的把握認為方案的選擇與性別有關(guān)?（2）小明回答每道單選題的正確率為0.8；多選題完全選對的概率為0.3，選對且不全的概率為0.3.①若小明選擇方案一，記小明的得分為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；②如果你是小明，為了獲取更好的得分你會選擇哪個方案?請通過計算說明理由.附：，.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828〖答案〗（1）沒有.（2）①分布列見〖解析〗；.②選方案一，理由見〖解析〗.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)題意完善列聯(lián)表，計算的值，即可判斷結(jié)論；（2）①確定X的取值，求出每個值對應(yīng)的概率，可得分布列，進而求得數(shù)學(xué)期望；②計算出選擇方案二的數(shù)學(xué)期望，和方案一進行比較，可得〖答案〗.〖小問1詳析〗由題意完善列聯(lián)表如圖：男生女生總計選擇方案一10080180選擇方案二200120320總計300200500故故沒有的把握認為方案的選擇與性別有關(guān).〖小問2詳析〗①由題意可知X的所有可能取值為，則,,,,,故X的分布列為∶X012345P0.0160.0120.1280.1080.2560.480故X的數(shù)學(xué)期望.②設(shè)選擇方案二的得分為Y,則Y的可能取值為，則,,,故,因為,故為了獲取更好的得分,小明會選擇方案一.21.已知函數(shù)，求證：（1）存在唯一零點；（2）不等式恒成立．〖答案〗（1）見〖解析〗（2）見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）由導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理證明即可；（2）先證明，再由的單調(diào)性，證明不等式即可.〖小問1詳析〗，.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；所以，即.所以在上單調(diào)遞增，.則在上，存在，使得，即存在唯一零點；〖小問2詳析〗，令，.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；即，故.因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.即.故不等式恒成立.〖『點石成金』〗關(guān)鍵『點石成金』：在證明第二問時，關(guān)鍵是由導(dǎo)數(shù)證明，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明，在做題時，要察覺到這一點.（二）選考題：共10分.考生從22.23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.〖選修4-4：坐標系與參數(shù)方程〗22.在直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（，t為參數(shù)）．（1）求曲線C的直角坐標方程；（2）已知直線與x軸的交點為F，且曲線C與直線l交于A、B兩點，求的值．〖答案〗（1）（2）24〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)曲線C的參數(shù)方程為（，t為參數(shù)），由兩邊平方求解；（2）易知直線的參數(shù)方程為，代入，利用參數(shù)的幾何意義求解.〖小問1詳析〗解：因為曲線C的參數(shù)方程為（，t為參數(shù)），所以由兩邊平方得：，而，當且僅當，即時，等號成立，所以曲線C的直角坐標方程；〖小問2詳析〗易知直線與x軸的交點為,直線的參數(shù)方程為，代入得，設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以.〖選修4-5：不等式選講〗23.已知．（1）求的解集；（2）已知在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）把函數(shù)化成分段函數(shù)，再分段解不等式作答.（2）根據(jù)給定條件，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)最大值作答.〖小問1詳析〗依題意，，不等式化為：或或，解得或或，即有，所以的解集為.〖小問2詳析〗依題意，，，，，于是，當且僅當時取等號，則，所以實數(shù)a的取值范圍是.高考模擬試題PAGEPAGE1陜西省西安市長安區(qū)2023屆高三一模數(shù)學(xué)（理科）試卷長安區(qū)高三質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)（理科）試題注意事項：1.本試題共4頁，滿分150分，時間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上.3.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗標號，回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分.共60分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗解指數(shù)不等式化簡集合B，再利用交集的定義求解作答.〖詳析〗解不等式得：，則，而，又，所以.故選：A2.甲乙兩位射擊運動員參加比賽，抽取連續(xù)6輪射擊比賽的成績情況如下：甲：80、70、80、90、90、70；乙：70、80、80、80、70、80則下列說法中正確的是（）A.甲比乙平均成績高，甲比乙成績穩(wěn)定B.甲比乙平均成績高，乙比甲成績穩(wěn)定C.乙比甲平均成績高，甲比乙成績穩(wěn)定D.乙比甲平均成績高，乙比甲成績穩(wěn)定〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定數(shù)據(jù)，求出甲乙成績的平均數(shù)及方差，再比較判斷作答.〖詳析〗依題意，甲射擊成績的平均數(shù)，方差，乙射擊成績的平均數(shù)，方差，因此，所以甲比乙平均成績高，乙比甲成績穩(wěn)定.故選：B3.復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗設(shè)復(fù)數(shù)，則根據(jù)題意根據(jù)復(fù)數(shù)相等列出關(guān)于的方程，即可求得〖答案〗.〖詳析〗設(shè)復(fù)數(shù)，則由可得，即，則，整理得，當時，解得，此時，當時，即，則結(jié)合各選項，該式均不成立，故選：B4.函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用函數(shù)的奇偶性和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，排除選項得出正確〖答案〗．〖詳析〗偶函數(shù)，排除選項B和D當時，，，即，排除選項C故選：A5.在平行四邊形ABCD中，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗設(shè)，，將，，都用，表示，設(shè)，解出m，n.〖詳析〗設(shè)，，因為，所以，因為，所以，設(shè)，則，，解得，，即.故選：C.6.我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長1與太陽天頂距的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表，根據(jù)三角學(xué)知識可知，晷影長度l等于表高h與太陽天頂距正切值的乘積，即．對同一“表高”兩次測量，第一次和第二次太陽天頂距分別為，且，若第二次的“晷影長”與“表高”相等，則第一次的“晷影長”是“表高”的（）A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，可得，再利用和角的正切公式計算作答.〖詳析〗依題意，，則，所以第一次“晷影長”是“表高”的2倍.故選：B7.下列是函數(shù)圖像的對稱軸的是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡函數(shù)，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.〖詳析〗，顯然，，，，所以函數(shù)圖像的對稱軸的是，ABC錯誤，D正確.故選：D8.盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商準備將棱長為的正四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，為節(jié)約成本，使得魔方能夠放入盲盒且盲盒棱長最小時，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗棱長為8的正四面體放入正方體，使正方體面對角線長等于正四面體棱長，然后求出體積作答.〖詳析〗依題意，要使棱長為的正四面體的魔方放入正方體盲盒內(nèi)，且盲盒棱長最小，則當且僅當正方體的面對角線長等于正四面體的棱長，即它們有相同的外接球，如圖，正四面體的棱長為8cm，該正四面體的所有棱均為正方體對應(yīng)的面對角線，所以該正方體棱長為，盲盒內(nèi)剩余空間的體積為.故選：C9.已知點是雙曲線的右焦點，過點F向C的一條漸近線引垂線垂足為A，交另一條漸近線于點B．若，則雙曲線C的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用點到直線距離公式、二倍角的余弦公式、勾股定理列式計算作答.〖詳析〗雙曲線的漸近線方程為：，不妨令點A在直線上，，如圖，因為，則，而，即有，，，由知，點在y軸同側(cè)，于是，，，在中，，由得：，整理得：，化簡得，解得或（舍去），所以，，雙曲線方程為.故選：A10.已知函數(shù)滿足，若，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗求出的〖解析〗式，在同一坐標系中作，，，的圖象，得到，借助的單調(diào)性進行判斷即可.〖詳析〗因為，所以，聯(lián)立，得，在R上單調(diào)遞減，在同一坐標系中作，，，的圖象，如圖，所以，故.故選：B.11.在三棱錐中，平面平面BCD，是以CD為斜邊的等腰直角三角形，M為CD中點，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗分析得到球心O在平面ACD的投影與M點重合，由面面垂直得到球心O在平面BCD上，作出輔助線，球心O在MH上，設(shè)OM=x，由半徑相等列出方程，求出x，進而得到外接球半徑，求出表面積.〖詳析〗因為是以CD為斜邊的等腰直角三角形，M為CD中點，，所以AM⊥CD，且，因為，所以，而，由勾股定理得：，所以BM=BC，故為等腰直角三角形，，，由題意得：球心O在平面ACD投影與M點重合，因為平面平面BCD，所以球心O在平面BCD上，在平面BCD上，過點M作MH⊥CD，故，球心O在MH上，設(shè)OM=x，由余弦定理得：，則，由得：，解得：，設(shè)外接球半徑為，則，故該三棱錐的外接球的表面積為.故選：D〖『點石成金』〗解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑．12.設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且當時，.則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）①；②若對任意，都有，則的取值范圍是；③若方程恰有3個實數(shù)根，則的取值范圍是；④函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，若，使得成立，則.A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由題意推出函數(shù)的〖解析〗式，作出函數(shù)圖象，利用〖解析〗式可判斷①；解方程，結(jié)合函數(shù)圖象可判斷②；舉反例取特殊值，可判斷③；根據(jù)函數(shù)〖解析〗式求得最值，可得表達式，分離參數(shù)，將，使得成立轉(zhuǎn)化為數(shù)列的單調(diào)性問題，可判斷④.〖詳析〗函數(shù)的定義域為，滿足，即，且當時，,當時，，故,當時，，故，依次類推，當時，，由此可作出函數(shù)的圖象如圖：對于①，，此時，故，①正確；對于②，當時，；結(jié)合①可知當時，；故當時，令，即，解得，又，故對任意，都有，則的取值范圍是，正確；對于③，取，則直線，過點，結(jié)合圖象可知恰有3個交點，即恰有3個實數(shù)根，即說明符合題意，則③錯誤；對于④，當時，，其最大值為，若，使得成立，即，即需；記，則，故，當時，，遞增；當時，，遞減，又，則，故的最大值為，則，即，故④錯誤，綜合可知，結(jié)論正確的個數(shù)是2個，故選：B〖『點石成金』〗難點『點石成金』：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)以及數(shù)列的單調(diào)性等，綜合性較強，解答的難點在于要明確函數(shù)的性質(zhì)，明確函數(shù)的〖解析〗式，從而作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，解決問題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為，若是偶函數(shù)，則__________，此時，曲線在原點處的切線方程為______________．〖答案〗①.②.〖解析〗〖祥解〗由偶函數(shù)的定義得出的值，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.〖詳析〗，因為是偶函數(shù)，所以在上恒成立，則恒成立，故.因為，，所以曲線在原點處的切線方程為，即.故〖答案〗為：；14.已知直線與圓交于A，B兩點，若，則__________．〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用圓的弦長公式求出圓心到直線l的距離即可求解作答.〖詳析〗圓的圓心，半徑，因為圓O的弦AB長為2，則點O到直線l的距離，而，因此，解得，所以.故〖答案〗為：15.已知在中，角所對邊分別為，滿足，且，則的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)已知利用正弦定理邊化角結(jié)合兩角和的正弦公式可得，從而可表示出的表達式，利用輔助角公式化簡結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得〖答案〗.〖詳析〗由題意在中，滿足，即,即，而，故，又,則，同理，故，又,故，則，故〖答案〗為：16.在生活中，可以利用如下圖工具繪制橢圓，已知是滑桿上的一個定點，D可以在滑桿上自由移動，線段，點E在線段上，且滿足，若點E所形成的橢圓的離心率為，則______.〖答案〗2〖解析〗〖祥解〗建立坐標系，求得P點的軌跡方程，從而求出點E的軌跡方程，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，列方程即可求得〖答案〗.〖詳析〗如圖，以O(shè)為原點，為x軸，過點O作的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，過點E作的垂線交延長線于P，交于M,作,垂足為F，則,因為，故,則，故,設(shè)，則，故,則P點的軌跡方程為，由于，則，故，則，設(shè)，則,而,故，即為E點軌跡方程，表示橢圓，即，由于橢圓的離心率為，即，解得，即，由于，故，故〖答案〗為：2〖『點石成金』〗關(guān)鍵點『點石成金』：解答本題時，要明確由該題中的方法形成橢圓的過程，因此解答時結(jié)合平面圖形幾何性質(zhì)，判斷P點軌跡為圓，由此解答本題的關(guān)鍵在于要由此確定E點的軌跡方程，從而根據(jù)橢圓的性質(zhì)求得〖答案〗.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明.證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為洗考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知等差數(shù)列的前n項和為，滿足，_____________．在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在上面的問題中并解答（注：如果選擇多個條件，按照第一個解答給分．在答題前應(yīng)說明“我選_____________”）（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求的前n項和．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量的運算可得，進而即得；（2）利用分組求和法即得.〖小問1詳析〗設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為若選擇條件①，則由，得，解得，；若選擇條件②，則由，得，解得，；若選擇條件③，則由，得，解得，；〖小問2詳析〗由（1）知，選擇三個條件中的任何一個，都有，則，的前n項和18.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，E為的中點，F(xiàn)在上，滿足.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.〖答案〗（1）證明見〖解析〗.（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)題意求得相關(guān)點坐標，求出點F的坐標，求出平面和平面的法向量，根據(jù)空間角的向量求法，即可求得〖答案〗.〖小問1詳析〗證明：因為平面，平面ABCD,所以,又因為，平面，所以平面.小問2詳析〗過A作的垂線交于點M,因為平面，平面,所以,以A為坐標原點，以分別為軸，建立空間直角坐標系如圖，則,因為E為的中點，所以,因為F在上，設(shè),則,故,因為，所以，即，即，即，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則,即，令，則，故；，設(shè)平面的一個法向量為，則,即，令，則，故，故，由圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.19.設(shè)拋物線的焦點為，，Q在準線上，Q的縱坐標為，點M到F與到定點的距離之和的最小值為4．（1）求拋物線C的方程；（2）過F且斜率為2的直線l與C交于A、B兩點，求的面積．〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）由已知可推得，求出的坐標代入，即可得出關(guān)于的方程，求解即可得出；（2）由已知可求得直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，根據(jù)韋達定理求出弦長.然后根據(jù)點到直線的距離求出點到直線的距離，即可得出面積.〖小問1詳析〗由已知可得，，.因為，當且僅當三點共線時，取得最小值.又，所以，即，整理可得，因為，所以.所以，拋物線C的方程為.〖小問2詳析〗由（1）知，，所以直線的方程為，.聯(lián)立直線與拋物線的方程可得，.設(shè)，，則由韋達定理可得.所以.又點到直線，即直線的距離為，所以，的面積.〖『點石成金』〗方法『點石成金』：求圓錐曲線中的有關(guān)三角形的面積時，常聯(lián)立直線與曲線的方程，根據(jù)韋達定理求出弦長.然后根據(jù)點到直線的距離公式，求出三角形的高，即可得出.20.某學(xué)校組織知識競答比賽，設(shè)計了兩種答題方案：方案一：先回答一道多選題，從第二道開始都回答單選題；方案二：全部回答單選題.其中每道單選題答對得2分，答錯得0分；多選題全部選對得3分，選對但不全得1分，有錯誤選項得0分.每名參與競答的同學(xué)至多答題3道.在答題過程中得到4分或4分以上立刻停止答題.統(tǒng)計參與競答的500名同學(xué)，所得結(jié)果如下表所示：男生女生選擇方案一10080選擇方案二200120（1）能否有的把握認為方案的選擇與性別有關(guān)?（2）小明回答每道單選題的正確率為0.8；多選題完全選對的概率為0.3，選對且不全