余角和補角課件

6．3角6．3.3余角和補角第六章幾何圖形初步

題型利用互余、互補的定義識別余角、補角1例5解題秘方：分別計算∠2與各選項的和，結果為90°的符合要求.

答案：D方法點撥識別兩個角是否互余，只需要計算兩個角的和是否等于90°即可.[新視角

操作探究題]如圖6.3－26，把一張長方形紙片的一角任意折向長方形內(nèi)，使點B

落在點B′的位置，折痕為EF，再沿GF

折疊，使點C

落在點C′的位置，如果C′F

與FB′在同一條直線上，請你判斷∠GFC′與∠EFB′的關系，并說明理由.題型利用角平分線的定義探究互余、互補2例6思路引導：

方法點撥本題的解題方法主要利用了“一個特點”“三個定義”，一個特點是指折疊圖形中折痕的特點(折痕所在的直線即角平分線所在的直線)；三個定義分別是指角平分線的定義、余角的定義和補角的定義.[榮德原創(chuàng)題]兩艘貨輪從如圖6.3－27所示的碼頭O

出發(fā)，貨輪G

向南偏西20°的OA

的方向行駛，貨輪F

向南偏東70°的OB

方向航行.例7題型利用方位角的定義探究余角、補角3思路引導：通過計算各角的度數(shù)進行判斷.(1)分別畫出射線OA，OB；解：如圖6.3－28，射線OA，OB

即為所求.(2)找出圖中所有互余和互補及相等的角(小于180°的角).解：互余的角有∠WOA

與∠SOA，∠WOA

與∠EOB，∠AOS

與∠BOS，∠BOS

與∠EOB；互補的角有∠WOA

與∠EOA，∠WOB

與∠EOB，∠NOA

與∠SOA，

∠NOB

與∠SOB，

∠WOA

與∠NOB，∠BOS

與∠AOE，∠WOB

與∠AOS，∠NOA

與∠EOB.∠NOW，∠SOW，∠SOE，∠NOE

和∠AOB

都是90°，它們兩兩互補；相等的角有∠NOW=∠SOW=∠SOE=∠NOE=∠AOB，∠WOA=∠SOB，∠SOA=∠EOB.解法提醒1.以觀測點為頂點，南北方向線和東西方向線各自形成平角，可以解決互補問題.2.以觀測點為頂點，南北方向線和東西方向線相交形成直角，可以解決互余問題.3.利用角度計算或同角(或等角)的余角、補角相等，解決等角問題.如圖6.3－29①所示，將一副三角尺的直角頂點重合在點О

處.題型利用角的和差關系及余角的性質(zhì)探究兩角之間的關系4例8思路引導：緊扣要判定的角和兩個90°角的關系進行分析.(1)(ⅰ)∠AOD和∠BOC

相等嗎？請說明理由.解：(ⅰ)∠AOD=∠BOC.理由如下：因為∠AOB=∠COD=90°，所以∠AOB＋

∠BOD=∠COD＋

∠BOD，即∠AOD=∠BOC.

(ⅱ)∠AOC

和∠BOD在數(shù)量上有何關系？請說明理由．解：∠AOC＋

∠BOD=180°.理由如下:因為∠AOB＋

∠AOC＋

∠COD＋

∠BOD=360°，∠AOB=∠COD=90°，所以∠AOC＋∠BOD=360°－∠AOB－∠COD=180°.(2)若將這副三角尺按如圖6.3－29②所示擺放，三角尺的直角頂點重合在點О處.(ⅰ)∠AOD和∠BOC相等嗎？請說明理由.(ⅱ)∠AOC和∠BOD在(1)中的數(shù)量關系還成立嗎？請說明理由.(ⅰ)∠AOD=∠BOC.理由如下：因為∠AOB=∠COD=90°，所以∠AOB－

∠BOD=∠COD－

∠BOD，即∠AOD=∠BOC.(ⅱ)成立.理由如下:因為∠AOB=∠COD=90°，所以∠AOC＋

∠BOD=∠AOB＋∠BOC＋

∠BOD=∠AOB＋

∠COD=90°＋90°=180°.解題關鍵1.在探究三角尺中的有關角的關系時，要充分利用三角尺中隱含的90°，60°，45°，30°等特殊角﹒2.等式的性質(zhì)在角的推理中的應用，即若∠1=∠2，則∠1±∠3=∠2±∠3.方法點撥：在圖形的變換探究中，應善于抓住不變的量(如本題的兩個直角)和變化的量(如本題圖6.3－29①中∠AOD=∠AOB＋∠BOD，圖6.3－29②中∠AOD=∠AOB－∠BOD).結合兩個量才能探究出結論是否變化.易錯點對余角、補角的概念理解不透徹而出錯下列說法正確的是()A.一個角的補角一定大于這個角B.任何一個小于180°的角既有余角又有補角C.銳角和鈍角互補D.銳角的補角一定是鈍角例9錯解：A正解：緊扣余角和補角的定義，結合其數(shù)量關系進行判斷.銳角的補角是鈍角，鈍角的補角是銳角，從而A錯誤，D正確.答案：D診誤區(qū)：1.只有銳角既有余角又有補角，而鈍角沒有余角，只有補角.2.互補的兩個角除兩個直角外，一定是一個銳角，一個鈍角.考法利用余角(補角)的定義求一個角的余角(補角)1[中考·梧州]已知∠

A=55°，則它的余角是()A.25°B.35°C.45°D.55°試題評析：本題考查了余角的定義和角的運算，解題的關鍵是理解互為余角的兩個角的數(shù)量關系.解：因為∠A=55°，所以它的余角是90°－∠A=90°－55°=35°.B例10考法利用三角尺的特征探究兩個角之間的關系2[中考·德州]如圖6.3－30，將一副三角尺按不同的位置擺放，下列方式中，∠α

與∠β

互余的是(

)A.圖①

B.圖②

C.圖③

D.圖④例11試題評析：本題考查了余角和補角的知識，熟記概念與性質(zhì)是解題的關鍵.解：圖①，∠α＋∠β=180°－90°=90°，則∠α和∠β互余；圖②，根據(jù)同角的余角相等，得∠α=∠β，但∠α和∠β不一定互余；圖③，根據(jù)等角的補角相等，得∠α=∠β=180°－45°=135°，所以∠α與∠β不互余；圖④，∠α＋∠β=180°，則∠α和∠β互補．答案：A1.[中考·武威]若∠α=70°，則∠α的補角的度數(shù)是(

)A.130°B.110°C.30°D.20°B2.如圖，一副三角尺按不同的位置擺放，擺放位置中∠α與∠β一定相等的圖形個數(shù)共有(

)A.1個B.2個C.3個D.4個B3.下列說法錯誤的是(

)A.53°38′角與36°22′角互為余角B.如果∠1＋∠2=180°，那么∠1與∠2互為補角C.兩個角互補，如果其中一個是銳角，那么另一個一定是鈍角D.一個角的補角比這個角的余角大180°D4.[中考·通遼]如圖，點O

在直線AB上，∠

AOC=53°17′28″，則∠

BOC

的度數(shù)是____________．126°42′32″5.[母題

教材P177例4如圖，AB

是直線，∠

BOC=∠

AOC=90°，OD，OE

是射線，則圖中至少有______對互余的角，______對互補的角.23

①②④

8.

如圖，點O

是直線CE

上一點，以O

為頂點作∠

AOB=90°，OB

平分∠

COD.(1)當∠

DOE=96°

時，求∠

AOC

的度數(shù)；