2025屆云南省大理白族自治州大理市模擬預(yù)測數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

大理市轄區(qū)2025屆高中畢業(yè)生區(qū)域性規(guī)?；y(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號在答題卡上填寫清楚.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.在試題卷上作答無效.3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域和單調(diào)性解不等式，得到，解一元二次不等式得到，由交集概念求出答案.【詳解】集合，，則.故選：D.2.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（）A.2 B.3 C.4 D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，計(jì)算出答案.【詳解】∵各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，∴.故選：C.3.如圖，攬?jiān)麻w位于西安市雁塔南路最高點(diǎn)，承接大明宮、大雁塔，是西安唐文化軸的南部重要節(jié)點(diǎn)和標(biāo)志性建筑，可近似視為一個(gè)正四棱臺，現(xiàn)有一個(gè)攬?jiān)麻w模型塔底寬，塔頂寬約，側(cè)面面積為，據(jù)此計(jì)算該攬?jiān)麻w模型體積為（）A.1400 B.2800 C. D.8400【答案】B【解析】【分析】設(shè)斜高，利用側(cè)面積求出斜高，求出棱臺的高，利用臺體體積公式得到答案.【詳解】如圖，正四棱臺底面邊長分別為和，側(cè)面積為，設(shè)為斜高，可得，解得，即，∴棱臺的高，∴，棱臺的體積為.故選：B.4.已知函數(shù)y=fx的部分圖象如圖，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除AB選項(xiàng)，C選項(xiàng)，計(jì)算出，排除C；D選項(xiàng)，滿足奇偶性和，得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，，故不是偶函數(shù)，由圖可知函數(shù)為偶函數(shù)，排除A選項(xiàng)；B選項(xiàng)，，可得不是偶函數(shù)，排除B；C選項(xiàng)，因?yàn)?，由圖，故排除C選項(xiàng)；D選項(xiàng)，，故是偶函數(shù)，且，滿足要求.故選：D5.現(xiàn)有4個(gè)同學(xué)站成一排，將甲、乙2個(gè)同學(xué)加入排列，保持原來4個(gè)同學(xué)順序不變，不同的方法共有（）種A.10 B.20 C.30 D.60【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用分步乘法原理計(jì)算即可.【詳解】4個(gè)同學(xué)站成一排有5個(gè)空，甲加入排列有5種情況，隊(duì)列變成5個(gè)人有6個(gè)空，乙加入排列有6種情況，由分步計(jì)數(shù)原理得，共有種不同的方法.故選：C6.已知，且，則的最小值為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知等式，應(yīng)用常值代換法應(yīng)用基本不等式求和的最小值即可.【詳解】（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號）故選:C.7.若函數(shù)在為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】f′x≥0對x∈0,+∞恒成立，其中，令gx=【詳解】，由題意f′x≥0對其中，令gx=則需，其中，故，當(dāng)時(shí)，，故f′x在0,+∞上∴成立當(dāng)時(shí)，取，易知在上單調(diào)遞增，若，則，所以在上遞減，故，與題意不符，舍去；若時(shí)，，g'π2=2a>0，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，故，與題意不符，舍去；綜上得.故選：A.8.已知拋物線：上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線：對稱，若，則（）A.5 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)直線為，聯(lián)立拋物線可得與交點(diǎn)橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合題目條件可計(jì)算出直線方程，再借助線段的中點(diǎn)在上計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)直線為，代入拋物線得，則，，∴，直線為，線段的中點(diǎn)記為，則，.又中點(diǎn)在上，∴.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.假設(shè)是兩個(gè)事件，且，，，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用條件概率公式得到；B選項(xiàng)，與相互獨(dú)立，故；C選項(xiàng)，根據(jù)求出答案；D選項(xiàng)，利用條件概率得到.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，，，，所以，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)槭录c相互獨(dú)立，所以與相互獨(dú)立，所以，B錯誤；C選項(xiàng)，，C錯誤；D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，D正確.故選：AD.10.設(shè)，過定點(diǎn)A的動直線：，和過定點(diǎn)的動直線：交于點(diǎn)，圓：，則下列說法正確的有（）A.直線過定點(diǎn) B.直線與圓相交最短弦長為2C.動點(diǎn)的曲線與圓相交 D.最大值為5【答案】BCD【解析】【分析】對于A：根據(jù)直線過定點(diǎn)分析整理即可；對于B：可知點(diǎn)在圓內(nèi)部，結(jié)合圓的性質(zhì)分析判斷；對于C：分析可知動點(diǎn)的曲線是以為直徑的圓，進(jìn)而判斷兩圓的位置關(guān)系；對于D：根據(jù)題意結(jié)合基本不等式分析判斷.【詳解】由題意可知：圓：的圓心為，半徑，對于選項(xiàng)A：因?yàn)閯又本€：過原點(diǎn)，所以，由，得，則，故A錯誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，可知點(diǎn)在圓內(nèi)部，當(dāng)時(shí)，圓心到直線：的最大值為，所以直線與圓相交最短弦長為，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)椋海?，且，則，可知動點(diǎn)的曲線是以為直徑的圓，且該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)閮蓤A圓心距為，可得兩圓半徑之和為，兩圓半徑之差為，因?yàn)?，所以動點(diǎn)的曲線與圓相交，故C正確；對于選項(xiàng)D：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以最大值為5，故D正確；故選：BCD.11.如圖是函數(shù)（，，）的部分圖象，是圖象的一個(gè)最高點(diǎn)，是圖象與軸的交點(diǎn)，，是圖象與軸的交點(diǎn)，且，的面積等于，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱B.函數(shù)的最小正周期為C.函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位長度得到D.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，【答案】ABC【解析】【分析】由圖像可得，再根據(jù)三角形面積可得，進(jìn)而可得函數(shù)的最小正周期與，再結(jié)合，可得函數(shù)解析式，進(jìn)而可判斷圖像性質(zhì)及平移變換.【詳解】由圖象可知，，即，所以，故B選項(xiàng)正確；即，所以，且圖象過點(diǎn)，即，又，所以，所以，令，，解得，，所以函數(shù)的對稱中心為，當(dāng)時(shí)，對稱中心為，故A選項(xiàng)正確；將的圖象向右平移個(gè)單位長度得到，故C選項(xiàng)正確；令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，故D選項(xiàng)錯誤，故選：ABC.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第______象限.【答案】二【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡，進(jìn)而得到其對應(yīng)點(diǎn)的位置.【詳解】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限.故答案為：二.13.橢圓（）的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，若直線與以為圓心半徑為的圓相切，則橢圓離心率等于______.【答案】【解析】【分析】求出直線的方程為：，根據(jù)點(diǎn)到直線距離得到方程，求出，求出離心率.【詳解】依題意，，，，所以直線的方程為：，又直線與以為圓心半徑為的圓相切，故，即，，方程兩邊同除以得，解得或，又橢圓的離心率，所以.故答案為：14.已知遞增的等差數(shù)列的公差為，從中抽取部分項(xiàng)，，……構(gòu)成等比數(shù)列，其中，，，且集合中有且僅有3個(gè)元素，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】由題意得，計(jì)算出，故公比，求出an的通項(xiàng)公式，故，根據(jù)等比數(shù)列得到，從而得到方程，求出，故，作差法得到是遞減數(shù)列，由題意得且，解得.【詳解】，，，…，構(gòu)成等比數(shù)列，其中，，，因?yàn)?，所以，即，其?所以，，，所以公比，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，即，∴，∴，∴是遞減數(shù)列，由題意得且，解得.故答案為：四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.在中，角，，的對邊分別是，，，且.（1）求角的大?。唬?）若，為邊上的一點(diǎn)，，且______，求的周長.（從下面①，②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上并作答）①是的平分線；②為線段的中點(diǎn)【答案】（1）（2）選①和②，答案均為【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)恒等變換得到，從而求出；（2）選①，由三角形面積公式得到，由余弦定理得到，求出，得到周長；選②，兩邊平方得，由余弦定理得，聯(lián)立求出，得到周長.【小問1詳解】因?yàn)?，可得，故，故，可得，因?yàn)椋?，所以，可?【小問2詳解】若選①：由平分得：，即，即，在中，由余弦定理得，即，兩式聯(lián)立可得，所以的周長為；若選②：為線段的中點(diǎn)，故，，因?yàn)?，，故，整理可得，在中，由余弦定理得，所以，兩式?lián)立可得，所以，從而的周長為.16.如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，，．求二面角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）添加適當(dāng)輔助線，證明出四邊形為平行四邊形，再通過線線平行證明線面平行；（2）由線面垂直得出線線垂直，再證明為正三角形，得出，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)面的法向量，再利用公式求解，即可求出二面角．【小問1詳解】證明：如圖，取中點(diǎn)，連接，，在中，，分別為，的中點(diǎn)，所以且，在菱形中，因?yàn)榍?，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面．【小?詳解】解：因?yàn)槠矫?，，，平面，所以，，．連接，因?yàn)?，，且，（或者證所以，在菱形中，，即為正三角形，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)榍遥忠驗(yàn)闉檎切吻?，所以，則，，，則，，由平面，可得平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，所以，所以，所以二面角的大小為．17.已知雙曲線：（，）的一條漸近線方程為，頂點(diǎn)到漸近線的距離為．（1）求的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線過點(diǎn)0,2，與的左、右兩支交于，兩點(diǎn)，且的面積為，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用漸近線的斜率及點(diǎn)到直線的距離建立關(guān)于的等式求解即可；（2）分直線斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行討論，易知直線斜率不存在時(shí)，不滿足條件，當(dāng)斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，表示出的長，再利用點(diǎn)到直線的距離求出點(diǎn)到的距離，利用三角形的面積公式建立等式進(jìn)行求解出，即可求出直線的方程．【小問1詳解】由題得，①由對稱性不妨設(shè)的頂點(diǎn)為，則，②聯(lián)立①②解得，，所以的方程為．【小問2詳解】設(shè)Ax1,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，由得，所以，解得，因?yàn)?，，所以．又點(diǎn)到直線的距離，所以的面積，解得或；又因?yàn)?，所以，所以直線的方程為．18.某校舉行圍棋比賽，甲、乙、丙三個(gè)人通過初賽，進(jìn)入決賽.已知甲與乙比賽時(shí)，甲獲勝的概率為，甲與丙比賽時(shí)，甲獲勝的概率為，乙與丙比賽時(shí)，乙獲勝的概率為.（1）決賽規(guī)則如下：首先通過抽簽形式確定甲、乙兩人進(jìn)行第一局比賽，丙輪空；第一局比賽結(jié)束后，勝利者和丙進(jìn)行比賽，失敗者輪空，以此類推，每局比賽的勝利者跟本局比賽輪空者進(jìn)行下一局比賽，每場比賽勝者積1分，負(fù)者積0分，首先累計(jì)到2分者獲得比賽勝利，比賽結(jié)束.假設(shè)，且每局比賽相互獨(dú)立.（?。┣笕丝偡e分為2分的概率；（ⅱ）求比賽結(jié)束時(shí)，三人總積分的分布列與期望（2）若，假設(shè)乙獲得了指定首次比賽選手的權(quán)利，為獲得比賽的勝利，試分析乙的最優(yōu)指定策略【答案】（1）（?。唬áⅲ┓植剂幸娊馕?，數(shù)學(xué)期望為（2）乙和甲打第一局【解析】【分析】（1）（ⅰ）列舉出可能事件，由獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得解；（ⅱ）列舉出總積分，根據(jù)各個(gè)積分計(jì)算出概率，再根據(jù)期望公式即可求解；（2）設(shè)事件為“第一局乙對丙最終乙獲勝”，為“第一局乙對甲最終乙獲勝”，為“第一局甲對丙而最終乙獲勝”，比較大小即可判斷.【小問1詳解】（?。┯深}意可知，兩場比賽后結(jié)束，即甲或乙連續(xù)獲得兩場勝利，有兩種情況，；（ⅱ）由題意可知，，所以，，，所以三人總積分的分布列為2340.60.160.24所以.【小問2詳解】設(shè)事件為“第一局乙對丙最終乙獲勝”，為“第一局乙對甲最終乙獲勝”，為“第一局甲對丙而最終乙獲勝”，其中包含三種情況，第一，第一局乙獲勝，第二局乙獲勝；第二，第一局乙獲勝，第二局甲獲勝，第三局丙獲勝，第四局乙獲勝；第三，第一局丙獲勝，第二局甲獲勝，第三局乙獲勝，第四局乙獲勝，故；同理可得；；顯然，故，，由于，故，所以，故乙的最優(yōu)指定策略是讓乙和甲打第一局.19.已知函數(shù)（），其中.（1）討論單調(diào)性；（2）若恰好有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（3）若有兩個(gè)零點(diǎn)，（），求證：.【答案】（1）答案見解析（2）或（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分，和三種情況，得到函數(shù)的單調(diào)性；（2），構(gòu)造，，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，又，當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于，當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于0，從而得到或（3）由（2）知時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，，，兩式相減得，故所證不等式可化為，令（），則上不等式化為，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到，證畢.【小問1詳解】（）.當(dāng)時(shí)，，在遞減，當(dāng)時(shí)，，，?。┤簦瑒t，在單調(diào)遞增，ⅱ）若，令，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在遞減；當(dāng)時(shí)，在遞增：當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增.