人教A版必修一課后作業(yè)第一章集合與函數(shù)概念113第2課時

第2課時補集及綜合應用學習目標1.理解全集、補集的概念.2.準確翻譯和使用補集符號和Venn圖.3.會求補集，并能解決一些集合綜合運算的問題.知識點一全集思考老和尚問小和尚：“如果你前進是死，后退是亡，那你怎么辦？”小和尚說：“我從旁邊繞過去.”在這一故事中，老和尚設定的運動方向共有哪些？小和尚設定的運動方向共有哪些？答案老和尚設定的運動方向只有2個：前進，后退.小和尚偷換了前提：運動方向可以是四面八方任意方向.梳理定義如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集記法全集通常記作U知識點二補集思考實數(shù)集中，除掉大于1的數(shù)，剩下哪些數(shù)？答案剩下不大于1的數(shù)，用集合表示為{x∈R|x≤1}.梳理文字語言對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，記作?UA符號語言?UA＝{x|x∈U，且x?A}圖形語言類型一求補集例1(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，則?UA等于()A.{x|0<x<2} B.{x|0≤x<2}C.{x|0<x≤2} D.{x|0≤x≤2}答案C解析∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，∴?UA＝{x|0<x≤2}，故選C.(2)設U＝{x|x是小于9的正整數(shù)}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求?UA，?UB.解根據(jù)題意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以?UA＝{4,5,6,7,8}，?UB＝{1,2,7,8}.(3)設全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是銳角三角形}，B＝{x|x是鈍角三角形}，求A∩B，?U(A∪B).解根據(jù)三角形的分類可知A∩B＝?，A∪B＝{x|x是銳角三角形或鈍角三角形}，?U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}.反思與感悟求集合的補集，需關(guān)注兩處：一是認準全集的范圍；二是利用數(shù)形結(jié)合求其補集，常借助Venn圖、數(shù)軸、坐標系來求解.跟蹤訓練1(1)設集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，則?UA＝________.答案{3,4,5}(2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，則?UA＝________.答案{x|－1<x<2}(3)已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy>0}，則?UA＝________.答案{(x，y)|xy≤0}類型二補集性質(zhì)的應用命題角度1補集性質(zhì)在集合運算中的應用例2已知A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}，?UB＝{－1,0,2}，用列舉法寫出集合B.解∵A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}，∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}.而?UB＝{－1,0,2}，∴B＝?U(?UB)＝{－3,1,3,4,6}.反思與感悟從Venn圖的角度講，A與?UA就是圈內(nèi)和圈外的問題，由于(?UA)∩A＝?，(?UA)∪A＝U，所以可以借助圈內(nèi)推知圈外，也可以反推.跟蹤訓練2如圖所示的Venn圖中，A、B是非空集合，定義A*B表示陰影部分的集合.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，則A*B＝________________.答案{x|0≤x≤1或x＞2}解析A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}，由圖可得A*B＝?(A∪B)(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}.命題角度2補集性質(zhì)在解題中的應用)例3關(guān)于x的方程：x2＋ax＋1＝0，①x2＋2x－a＝0，②x2＋2ax＋2＝0，③若三個方程至少有一個有解，求實數(shù)a的取值范圍.解假設三個方程均無實根，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ1＝a2－4<0，,Δ2＝4＋4a<0，,Δ3＝4a2－8<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<a<2，,a<－1，,－\r(2)<a<\r(2).))解得－eq\r(2)<a<－1，∴當a≤－eq\r(2)或a≥－1時，三個方程至少有一個方程有實根，即a的取值范圍為{a|a≤－eq\r(2)或a≥－1}.反思與感悟運用補集思想求參數(shù)取值范圍的步驟：(1)把已知的條件否定，考慮反面問題；(2)求解反面問題對應的參數(shù)的取值范圍；(3)求反面問題對應的參數(shù)的取值集合的補集.跟蹤訓練3若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍.解假設集合A中含有2個元素，即ax2＋3x＋2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝9－8a>0，))解得a<eq\f(9,8)，且a≠0，則集合A中含有2個元素時，實數(shù)a的取值范圍是{a|a<eq\f(9,8)且a≠0}.在全集U＝R中，集合{a|a<eq\f(9,8)且a≠0}的補集是{a|a≥eq\f(9,8)或a＝0}，所以滿足題意的實數(shù)a的取值范圍是{a|a≥eq\f(9,8)或a＝0}.類型三集合的綜合運算例4(1)已知集合A，B均為全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，則A∩(?UB)等于()A.{3} B.{4}C.{3,4} D.?答案A解析∵?U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}，又∵B＝{1,2}，∴?UB＝{3,4}，A中必有3，可以有1,2，一定沒有4.∴A∩(?UB)＝{3}.(2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(?RB)＝R，則實數(shù)a的取值范圍是________.答案a≥2解析∵?RB＝{x|x<1或x>2}且A∪(?RB)＝R，∴{x|1≤x≤2}?A，∴a≥2.反思與感悟解決集合的混合運算時，一般先計算括號內(nèi)的部分，再計算其他部分.有限集混合運算可借助Venn圖，與不等式有關(guān)的可借助數(shù)軸.跟蹤訓練4(1)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(?UA)∩(?UB)＝{1,3,7}，A∩(?UB)＝{4,9}，則B等于()A.{1,2,3,6,7} B.{2,5,6,8}C.{2,4,6,9} D.{2,4,5,6,8,9}答案B解析根據(jù)題意可以求得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，畫出Venn圖(如圖所示)，可得B＝{2,5,6,8}，故選B.(2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB).解如圖所示.∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，∴?UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，?UB＝{x|x<－3或2<x≤4}.A∩B＝{x|－2<x≤2}，∴(?UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(?UB)＝{x|2<x<3}.1.設集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，則?UM等于()A.U B.{1,3,5}C.{3,5,6} D.{2,4,6}答案C2.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，則?U(A∪B)等于()A.{1,3,4} B.{3,4}C.{3} D.{4}答案D3.設集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，則(?RS)∪T等于()A.{x|－2<x≤1} B.{x|x≤－4}C.{x|x≤1} D.{x|x≥1}答案C4.設全集U＝R，則下列集合運算結(jié)果為R的是()A.Z∪?UN B.N∩?UNC.?U(?U?) D.?UQ答案A5.設全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(?UN)＝{2,4}，則N等于()A.{1,2,3} B.{1,3,5}C.{1,4,5} D.{2,3,4}答案B1.全集與補集的互相依存關(guān)系(1)全集并非是包羅萬象，含有任何元素的集合，它是對于研究問題而言的一個相對概念，它僅含有所研究問題中涉及的所有元素，如研究整數(shù)，Z就是全集，研究方程的實數(shù)解，R就是全集.因此，全集因研究問題而異.(2)補集是集合之間的一種運算.求集合A的補集的前提是A是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的，因此，它們是互相依存、不可分割的兩個概念.(3)?UA的數(shù)學意義包括兩個方面：首先必須具備A?U；其次是定義?UA＝{x|x∈U，且x?A}，補集是集合間的運算關(guān)系.2.補集思想做題時“正難則反”策略運用的是補集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困難，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.課時作業(yè)一、選擇題1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，則(?UA)∪B為()A．{1,2,4} B．{2,3,4}C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}答案C解析?UA＝{0,4}，所以(?UA)∪B＝{0,2,4}，選C.2．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，則?UM等于()A．{x|－2<x<2} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2}答案C解析∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴?UM＝{x|x<－2或x>2}．3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，則實數(shù)a等于()A．0或2 B．0C．1或2 D．2答案D解析由題意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,a2－2a＋3＝3，))則a＝2.4．已知集合U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>4}，B＝{x|－3≤x≤3}，則(?UA)∩B等于()A．{x|－3≤x≤4}B．{x|－2≤x≤3}C．{x|－3≤x≤－2或3≤x≤4}D．{x|－2≤x≤4}答案B解析?UA＝{x|－2≤x≤4}．由圖知(?UA)∩B＝{x|－2≤x≤3}．5．已知U為全集，集合M，N?U，若M∩N＝N，則()A．?UN??UM B．M??UNC．?UM??UN D．?UN?M答案C解析由M∩N＝N知N?M.∴?UM??UN.6．設全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，則?UA等于()A．?B．{2}C．{5}D．{2,5}答案B解析因為A＝{x∈N|x≤－eq\r(5)或x≥eq\r(5)}，所以?UA＝{x∈N|2≤x<eq\r(5)}，故?UA＝{2}．7．如圖，已知I是全集，A，B，C是它的子集，則陰影部分所表示的集合是()A．(?IA∩B)∩C B．(?IB∪A)∩CC．(A∩B)∩(?IC) D．(A∩?IB)∩C答案D解析由題圖可知陰影部分中的元素屬于A，不屬于B，屬于C，則陰影部分表示的集合是(A∩?IB)∩C.二、填空題8．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，則集合?U(A∪B)＝______，(?UA)∩(?UB)＝________.答案{x|0<x<1}{x|0<x<1}解析A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，?U(A∪B)＝{x|0<x<1}．?UA＝{x|x>0}，?UB＝{x|x<1}，∴(?UA)∩(?UB)＝{x|0<x<1}．9．若全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x>0，y>0}，則點(－1,1)________?UA.(填“∈”或“?”)答案∈解析顯然(－1,1)∈U，且(－1,1)?A，∴(－1,1)∈?UA.10．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7)，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，則集合B＝________.答案{2,3,5,7}解析因為A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又?UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．11．設U＝R，已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且(?UA)∪B＝R，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案a≤1解析?UA＝{x|x≤1}，∵(?UA)∪B＝R，∴B?{x|x>1}，∴a≤1.12．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x<0或x>1}，則圖中陰影部分所表示的集合為________．答案{x|x≤1或x>2}解析如圖，設U＝A∪B＝R，A∩B＝{x|1<x≤2}，∴陰影部分為?U(A∩B)＝{x|x≤1或x>2}．13．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a<x<a＋3}，且B??RA，則a的取值范圍為________．答案a≥－eq\f(1,2)解析由題意得?RA＝{x|x≥－1}．①若B＝?，則a＋3≤2a，即a≥3，滿足B??RA；②若B≠?，則由B??RA，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≥－1，,2a<a＋3，))所以－eq\f(1,2)≤a<3.綜合①②可得a≥－eq\f(1,2).三、解答題14．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(?UA)＝R，B∩(?UA)＝{x|0<x<1或2<x<3}，求集合B.解∵A＝{x|1≤x≤2}，∴?UA＝{x|x<1或x>2}．又B∪(?UA)＝R，A∪(?UA)＝R，可得A?B.而B∩(?UA)＝{x|0<x<1或2<x<3}，∴{x|0<x<1或2<x<3}?B.借助于數(shù)軸可得B＝A∪{x|0<x<1或2<x<3}＝{x|0<x<3}．15．已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩(?UA)＝?，求實數(shù)m的值．解A＝{－1