2015年高考全國(guó)Ⅱ卷文科數(shù)學(xué)試題(含答案解析)

文科數(shù)學(xué)試題第1頁（共6頁）絕密★啟用前2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)適用地區(qū)：青海/西藏/甘肅/貴州/內(nèi)蒙古/新疆/寧夏/吉林/黑龍江/云南/廣西/遼寧/海南注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）已知集合，，則（A） （B） （C） （D）（2）若a為實(shí)數(shù)，且，則a=（A）-4 （B）-3 （C）3 （D）4（3）根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫年排放量（單位：萬噸）柱形圖，以下結(jié)論不正確的是（A）逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著（B）2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效（C）2006年以來我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)（D）2006年以來我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)（4）向量，，則 （A）-1 （B）0 （C）1 （D）3（5）設(shè)Sn等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。若a1+a3+a5=3，則S5= （A）5 （B）7 （C）9 （D）11（6）一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為 （A） （B） （C） （D）（7）已知三點(diǎn)，，，則ΔABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為 （A） （B） （C） （D）（8）右邊程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”。執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a=（A）0（B）2（C）4（D）14（9）已知等比數(shù)列滿足，a3a5=，則a2= （A）2 （B）1 （C） （D）（10）已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB=90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)。若三棱錐O—ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為 （A）36π （B）64π （C）144π （D）256π（11）如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿著邊BC，CD與DA運(yùn)動(dòng)，記∠AOB=x。將動(dòng)點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)，則的圖象大致為（A）（B）（C）（D）（12）設(shè)函數(shù)，則使得成立的x的取值范圍是（A） （B） （C） （D）第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。（13）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則a=______。（14）若x，y滿足約束條件，則的最大值為______。（15）已知雙曲線過點(diǎn)，且漸近線方程為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______。（16）已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則a=______。三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分12分）ΔABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，BD=2DC。（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求.18．（本小題滿分12分）某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從A，B兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶，根據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分，得到A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表.A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖4405060708090滿意度評(píng)分O1000.0050.0150.0250.035頻率/組距0.0100.0200.0300.040B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表滿意度評(píng)分分組頻數(shù)2814106（Ⅰ）在答題卡上作出B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過直方圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖OO0.0050.0100.0150.0200.0250.0300.0350.040頻率/組距5060708090100滿意度評(píng)分（Ⅱ）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：滿意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級(jí)不滿意滿意非常滿意估計(jì)哪個(gè)地區(qū)的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大？說明理由19．（本小題滿分12分）如圖，長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，過點(diǎn)E，F(xiàn)（Ⅰ）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說明畫法和理由）；（Ⅱ）求平面α把該長(zhǎng)方體分成的兩部分體積的比值。20．（本小題滿分12分）已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)在C上。（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M.證明：直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值。21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)。（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)有最大值，且最大值大于2a-2時(shí)，求a的取值范圍。GAEFONDBGAEFONDBCM22．（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，⊙O與ΔABC的底邊BC交于M，N兩點(diǎn)，與底邊上的高AD交于點(diǎn)G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點(diǎn)。（Ⅰ）證明：EF∥BC；（Ⅱ）若AG等于⊙O的半徑，且，求四邊形EBCF的面積。23．（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：（t為參數(shù)，t≠0），其中0≤α<π，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：，C3：。（Ⅰ）求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（Ⅱ）若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求的最大值。24．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a+b=c+d，證明：（Ⅰ）若ab>cd；則；（Ⅱ）是的充要條件。

絕密★啟用前2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題 （1）A （2）D （3）D （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）C （10）C （11）B （12）A二、填空題 （13）-2 （14）8 （15） （16）8三．解答題（17）解：（Ⅰ）由正弦定理得因?yàn)槠椒?，所以（Ⅱ）因?yàn)?，所以由（Ⅰ）知，所以，即?8）解：（Ⅰ）通過兩地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖可以看出，B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值高于A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的平均值；B地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較集中，而A地區(qū)用戶滿意度評(píng)分比較分散。（Ⅱ）A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大。記表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”；記表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意”。由直方圖得的估計(jì)值為的估計(jì)值為所以A地區(qū)用戶的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大。（19）解：（Ⅰ）交線圍成的正方形如圖：（Ⅱ）作，垂足為M，則因?yàn)闉檎叫?，所以于是因?yàn)殚L(zhǎng)方體被平面分成兩個(gè)高為10的直棱柱，所以其體積的比值為（也正確）（20）解：（Ⅰ）由題意有，解得所以的方程為（Ⅱ）設(shè)直線將代入得故于是直線OM的斜率，即所以直線OM的斜率與直線的斜率的乘積為定值。（21）解：（Ⅰ）的定義域?yàn)槿?，則，所以在單調(diào)遞增若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，在無最大值；當(dāng)時(shí)，在取得最大值，最大值為因此等價(jià)于令，則在單調(diào)遞增，于是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此，的取值范圍是（22）解：（Ⅰ）由于是等腰三角形，，所以是的平分線又因?yàn)榉謩e與AB，AC相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，所以，故從而（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，故是的垂直平分線.又為的弦，所以在上連結(jié)，則由等于的半徑得，所以，因此和都是等邊三角形因?yàn)?，所以因?yàn)椋?/p>