高中數(shù)學(xué)必修四教案全集（40份） 人教課標(biāo)版15

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的研究，在高一必修中己經(jīng)研究了累函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

因此作為高中最后一個(gè)基本初等函數(shù)的性質(zhì)的研究,學(xué)生已經(jīng)有些經(jīng)驗(yàn)了.其中，通過觀察函

數(shù)的圖象，從圖象的特征獲得函數(shù)的性質(zhì)是一個(gè)基本方法，這也是數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用.

由于三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，這也是三角函數(shù)不同于其他類型函數(shù)的

最重要的地方，而且對(duì)于周期函數(shù)，我們只要認(rèn)識(shí)清楚它在一個(gè)周期區(qū)間上的性質(zhì)，那么就完

全清楚它在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì).

正弦、余弦函數(shù)性質(zhì)的難點(diǎn)，在于對(duì)函數(shù)周期性的正確理解與運(yùn)用,以下的奇偶性，無論是由圖

象觀察，還是由誘導(dǎo)公式進(jìn)行證明，都很容易.單調(diào)性只要求由圖象觀察，不要求證明，而正弦、

余弦函數(shù)的最大值和最小值可以作為單調(diào)性的一個(gè)推論，只要注意引導(dǎo)學(xué)生利用周期進(jìn)行正

確歸納即可.

三維目標(biāo)

.通過創(chuàng)設(shè)情境,如單擺運(yùn)動(dòng)、波浪、四季變化等，讓學(xué)生感知周期現(xiàn)象;理解周期函數(shù)的概念;

能熟練地求出簡單三角函數(shù)的周期，并能根據(jù)周期函數(shù)的定義進(jìn)行簡單的拓展運(yùn)用.

.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對(duì)周期現(xiàn)象有一個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，感受生活中處處有數(shù)學(xué)，從而激發(fā)

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，學(xué)會(huì)運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)事物.

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):正弦、余弦、正切函數(shù)的主要性質(zhì)（包括周期性、單調(diào)性、奇偶性、最值或值域）;

深入研究函數(shù)性質(zhì)的思想方法.

教學(xué)難點(diǎn):正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖象間的關(guān)系、圖象變換，以及周期函數(shù)概念的理解，最小正周

期的意義及簡單的應(yīng)用.

課時(shí)安排

課時(shí)

教學(xué)過程

第課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路.人的情緒、體力、智力都有周期性的變化現(xiàn)象，在日常生活和工作中，人們常常有這樣的

自我感覺，有的時(shí)候體力充沛，心情愉快，思維敏捷;有的時(shí)候卻疲倦乏力，心灰意冷，反應(yīng)遲鈍;

也有的時(shí)候思緒不穩(wěn)，喜怒無常，煩躁不安，糊涂健忘，這些感覺呈周期性發(fā)生,貫穿人的一生，這

就是人體節(jié)律.這種有規(guī)律性的重復(fù)，我們稱之為周期性現(xiàn)象.請同學(xué)們舉出生活中存在周期

現(xiàn)象的例子，在學(xué)生熱烈的爭論中引入新課.

思路.取出一個(gè)鐘表，實(shí)際操作，我們發(fā)現(xiàn)鐘表上的時(shí)針、分針和秒針每經(jīng)過一周就會(huì)重復(fù)，這是

一種周期現(xiàn)象.我們這節(jié)課要研究的主要內(nèi)容就是周期現(xiàn)象與周期函數(shù).那么我們怎樣從數(shù)學(xué)

的角度研究周期現(xiàn)象呢?在圖形上讓學(xué)生觀察正弦線“周而復(fù)始''的變化規(guī)律，在代數(shù)式上讓

學(xué)生思考誘導(dǎo)公式（冗）又是怎樣反映函數(shù)值的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律的.要求學(xué)生用日常語言

敘述這個(gè)公式，通過對(duì)圖象、函數(shù)解析式的特點(diǎn)的描述，使學(xué)生建立在比較牢固的理解周期性

的認(rèn)知基礎(chǔ)上，來理解“周而復(fù)始”變化的代數(shù)刻畫,由此引出周期函數(shù)的概念.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

問題①正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)嗎?如果是，又是怎樣周期性變化的？

問題②閱讀教材并思考:怎樣從代數(shù)的角度定義周期函數(shù)？

活動(dòng):教師可先引導(dǎo)學(xué)生查閱思考上節(jié)學(xué)過的正弦函數(shù)圖象，讓學(xué)生觀察正弦線的變化

規(guī)律，有什么新的發(fā)現(xiàn)?再讓學(xué)生描述這種規(guī)律是如何體現(xiàn)在正弦函數(shù)的圖象上的，即描述正

弦函數(shù)圖象是如何體現(xiàn)''周而復(fù)始”的變化規(guī)律的.通過研究圖象,學(xué)生很容易看出正弦函數(shù)、

余弦函數(shù)是周期函數(shù).怎樣變化呢?從圖中也能看出是每隔兀就重復(fù)一次.

對(duì)問題①，學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)是周期函數(shù)是沒有疑問的,至于怎樣描述，學(xué)生一時(shí)很難回答.教師

可引導(dǎo)學(xué)生思考討論，正弦函數(shù)圖象是怎樣重復(fù)出現(xiàn)的?對(duì)于回答對(duì)的學(xué)生給予肯定，鼓勵(lì)繼

續(xù)探究.對(duì)于找不到思路的學(xué)生給予提示，指導(dǎo)其正確的探究思路.

y=sinx,xwR

7兀5加3兀冗VA九3冗5兀lit

F--2--2ITTT

*7^\_———7^\---------

-4n"XL%1

-1

圖

問題②，從圖象上能夠看出，但關(guān)鍵是怎樣對(duì)“周而復(fù)始''的變化規(guī)律作出代數(shù)描述，這對(duì)學(xué)生

有一定的難度.在引入正式定義之前，可以引導(dǎo)學(xué)生先從不同角度進(jìn)行描述.例如:對(duì)于函數(shù)()

自變量每增加或減少一個(gè)定值(這樣的定值可以有很多個(gè))，函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn)，那么這個(gè)函數(shù)

就叫做周期函數(shù).教師也可以引導(dǎo)點(diǎn)撥學(xué)生從誘導(dǎo)公式進(jìn)行描述.例如：

(ct兀)a(a7t)a￡.

這表明，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在定義域內(nèi)自變量每增加(X寸)或減少(＜時(shí))一個(gè)定值私它的函數(shù)

值就重復(fù)出現(xiàn)，所以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù).還可以通過類比奇函數(shù)、偶函數(shù)、周

期函數(shù)的研窕方法來加深理解周期性概念.

如果函數(shù)0對(duì)于其定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有：

()(),那么()叫做奇函數(shù)；

()(),那么0叫做偶函數(shù)；

0(),其中是非零常數(shù)，那么()叫做周期函數(shù).

從上述定義可以看到，函數(shù)的性質(zhì)是對(duì)函數(shù)的一種整體考察結(jié)果,反映了同一類函數(shù)的共同特

點(diǎn),它們可以從代數(shù)角度得到統(tǒng)一刻畫.這種共同特點(diǎn)還可以從函數(shù)的圖象上得到反映.

討論結(jié)果:①正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)，每隔兀就重復(fù)一次.

②略.

定義:對(duì)于函數(shù)0,如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有()(),那么函數(shù)

()就叫做周期函數(shù).非零常數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的周期.

如果在周期函數(shù)0的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做()的最小正

周期.正弦函數(shù)是周期函數(shù)me且內(nèi)都是它的周期,最小正周期是兀

提出問題

①怎樣正確理解三角函數(shù)是周期函數(shù)的定義?并舉例說明.

②通過探求思考怎樣求一些簡單三角函數(shù)的周期？

活動(dòng):對(duì)問題①，學(xué)生一時(shí)可能難于理解周期的代數(shù)刻畫.教師在引導(dǎo)學(xué)生閱讀、討論、思

考問題時(shí)可多舉些具體例子，以使抽象概念具體化.如常數(shù)函數(shù)()(為常數(shù)G)是周期函數(shù)，所有

非零實(shí)數(shù)都是它的周期.同時(shí)應(yīng)特別強(qiáng)調(diào):()對(duì)周期函數(shù)與周期定義中的“當(dāng)取定義域內(nèi)每一

個(gè)值時(shí)”這句話，要特別注意“每一個(gè)值”的要求.如果只是對(duì)某些有()(),那么就不是()的周期.例

如,分別取

TT77"TTTTTTJT7T77"TT

兀一(e)一,則由(兀----)^(n—)(-------":一,可知一不是正弦函數(shù)的周期.又如(。。)。,但不是對(duì)

464246262

所有都有(°)(),所以。不是()的周期.()從上述定義還可以看到周期函數(shù)的周期不唯一，例如

口順,……都是它的周期，有無窮多個(gè)，即兀(6，)都是正弦函數(shù)的周期.這一點(diǎn)可以從周期函數(shù)

的圖象上得到反映，也可以從代數(shù)上給以證明:設(shè)是函數(shù)0的周期，那么對(duì)于任意的G#也是函

數(shù)()的周期.()對(duì)于周期函數(shù)來說,如果所有的周期中存在著一個(gè)最小的正數(shù)，就稱它為最小正

周期.但周期函數(shù)不一定存在最小正周期，例如，對(duì)于常數(shù)函數(shù)()(為常數(shù)G),所有非零實(shí)數(shù)都是

它的周期，由于可以是任意不為零的常數(shù)，而正數(shù)集合中沒有最小值，即最小正數(shù)是不存在的,

所以常數(shù)函數(shù)沒有最小正周期.()正弦函數(shù)中,正周期無窮多n是最小的一個(gè)，在我們學(xué)習(xí)的三

角函數(shù)中，如果不加特別說明，教科書提到的周期，一般都是指最小正周期.

對(duì)問題②，教師要指導(dǎo)學(xué)生緊扣定義，可先出一些簡單的求周期的例子，如:若是()的周期，那

么呢?怎樣求?實(shí)際上，由于是0的周期，那么也是它的周期.因?yàn)?)()()().這樣學(xué)生就

會(huì)明白，數(shù)學(xué)中的周期函數(shù)，其實(shí)就是在獨(dú)立變量上加上一個(gè)確定的周期之后數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的

函數(shù).

討論結(jié)果:①略.

②定義法、公式法和圖象法.

應(yīng)用示例

思路

例求下列函數(shù)的周期：

()G；

()G；

活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生緊扣定義，一切從定義出發(fā)來求.

()因?yàn)?兀)，根據(jù)周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為兀有的學(xué)生可能會(huì)提出兀是不是呢?讓學(xué)

生自己試一試，加深對(duì)概念的理解.因?yàn)?兀用所以兀不是周期.()教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，可把看成一

個(gè)新的變量，那么的最小正周期是兀,就是說，當(dāng)增加到n時(shí)，函數(shù)的值重復(fù)出現(xiàn)，而兀兀(兀)，所以當(dāng)

自變量增加到兀且必須增加到7t時(shí)函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn).因?yàn)?兀)(兀),所以由周期函數(shù)的定義可知,

原函數(shù)的周期為兀()因?yàn)閇±(兀)七][(--)71]

262626

所以由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為兀.

解：()周期為兀；

()周期為兀；

()周期為兀

點(diǎn)評(píng):通過本例我們看到函數(shù)周期的變化僅與自變量的系數(shù)有關(guān),關(guān)鍵是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到0()中

是相對(duì)于自變量而言的，讓學(xué)生總結(jié)歸納一下這些函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關(guān).

27r

一般地，函數(shù)?(p)(其中、3、(P為常數(shù)女(0>￡)的周期為一.可以按照如下的方法求它的周期:

co

「2〃

(3軻)Lco(--)(p」(3(p).

CD

于是有(女)()，

co

27r1TT1

所以其周期為——.例如，在第()小題(一一)e中,3—，所以其周期是兀.由上述解法可以看到，思

(D262

考的基本依據(jù)還是的周期為兀

277

根據(jù)這個(gè)結(jié)論，我們可以由這類函數(shù)的解析式直接寫出函數(shù)的周期.如例中的第()小題一兀

(O

這是求簡單三角函數(shù)周期的最基本方法，即公式法.

變式訓(xùn)練

.已知()是周期為的周期函數(shù)，且(),求0.

解:因?yàn)槭呛瘮?shù)()在上的周期，

所以()()

()0().

.已知奇函數(shù)()是上的函數(shù)，月.()()(),求().

解:由題意知是函數(shù)0的周期，且()()，

所以0(X)

000().

思路

例判斷函數(shù)()1IW的周期性.如果是周期函數(shù),最小正周期是多少？

活動(dòng):本例的難度較大,教師可引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)，結(jié)合誘導(dǎo)公式,尋求使()()成立的的值.

學(xué)生可能會(huì)很容易找出mt,這的確是原函數(shù)的周期，但是不是最小正周期呢?教師引導(dǎo)學(xué)生選

其他幾個(gè)值試試.如果學(xué)生很快求出，教師給予表揚(yáng)鼓勵(lì);如果學(xué)生做不出，教師點(diǎn)撥學(xué)生的探

究思路，主要讓學(xué)生自己討論解決.

解:因?yàn)?兀)(兀)I(兀)I

II

().

所以原函數(shù)是周期函數(shù),最小正周期是兀

點(diǎn)評(píng):本題能很容易判斷是周期函數(shù)，但要求的是“最小正周期”,那就要多加小心了.雖然將皿

帶入公式后也符合要求,但還必須進(jìn)一步變形，即0中的以兀代替后看看函數(shù)值變不變.為此需

7T

將兀，一等都代入試一試.實(shí)際上，在()IIe中,學(xué)生應(yīng)看到平方與絕對(duì)值的作用是一樣的，與

2

負(fù)號(hào)沒有關(guān)系.因而?？隙ㄊ窃瘮?shù)的一個(gè)周期.

變式訓(xùn)練

.求函數(shù);(兀)的周期.

解煙為;(兀)

所以周期兀

.證明正弦、余弦函數(shù)的最小正周期是兀

證明:(反證法)先證正弦函數(shù)的最小正周期是兀

由于兀是它的一個(gè)周期，

所以只需證明任意一個(gè)小于兀的正數(shù)都不是它的周期.

假設(shè)是正弦函數(shù)的周期，且<<兀，

那么根據(jù)周期函數(shù)的定義,當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有().

代入上式，得(1)g,

22

7T

但(]),于是有.

根據(jù)余弦函數(shù)的定義，當(dāng)右（兀）時(shí)＜.

這說明上述是不可能的.

于是必須等于兀,即正弦函數(shù)的最小正周期是兀

同理可證,余弦函數(shù)的最小正周期也是兀

知能訓(xùn)練

課本本節(jié)練習(xí)

解答：

.成立.但不能說。是正弦函數(shù)的一個(gè)周期，因?yàn)榇说仁讲皇菍?duì)的一切值都成立.

例如（。。￥°.

點(diǎn)評(píng):理解周期函數(shù)概念中“當(dāng)取定義域內(nèi)每一個(gè)值時(shí)”的“每一個(gè)值''的含義.

8萬71

點(diǎn)評(píng):利用周期函數(shù)的圖象和定義求周期，體會(huì)周期與自變量的系數(shù)有關(guān).

.可以先在一個(gè)周期的區(qū)間上研究函數(shù)的其他性質(zhì),再利用函數(shù)的周期性，將所研究的性質(zhì)擴(kuò)

展到整個(gè)定義域.

點(diǎn)評(píng):了解如何利用函數(shù)的周期性來認(rèn)識(shí)周期函數(shù)的其他性質(zhì).可讓學(xué)生課堂討論，然后歸納

總結(jié).

課堂小結(jié)

由學(xué)生回顧本節(jié)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)有哪些？（周期函數(shù)的概念，最小正周期的定義，正弦、余弦函

數(shù)的周期性?＜p）?＞）的周期）.并思考總結(jié)本節(jié)都用了哪些數(shù)學(xué)方法?（觀察與歸納，特殊到一

般,定義法，數(shù)形結(jié)合,辯證的觀點(diǎn)）

作業(yè)

.課本習(xí)題組組.

.預(yù)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性.

設(shè)計(jì)感想

.本節(jié)課的設(shè)計(jì)思想是:在學(xué)生的探究活動(dòng)中突破正弦、余弦函數(shù)的周期性這個(gè)教學(xué)難點(diǎn).因此

一開始要讓學(xué)生從圖形、代數(shù)兩方面深入探究，不要讓開始的探究成為一種擺設(shè).如果學(xué)生一

開始沒有很好的理解，那么，以后有些題就會(huì)很難做.通過探究讓學(xué)生找出周期這個(gè)規(guī)律性的

東西，并明確知識(shí)依附于問題而存在，方法為解決問題的需要而產(chǎn)生.將周期性概念的形成過

程自然地貫徹到教學(xué)活動(dòng)中去，由此把學(xué)生的思維推到更高的廣度.

.本節(jié)設(shè)計(jì)的特點(diǎn)是從形到數(shù)、由特殊到一般、由易到難，這符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.讓學(xué)生在探

究中積累知識(shí)，發(fā)展能力,對(duì)形成科學(xué)的探究未知世界的嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)有著良好的啟導(dǎo).但由于學(xué)

生知識(shí)水平的限制，本節(jié)不能擴(kuò)展太多，建議讓學(xué)有余力的學(xué)生繼續(xù)探討函數(shù)的周期性的規(guī)律

及一般三角函數(shù)的周期的求法.

.根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)可考慮分層推進(jìn)、照顧全體.對(duì)優(yōu)等生，重在引導(dǎo)他們進(jìn)行一題多解,多題合

一，變式思考的訓(xùn)練,培養(yǎng)他們求同思維、求異思維能力，以及思維的靈活性、深刻性與創(chuàng)造性,

鼓勵(lì)他們獨(dú)立思考，勇于探索，敢于創(chuàng)新,對(duì)正確的要予以肯定，對(duì)暴露出來的問題要及時(shí)引導(dǎo)、

剖析糾正，使課堂學(xué)習(xí)成為再發(fā)現(xiàn)再創(chuàng)造的過程.

（設(shè)計(jì)者:鄭吉星）

第課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路.（類比導(dǎo)入）我們在研究一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，如幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，往往

通過它們的圖象來研究.先讓學(xué)生畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，從學(xué)生畫圖象、觀察圖象

入手,由此展開正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)的探究.

思路.（直接導(dǎo)入）研究函數(shù)就是要討論函數(shù)的一些性質(zhì)是函數(shù)，我們當(dāng)然也要探討它們的一些

性質(zhì).本節(jié)課，我們就來研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)最基本的幾條性質(zhì).請同學(xué)們回想一下，一般來

說，我們是從哪些方面去研究一個(gè)函數(shù)的性質(zhì)的呢（定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、最值）?

然后逐一進(jìn)行探究.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

①回憶并畫出正弦曲線和余弦曲線，觀察它們的形狀及在坐標(biāo)系中的位置；

②觀察正弦曲線和余弦曲線，說出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域各是什么；

③觀察正弦曲線和余弦曲線，說出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域各是什么；

由值域又能得到什么；

④觀察正弦曲線和余弦曲線，函數(shù)值的變化有什么特點(diǎn)？

⑤觀察正弦曲線和余弦曲線，它們都有哪些對(duì)稱？

圖

活動(dòng):先讓學(xué)生充分思考、討論后再回答.對(duì)回答正確的學(xué)生，教師可鼓勵(lì)他們按自己的思

路繼續(xù)探究，對(duì)找不到思考方向的學(xué)生，教師可參與到他們中去,并適時(shí)的給予點(diǎn)撥、指導(dǎo).

在上一節(jié)中,要求學(xué)生不僅會(huì)畫圖，還要識(shí)圖,這也是學(xué)生必須熟練掌握的基本功.因此，在研究

正弦、余弦函數(shù)性質(zhì)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘正弦、余弦函數(shù)曲線或單位圓中的三角函

數(shù)線，當(dāng)然用多媒體課件來研究三角函數(shù)性質(zhì)是最理想的,因?yàn)閱挝粓A中的三角函數(shù)線更直觀

地表現(xiàn)了三角函數(shù)中的自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系，是研究三角函數(shù)性質(zhì)的好工具.用三角函

數(shù)線研究三角函數(shù)的性質(zhì),體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，有利于我們從整體上把握有關(guān)性質(zhì).

對(duì)問題①，學(xué)生不一定畫準(zhǔn)確，教師要求學(xué)生盡量畫準(zhǔn)確，能畫出它們的變化趨勢.

對(duì)問題②,學(xué)生很容易看出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集（或（88））.

對(duì)問題③，學(xué)生很容易觀察出正弦曲線和余弦曲線上、下都有界，得出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的

值域都是[].教師要引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)的角度思考并給出證明.

?.?正弦線、余弦線的長度小于或等于單位圓的半徑的長度，

II<,II<.即

也就是說，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是口.對(duì)于正弦函數(shù)（d）,

（）當(dāng)且僅當(dāng)5兀6時(shí),取得最大值.

1T

（）當(dāng)且僅當(dāng)耳兀e時(shí),取得最小值.

對(duì)于余弦函數(shù)(6),

()當(dāng)且僅當(dāng)nd時(shí),取得最大值.

()當(dāng)且僅當(dāng)()兀e時(shí),取得最小值.

對(duì)問題④，教師可引導(dǎo)、點(diǎn)撥學(xué)生先截取一段來看，選哪一段呢?如圖，通過學(xué)生充分討論后確

定，選圖象上的《TT子］(如圖)這段.教師還要強(qiáng)調(diào)為什么選這段，而不選田的道理,其他類

圖

這個(gè)變化情況也可從下表中顯示出來:

71713〃

-2nT

//

就是說，函數(shù)e.

22

rr4

當(dāng)G時(shí),曲線逐漸上升，是增函數(shù)的值由增大到；

22

TT34

當(dāng)G［-，^］時(shí),曲線逐漸下降，是減函數(shù)的值由減小到.

22

類似地，同樣可得￡［兀㈤的單調(diào)變化情況.教師要適時(shí)點(diǎn)撥、引導(dǎo)學(xué)生先如何恰當(dāng)?shù)剡x取余弦

曲線的一段來研究，如圖，為什么選阮見而不是選［用.

引導(dǎo)學(xué)生列出下表:

TC71

n~27T

/7X

結(jié)合正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性可知：

TTTT

正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［,兀,捫(G)上都是增函數(shù)，其值從增大到;在每一個(gè)閉區(qū)間

TT3乃

［ynyn］(G)上都是減函數(shù)，其值從減小到.

余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［()兀4(三)上都是增函數(shù)，其值從增加到;在每一個(gè)閉區(qū)間［兀,()兀］

(G)上都是減函數(shù)，其值從減小到.

對(duì)問題⑤，學(xué)生能直觀地得出:正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,余弦曲線關(guān)于軸對(duì)稱.在上為奇函數(shù)為

偶函數(shù).教師要恰時(shí)恰點(diǎn)地引導(dǎo),怎樣用學(xué)過的知識(shí)方法給予證明？

由誘導(dǎo)公式:：()()，

，為奇函數(shù)為偶函數(shù).

至此，一部分學(xué)生已經(jīng)看出來了，在正弦曲線、余弦曲線上還有其他的對(duì)稱點(diǎn)和對(duì)稱軸,如正弦

曲線還關(guān)于直線巴對(duì)稱，余弦曲線還關(guān)于點(diǎn)(2)對(duì)稱，等等，這是由它的周期性而來的.教師可

22

就此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探討，為今后的學(xué)習(xí)打下伏筆.

討論結(jié)果:①略.

②定義域?yàn)?

③值域?yàn)榭?，最大值都是，最小值都?

④單調(diào)性(略).

⑤奇偶性(略).

當(dāng)我們仔細(xì)對(duì)比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)性質(zhì)后,會(huì)發(fā)現(xiàn)它們有很多共同之處.我們不妨把兩個(gè)圖

象中的直角坐標(biāo)系都去掉，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們其實(shí)都是同樣形狀的曲線，所以它們的定義域相同，都

為，值域也相同，都是口，最大值都是，最小值都是，只不過由于軸放置的位置不同，使取得最大

(或最小)值的時(shí)刻不同;它們的周期相同，最小正周期都是兀;它們的圖象都是軸對(duì)稱圖形和中

心對(duì)稱圖形，且都是以圖象上函數(shù)值為零所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為對(duì)稱中心,以過最值點(diǎn)且垂直于軸的直

線為對(duì)稱軸.但是由于軸的位置不同，對(duì)稱中心及對(duì)稱軸與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)也不同,它們都不

具備單調(diào)性，但都有單調(diào)區(qū)間，且都是增、減區(qū)間間隔出現(xiàn),也是由于軸的位置改變，使增減區(qū)間

的位置有所不同，也使奇偶性發(fā)生了改變.

應(yīng)用示例

思路

例數(shù)有最大值、最小值嗎?如果有，請寫出取最大值、最小值時(shí)的自變量的集合，并說出最大

值、最小值分別是什么.

()G；()G.

活動(dòng):通過這道例題直接鞏固所學(xué)的正弦、余弦的性質(zhì).容易知道,這兩個(gè)函數(shù)都有最大

值、最小值.課堂上可放手讓學(xué)生自己去探究，教師適時(shí)的指導(dǎo)、點(diǎn)撥、糾錯(cuò)，并體會(huì)對(duì)應(yīng)取得

最大(小)值的自變量為什么會(huì)有無窮多個(gè).

解：()使函數(shù)e取得最大值的的集合，就是使函數(shù)G取得最大值的的集合｛冗￡｝;

使函數(shù)W取得最小值的的集合，就是使函數(shù)G取得最小值的的集合｛。兀右｝.

函數(shù)e的最大值是，最小值是.

TT

()令,使函數(shù)G取得最大值的的集合是｛3?！叮?

.冗,口冗

由一兀，得一兀.

24

因此使函數(shù)￡取得最大值的的集合是｛一?！辏?

4

7T

同理,使函數(shù)￡取得最小值的的集合是｛一兀七｝.

4

函數(shù)e的最大值是，最小值是.

點(diǎn)評(píng):以前我們求過最值，本例也是求最值，但對(duì)應(yīng)的自變量的值卻不唯一，這從正弦函數(shù)的周

期性容易得到解釋.求解本例的基本依據(jù)是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最大(小)值的性質(zhì),對(duì)于形

如(3(P)的函數(shù)，一般通過變量代換(如設(shè)3中化歸為的形式),然后進(jìn)行求解.這種思想對(duì)于利用

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的其他性質(zhì)解決問題時(shí)也適用.

例函數(shù)的單調(diào)性，比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

7i.7123萬,17兀

活動(dòng):學(xué)生很容易回憶起利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行大小比較，充分利用

學(xué)生的知識(shí)遷移，有利于學(xué)生能力的快速提高.本例的兩組都是正弦或余弦，只需將角化為同

一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后根據(jù)單調(diào)性比較大小即可.課堂上教師要讓學(xué)生自己獨(dú)立地去操作，教

師適時(shí)地點(diǎn)撥、糾錯(cuò)，對(duì)思考方法不對(duì)的學(xué)生給予幫助指導(dǎo).

7T7T7T7T717t

解：()因?yàn)?--＜----＜----＜正弦函數(shù)在區(qū)間［---］上是增函數(shù)，所以(----)＞(-----).

2101821810

23乃2343萬17兀17兀兀

0(——)———(——)——--

555444

JT37r

因?yàn)椋家唬肌钾?且函數(shù)^［，兀］是減函數(shù)，

45

事一，，乃3乃23萬17萬

所以：＞二,n即rl(----)＜(---?).

4554

點(diǎn)評(píng):推進(jìn)本例時(shí)應(yīng)提醒學(xué)生注意，在今后遇到的三角函數(shù)值大小比較時(shí)，必須將已知角化到

同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),其次要注意首先大致地判斷一下有沒有符號(hào)不同的情況，以便快速解題,

如本例中2＞匕〈，顯然大小立判.

45

1JI

例函數(shù)河的單調(diào)遞增區(qū)間.

活動(dòng):可以利用正弦函數(shù)的單調(diào)性來求所給函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.教師要引導(dǎo)學(xué)生的思考方

向：

把人1々4看成,這樣問題就轉(zhuǎn)化為求的單調(diào)區(qū)間問題，而這就簡單多了.

23

JTT

解:令一一.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

23

乃)

L--兀一九」.

22

」式\兀7rg5%7T

由一兀3-----W一兀,得一-----兀W—兀￡.

223233

—K且工兀女,于是-1"空白，由于G,所以，即一包三色，而

由￡［兀兀］可知71＜—

33121233

［音亭E

因此，函數(shù)X的rr單調(diào)遞增區(qū)間是［一S號(hào)77，rr.

點(diǎn)評(píng):本例的求解是轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用，即利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)關(guān)

于的不等式問題.然后通過解不等式得到所求的單調(diào)區(qū)間，要讓學(xué)生熟悉并靈活運(yùn)用這一數(shù)學(xué)

思想方法,善于將復(fù)雜的問題簡單化.

思路

例求下列函數(shù)的定義域：

0；~：—;()Jcosx.

1+sinx

活動(dòng):學(xué)生思考操作，教師提醒學(xué)生充分利用函數(shù)圖象，根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)點(diǎn)

撥，糾正出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤或書寫不規(guī)范等.

3乃

解：()由羊,得龍即羊三兀(G).

3乃

原函數(shù)的定義域?yàn)椋鸌-?！叮?

()由之,得一萬―3兀(C).

7TTT

...原函數(shù)的定義域?yàn)椋垡灰籛—捫(G).

22

點(diǎn)評(píng):本例實(shí)際上是解三角不等式，可根據(jù)正弦曲線、余弦曲線直接寫出結(jié)果.本例分作兩步,

第一步轉(zhuǎn)化，第二步利用三角函數(shù)曲線寫出解集.

TT7T

例在下列區(qū)間中，函數(shù)(—)的單調(diào)增區(qū)間是()

44

.［兀］.

2442

TTTTTTTT

活動(dòng):函數(shù)(一)是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，即附()］,(po—,欲求(一)的單調(diào)增區(qū)間，因(P0—在實(shí)數(shù)集

4444

TT

上恒遞增，故應(yīng)求使隨(P0遞增而遞增的區(qū)間.也可從轉(zhuǎn)化與化歸思想的角度考慮，即把一看成

4

一個(gè)整體，其道理是一樣的.

77TT77"TTTT7T

解:???(p()2在實(shí)數(shù)集上恒遞增，又在［兀2兀2］(e)上是遞增的，故令713s々加

422242

3%71

.*.71------?7T—.

44

；.(工)的遞增區(qū)間是6紅兀工］.

444

n八1177萬37715萬9萬

取、、分別得［——［---［—,—

444444

對(duì)照選擇肢，可知應(yīng)選.

答案

點(diǎn)評(píng):像這類題型，上述解法屬常規(guī)解法,而運(yùn)用?(p)的單調(diào)增區(qū)間的一般結(jié)論,由一般到特殊

求解，既快又準(zhǔn)確，若本題運(yùn)用對(duì)稱軸方程求單調(diào)區(qū)間，則是一種頗具新意的簡明而又準(zhǔn)確、可

靠的方法.當(dāng)然作為選擇題還可利用特殊值、圖象變換等手段更快地解出.

解題規(guī)律:求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般思路是：

()求定義域;()確定復(fù)合過程(并();()根據(jù)函數(shù)()的單調(diào)性確定(p()的單調(diào)性;()寫出滿足中()的單

調(diào)性的含有的式子，并求出的范圍;()得到的范圍，與其定義域求交集，即是原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

結(jié)論:對(duì)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可以直接根據(jù)構(gòu)成函數(shù)的單調(diào)性來判斷.

變式訓(xùn)練

.如果函數(shù)()(兀9)(＜0＜冗)的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)取得最大值，那么()

n71

,071,071,0—

'叼2

解』,又當(dāng)時(shí)(兀要使上式取得最大值，可取6-.

712

答案

1jr9r

.求函數(shù)一(-----)的單調(diào)遞減區(qū)間及單調(diào)遞增區(qū)間.

243

1712x12x71

解5%不)777.

7T2X7T冗

由兀一<-----<71——,

2342

37r97r

可得?！肇Ｒ?￡),為單調(diào)減區(qū)間；

88

7T2X713兀

由7t—<------<71----,

2342

97r214

可得兀<<7t-----(G),為單調(diào)增區(qū)間.

88

37r97r

所以原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為［兀-二兀一］(e)

88;

原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為［兀9z二r無217一r］(6).

88

知能訓(xùn)練

課本本節(jié)練習(xí)

解答：

.()(7C,(?G；()(()7t7t)G；

7171712)71

()(：77t'T■兀)e；()(■無兀)?

2222

點(diǎn)評(píng):只需根據(jù)正弦曲線、余弦曲線寫出結(jié)果，不要