2025《初中數(shù)學(xué)》專題突破專題61 二次函數(shù)背景下的相似三角形問題（含答案及解析）

模型介紹模型介紹在坐標系中確定點，使得由該點及其他點構(gòu)成的三角形與其他三角形相似，即為“相似三角形存在性問題”．【相似判定】判定1：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形是相似三角形；判定2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形是相似三角形；判定3：有兩組角對應(yīng)相等的三角形是相似三角形．以上也是坐標系中相似三角形存在性問題的方法來源，根據(jù)題目給的已知條件選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，解決問題．【題型分析】通常相似的兩三角形有一個是已知的，而另一三角形中有1或2個動點，即可分為“單動點”類、“雙動點”兩類問題．【思路總結(jié)】根據(jù)相似三角形的做題經(jīng)驗，可以發(fā)現(xiàn)，判定1基本是不會用的，這里也一樣不怎么用，對比判定2、3可以發(fā)現(xiàn)，都有角相等！所以，要證相似的兩個三角形必然有相等角，關(guān)鍵點也是先找到一組相等角．然后再找：思路1：兩相等角的兩邊對應(yīng)成比例；思路2：還存在另一組角相等．事實上，坐標系中在已知點的情況下，線段長度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優(yōu)先考慮思路1．一、如何得到相等角？二、如何構(gòu)造兩邊成比例或者得到第二組角？搞定這兩個問題就可以了．

例題精講例題精講【例1】．如圖，拋物線y＝﹣x2+x+2交x軸于點A，B，交y軸于點C，點M是第一象限內(nèi)拋物線上一點，過點M作MN⊥x軸于點N．若△MON與△BOC相似，求點M的橫坐標．變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，已知直線y＝x+4與x軸、y軸分別相交于點A和點C，拋物線y＝x2+kx+k﹣1圖象過點A和點C，拋物線與x軸的另一交點是B，（1）求出此拋物線的解析式、對稱軸以及B點坐標；（2）若在y軸負半軸上存在點D，能使得以A、C、D為頂點的三角形與△ABC相似，請求出點D的坐標．【例2】．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B兩點，與y軸交于點C（0，3）．（1）求該拋物線的表達式；（2）過點B作x軸的垂線，在該垂線上取一點P，使得△PBC與△ABC相似，請求出點P的坐標．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，且過點D（2，﹣3）．點P、Q是拋物線y＝ax2+bx+c上的動點．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點P在直線OD下方時，求△POD面積的最大值．（3）直線OQ與線段BC相交于點E，當(dāng)△OBE與△ABC相似時，求點Q的坐標．1．拋物線y＝﹣x2平移后的位置如圖所示，點A，B坐標分別為（﹣1，0）、（3，0），設(shè)平移后的拋物線與y軸交于點C，其頂點為D．（1）求平移后的拋物線的解析式和點D的坐標；（2）∠ACB和∠ABD是否相等？請證明你的結(jié)論；（3）點P在平移后的拋物線的對稱軸上，且△CDP與△ABC相似，求點P的坐標．2．如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，以AB所在直線為x軸，過c點的直線為y軸建立平面直角坐標系．此時，A點坐標為（﹣1，0），B點坐標為（4，0）（1）試求點C的坐標；（2）若拋物線y＝ax2+bx+c過△ABC的三個頂點，求拋物線的解析式；（3）點D（1，m）在拋物線上，過點A的直線y＝﹣x﹣1交（2）中的拋物線于點E，那么在x軸上點B的左側(cè)是否存在點P，使以P、B、D為頂點的三角形與△ABE相似？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．3．如圖已知直線y＝x+與拋物線y＝ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）兩點，拋物線y＝ax2+bx+c交y軸于點C（0，﹣），交x軸正半軸于D點，拋物線的頂點為M．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點P為直線AB下方的拋物線上一動點，當(dāng)△PAB的面積最大時，求△PAB的面積及點P的坐標；（3）若點Q為x軸上一動點，點N在拋物線上且位于其對稱軸右側(cè)，當(dāng)△QMN與△MAD相似時，求N點的坐標．4．如圖，已知拋物線經(jīng)過△ABC的三個頂點，其中點A（0，1），點B（﹣9，10），AC∥x軸，點P是直線AC下方拋物線上的動點．（1）直接寫出：b＝，c＝；（2）過點P且與y軸平行的直線l與直線AB，AC分別交于點E，F(xiàn)，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時，求點P的坐標；（3）當(dāng)點P為拋物線的頂點時，在直線AC上是否存在點Q，使得以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．5．已知拋物線經(jīng)過點A（﹣2，0），B（0，﹣4），與x軸交于另一點C，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，P是第一象限內(nèi)拋物線上一點，且S△PBO＝S△PBC，求直線AP的表達式；（3）在拋物線上是否存在點D，直線BD交x軸于點E，使△ABE與以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形相似（不重合）？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．6．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+6經(jīng)過兩點A（﹣1，0），B（3，0），C是拋物線與y軸的交點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P（m，n）在平面直角坐標系第一象限內(nèi)的拋物線上運動，直線CP與x軸交于點Q，當(dāng)∠BQC＝∠BCO時，求此時P點坐標；（3）點M在拋物線上運動，點N在y軸上運動，是否存在點M、點N使得∠CNM＝90°，且△CMN與△OBC相似，如果存在，請求出點M和點N的坐標．7．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，點A，B分別位于原點的左、右兩側(cè)，BO＝3AO＝3，過點B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點分別為點C，D，．（1）求b，c的值；（2）求直線CD的函數(shù)解析式；（3）求∠ADB的度數(shù)；（4）點P在拋物線的對稱軸上且在x軸下方，點Q在射線BA上，當(dāng)△ABD與△BPQ相似時，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標．8．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣2）．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖1，點D為第四象限拋物線上一點，連接AD，BC交于點E，求的最大值；（3）如圖2，連接AC，BC，過點O作直線l∥BC，點P，Q分別為直線l和拋物線上的點，試探究：在第一象限是否存在這樣的點P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．9．如圖，直線y＝﹣x+c與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A，B．（1）求點B的坐標和拋物線的解析式；（2）M為線段OA上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N．若以B，P，N為頂點的三角形與△APM相似，求點M的坐標；（3）將拋物線在0≤x≤3之間的部分記為圖象L，將圖象L在直線y＝t上方部分沿直線y＝t翻折，其余部分保持不動，得到一個新的函數(shù)圖象，記這個函數(shù)的最大值為a，最小值為b，若a﹣b≤3，請直接寫出t的取值范圍．10．如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，B、C兩點的坐標分別為（1，0）、（0，﹣3），直線y＝kx+3k經(jīng)過點A，與y軸交于點D．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點E是拋物線上一動點（不與點C重合），連接AE，過點E作EF⊥x軸，垂足為F，若△AEF是等腰直角三角形，求點E的坐標；（3）在（2）的條件下，若在直線y＝kx+3k上存在一點G使得△DFG與△AOC相似，求出k的值．11．如圖，已知A（﹣2，0），B（4，0），拋物線y＝ax2+bx﹣1過A、B兩點，并與過A點的直線y＝﹣x﹣1交于點C．（1）求拋物線解析式及對稱軸；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使四邊形ACPO的周長最?。咳舸嬖?，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；（3）點M為y軸右側(cè)拋物線上一點，過點M作直線AC的垂線，垂足為N．問：是否存在這樣的點N，使以點M、N、C為頂點的三角形與△AOC相似，若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由．12．拋物線L：y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（0，1），與它的對稱軸直線x＝1交于點B．（1）求出拋物線L的解析式；（2）如圖1，過定點的直線y＝kx﹣k+4（k＜0）與拋物線L交于點M、N．若△BMN的面積等于1，求k的值；（3）如圖2，將拋物線L向上平移m（m＞0）個單位長度得到拋物線L1，拋物線L1與y軸交于點C，過點C作y軸的垂線交拋物線L1于另一點D，F(xiàn)為拋物線L1的對稱軸與x軸的交點，P為線段OC上一點，若△PCD與△POF相似，并且符合條件的點P恰有2個，求m的值及相應(yīng)點P的坐標．13．設(shè)拋物線y＝ax2+bx﹣2與x軸交于兩個不同的點A（﹣1，0）、B（m，0），與y軸交于點C，且∠ACB＝90度．（1）求m的值和拋物線的解析式；（2）已知點D（1，n）在拋物線上，過點A的直線y＝x+1交拋物線于另一點E．若點P在x軸上，以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，△BDP的外接圓半徑等于．14．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+x﹣與x軸交于點A、B（點A在點B右側(cè)），點D為拋物線的頂點，點C在y軸的正半軸上，CD交x軸于點F，△CAD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△CFE，點A恰好旋轉(zhuǎn)到點F，連接BE．（1）求點A、B、D的坐標；（2）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；（3）如圖2，過頂點D作DD1⊥x軸于點D1，點P是拋物線上一動點，過點P作PM⊥x軸，點M為垂足，使得△PAM與△DD1A相似（不含全等）．①求出一個滿足以上條件的點P的橫坐標；②直接回答這樣的點P共有幾個？15．如圖1，經(jīng)過原點O的拋物線y＝ax2+bx（a≠0）與x軸交于另一點A（，0），在第一象限內(nèi)與直線y＝x交于點B（2，t）．（1）求這條拋物線的表達式；（2）在第四象限內(nèi)的拋物線上有一點C，滿足以B，O，C為頂點的三角形的面積為2，求點C的坐標；（3）如圖2，若點M在這條拋物線上，且∠MBO＝∠ABO，①求點M的坐標；②在（2）的條件下，是否存在點P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．16．拋物線y＝ax2+6x+c過A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三點．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖①，拋物線上一點D在線段AC的上方，DE⊥AB，交AC于點E，若滿足．求點D的坐標；（3）如圖②，F(xiàn)為拋物線頂點，過A作直線l⊥AB，若點P在直線l上運動，點Q在x軸上運動，是否存在這樣的點P、Q，使得△BQP與△ABF相似（P與F為對應(yīng)點），若存在，直接寫出P、Q的坐標及此時△BQP的面積；若不存在，請說明理由．17．如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣3x的圖象經(jīng)過O（0，0），A（4，4），B（3，0）三點，以點O為位似中心，在y軸的右側(cè)將△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過O，A′，B′三點．（1）畫出△OA′B′，試求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的表達式；（2）點P（m，n）在二次函數(shù)y＝x2﹣3x的圖象上，m≠0，直線OP與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交于點Q（異于點O）．①求點Q的坐標（橫、縱坐標均用含m的代數(shù)式表示）②連接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范圍；③當(dāng)點Q在第一象限內(nèi)，過點Q作QQ′平行于x軸，與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交于另一點Q′，與二次函數(shù)y＝x2﹣3x的圖象交于點M，N（M在N的左側(cè)），直線OQ′與二次函數(shù)y＝x2﹣3x的圖象交于點P′．△Q′P′M∽△QB′N，則線段NQ的長度等于6．18．如圖1，圖形ABCD是由兩個二次函數(shù)y1＝kx2+m（k＜0）與y2＝ax2+b（a＞0）的部分圖象圍成的封閉圖形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．（1）直接寫出這兩個二次函數(shù)的表達式；（2）判斷圖形ABCD是否存在內(nèi)接正方形（正方形的四個頂點在圖形ABCD上），并說明理由；（3）如圖2，連接BC，CD，AD，在坐標平面內(nèi)，求使得△BDC與△ADE相似（其中點C與點E是對應(yīng)頂點）的點E的坐標．19．如圖，直線y＝x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A，B．（I）求拋物線的解析式；（Ⅱ）M（m，0）為x軸上一個動點，過點M作直線MN垂直于x軸，與直線AB和拋物線分別交于點P、N．①點M在線段OA上運動，若以B，P，N為頂點的三角形與△APM相似，求點M的坐標；②點M在x軸上自由運動，若三個點M，P，N中恰有一點是其它兩點所連線段的中點（三點重合除外），則稱M，P，N三點為“共諧點”，請直接寫出使得M，P，N三點成為“共諧點”的m的值．20．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣4，0）、B（1，0），與y軸交于點C（0，2）．（1）求拋物線的表達式；（2）將△ABC繞AB中點E旋轉(zhuǎn)180°，得到△BAD．①求點D的坐標；②判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由；（3）在該拋物線對稱軸上是否存在點F，使△AEF與△BAD相似？若存在，求所有滿足條件的F點的坐標；若不存在，請說明理由．21．已知拋物線y＝﹣x2+3x+4交y軸于點A，交x軸于點B，C（點B在點C的右側(cè)）．過點A作垂直于y軸的直線l．在位于直線l下方的拋物線上任取一點P，過點P作直線PQ平行于y軸交直線l于點Q．連接AP．（1）寫出A，B，C三點的坐標；（2）若點P位于拋物線的對稱軸的右側(cè)：①如果以A，P，Q三點構(gòu)成的三角形與△AOC相似，求出點P的坐標；②若將△APQ沿AP對折，點Q的對應(yīng)點為點M．是否存在點P，使得點M落在x軸上？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；③設(shè)AP的中點是R，其坐標是（m，n），請直接寫出m和n的關(guān)系式，并寫出m的取值范圍．22．如圖，拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交于A、B兩點，且OA＝2OB，與y軸交于點C，連接BC，拋物線對稱軸為直線x＝，D為第一象限內(nèi)拋物線上一動點，過點D作DE⊥OA于點E，與AC交于點F，設(shè)點D的橫坐標為m．（1）求點A的坐標與拋物線的表達式；（2）連接CD，AD，設(shè)四邊形OADC的面積為S．①求S與m的關(guān)系式；②當(dāng)S最大時，求D點的坐標．（3）若點P是對稱軸上一點，當(dāng)△DPF∽△BOC時，求m的值．

模型介紹模型介紹在坐標系中確定點，使得由該點及其他點構(gòu)成的三角形與其他三角形相似，即為“相似三角形存在性問題”．【相似判定】判定1：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形是相似三角形；判定2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形是相似三角形；判定3：有兩組角對應(yīng)相等的三角形是相似三角形．以上也是坐標系中相似三角形存在性問題的方法來源，根據(jù)題目給的已知條件選擇恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，解決問題．【題型分析】通常相似的兩三角形有一個是已知的，而另一三角形中有1或2個動點，即可分為“單動點”類、“雙動點”兩類問題．【思路總結(jié)】根據(jù)相似三角形的做題經(jīng)驗，可以發(fā)現(xiàn)，判定1基本是不會用的，這里也一樣不怎么用，對比判定2、3可以發(fā)現(xiàn)，都有角相等！所以，要證相似的兩個三角形必然有相等角，關(guān)鍵點也是先找到一組相等角．然后再找：思路1：兩相等角的兩邊對應(yīng)成比例；思路2：還存在另一組角相等．事實上，坐標系中在已知點的情況下，線段長度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優(yōu)先考慮思路1．一、如何得到相等角？二、如何構(gòu)造兩邊成比例或者得到第二組角？搞定這兩個問題就可以了．

例題精講例題精講【例1】．如圖，拋物線y＝﹣x2+x+2交x軸于點A，B，交y軸于點C，點M是第一象限內(nèi)拋物線上一點，過點M作MN⊥x軸于點N．若△MON與△BOC相似，求點M的橫坐標．解：∵拋物線y＝﹣x2+x+2交x軸于點A，B，交y軸于點C，∴當(dāng)y＝0時，0＝﹣x2+x+2，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴OB＝4，當(dāng)x＝0時，y＝2，∴OC＝2，∵點M是第一象限內(nèi)拋物線上一點，∴設(shè)M（m，﹣m2+m+2），∵MN⊥x軸，∴ON＝m，MN＝﹣m2+m+2，∠ONM＝90°，∵∠BOC＝90°，∴∠BOC＝∠ONM，∵△MON與△BOC相似，∴或，∴＝或＝，∴m＝或m＝﹣1+（負值舍去），∴點M的橫坐標為或﹣1+．變式訓(xùn)練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，已知直線y＝x+4與x軸、y軸分別相交于點A和點C，拋物線y＝x2+kx+k﹣1圖象過點A和點C，拋物線與x軸的另一交點是B，（1）求出此拋物線的解析式、對稱軸以及B點坐標；（2）若在y軸負半軸上存在點D，能使得以A、C、D為頂點的三角形與△ABC相似，請求出點D的坐標．解：（1）由x＝0得y＝0+4＝4，則點C的坐標為（0，4）；由y＝0得x+4＝0，解得x＝﹣4，則點A的坐標為（﹣4，0）；把點C（0，4）代入y＝x2+kx+k﹣1，得k﹣1＝4，解得：k＝5，∴此拋物線的解析式為y＝x2+5x+4，∴此拋物線的對稱軸為x＝﹣＝﹣．令y＝0得x2+5x+4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣4，∴點B的坐標為（﹣1，0）．（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），∴OA＝OC＝4，∴∠OCA＝∠OAC．∵∠AOC＝90°，OB＝1，OC＝OA＝4，∴AC＝＝4，AB＝OA﹣OB＝4﹣1＝3．∵點D在y軸負半軸上，∴∠ADC＜∠AOC，即∠ADC＜90°．又∵∠ABC＞∠BOC，即∠ABC＞90°，∴∠ABC＞∠ADC．∴由條件“以A、C、D為頂點的三角形與△ABC相似”可得△CAD∽△ABC，∴＝，即＝，解得：CD＝，∴OD＝CD﹣CO＝﹣4＝，∴點D的坐標為（0，﹣）．【例2】．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B兩點，與y軸交于點C（0，3）．（1）求該拋物線的表達式；（2）過點B作x軸的垂線，在該垂線上取一點P，使得△PBC與△ABC相似，請求出點P的坐標．解：（1）把C（0，3）代入y＝x2+bx+c，得c＝3，∴y＝x2+bx+3，把A（1，0）代入y＝x2+bx+3，得1+b+3＝0，解得b＝﹣4，∴該拋物線的表達式為y＝x2﹣4x+3．（2）當(dāng)點P在點B上方時，如圖1，PB＝AB，∵PB⊥x軸，∴∠ABP＝90°，拋物線y＝x2﹣4x+3，當(dāng)y＝0時，則x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴B（3，0），∴OB＝OC＝3，PB＝AB＝3﹣1＝2，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠PBC＝∠ABC＝45°，∵＝＝1，∴△PBC∽△ABC，此時點P的坐標為（3，2）；如圖2，△PBC∽△CBA，且∠CBP＝∠ABC＝45°，∠BCP＝∠BAC，∴＝，∵BC2＝OB2+OC2＝32+32＝18，BA＝2，∴BP＝＝＝9，此時點P的坐標為（3，9）；當(dāng)點P在點B下方時，∠PBC＝135°，∠BAC＝∠AOC+∠ACO＝90°+∠ACO＜135°，此時△PBC與△ABC不相似，綜上所述，點P的坐標為（3，2）或（3，9）．變式訓(xùn)練【變2-1】．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，且過點D（2，﹣3）．點P、Q是拋物線y＝ax2+bx+c上的動點．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點P在直線OD下方時，求△POD面積的最大值．（3）直線OQ與線段BC相交于點E，當(dāng)△OBE與△ABC相似時，求點Q的坐標．解：（1）函數(shù)的表達式為：y＝a（x+1）（x﹣3），將點D坐標代入上式并解得：a＝1，故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3…①；（2）設(shè)點P（m，m2﹣2m﹣3），①當(dāng)點P在第三象限時，設(shè)直線PD與y軸交于點G，設(shè)點P（m，m2﹣2m﹣3），將點P、D的坐標代入一次函數(shù)表達式：y＝sx+t并解得：直線PD的表達式為：y＝mx﹣3﹣2m，則OG＝3+2m，S△POD＝×OG（xD﹣xP）＝（3+2m）（2﹣m）＝﹣m2+m+3，②當(dāng)點P在第四象限時，設(shè)PD交y軸于點M，同理可得：S△POD＝×OM（xD﹣xP）＝﹣m2+m+3，綜上，S△POD＝﹣m2+m+3，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，當(dāng)m＝時，其最大值為；（3）∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵∠ABC＝∠OBE，故△OBE與△ABC相似時，分為兩種情況：①當(dāng)∠ACB＝∠BOQ時，AB＝4，BC＝3，AC＝，過點A作AH⊥BC于點H，S△ABC＝×AH×BC＝AB×OC，解得：AH＝2，則sin∠ACB＝＝，則tan∠ACB＝2，則直線OQ的表達式為：y＝﹣2x…②，聯(lián)立①②并解得：x＝或﹣，故點Q（，﹣2）或（﹣，2），②∠BAC＝∠BOQ時，tan∠BAC＝＝3＝tan∠BOQ，則點Q（n，﹣3n），則直線OQ的表達式為：y＝﹣3x…③，聯(lián)立①③并解得：x＝，故點Q（，）或（，）；綜上，當(dāng)△OBE與△ABC相似時，Q的坐標為：（，﹣2）或（﹣，2）或（，）或（，）．1．拋物線y＝﹣x2平移后的位置如圖所示，點A，B坐標分別為（﹣1，0）、（3，0），設(shè)平移后的拋物線與y軸交于點C，其頂點為D．（1）求平移后的拋物線的解析式和點D的坐標；（2）∠ACB和∠ABD是否相等？請證明你的結(jié)論；（3）點P在平移后的拋物線的對稱軸上，且△CDP與△ABC相似，求點P的坐標．解：（1）∵將拋物線y＝﹣x2平移，平移后的拋物線與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（3，0），∴平移后的拋物線的表達式為y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，即y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點D的坐標為（1，4）；（2）∠ACB與∠ABD相等，理由如下：如圖，∵y＝﹣x2+2x+3，∴點x＝0時，y＝3，即C點坐標為（0，3），又∵B（3，0），∠BOC＝90°，∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCB＝45°．在△BCD中，∵BC2＝32+32＝18，CD2＝12+12＝2，BD2＝22+42＝20，∴BC2+CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴tan∠CBD＝＝＝，∵在△AOC中，∠AOC＝90°，∴tan∠ACO＝＝，∴tan∠ACO＝tan∠CBD，∴∠ACO＝∠CBD，∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC，即∠ACB＝∠ABD；（3）∵點P在平移后的拋物線的對稱軸上，而y＝﹣x2+2x+3的對稱軸為x＝1，∴可設(shè)P點的坐標為（1，n）．∵△ABC是銳角三角形，∴當(dāng)△CDP與△ABC相似時，△CDP也是銳角三角形，∴n＜4，即點P只能在點D的下方，又∵∠CDP＝∠ABC＝45°，∴D與B是對應(yīng)點，分兩種情況：①如果△CDP∽△ABC，那么＝，即＝，解得n＝，∴P點的坐標為（1，）；②如果△CDP∽△CBA，那么＝，即＝，解得n＝，∴P點的坐標為（1，）．綜上可知P點的坐標為（1，）或（1，）．2．如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，以AB所在直線為x軸，過c點的直線為y軸建立平面直角坐標系．此時，A點坐標為（﹣1，0），B點坐標為（4，0）（1）試求點C的坐標；（2）若拋物線y＝ax2+bx+c過△ABC的三個頂點，求拋物線的解析式；（3）點D（1，m）在拋物線上，過點A的直線y＝﹣x﹣1交（2）中的拋物線于點E，那么在x軸上點B的左側(cè)是否存在點P，使以P、B、D為頂點的三角形與△ABE相似？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OC⊥AB，由射影定理，得：OC2＝OA?OB＝4，即OC＝2，∴C（0，2）；（2）∵拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），可設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4）（a≠0），則有：2＝a（0+1）（0﹣4），a＝﹣，∴y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；（3）存在符合條件的P點，且P（，0）或（﹣，0）．根據(jù)拋物線的解析式易知：D（1，3），聯(lián)立直線AE和拋物線的解析式有：，解得，，∴E（6，﹣7），∴tan∠DBO＝＝1，即∠DBO＝45°，tan∠EAB＝＝1，即∠EAB＝45°，∴∠DBA＝∠EAB，若以P、B、D為頂點的三角形與△ABE相似，則有兩種情況：①△PBD∽△BAE；②△PBD∽△EAB．易知BD＝3，EA＝7，AB＝5，由①得：，即，即PB＝，OP＝OB﹣PB＝，由②得：，即，即P′B＝，OP′＝OB﹣BP′＝﹣，∴P（，0）或（﹣，0）．3．如圖已知直線y＝x+與拋物線y＝ax2+bx+c相交于A（﹣1，0），B（4，m）兩點，拋物線y＝ax2+bx+c交y軸于點C（0，﹣），交x軸正半軸于D點，拋物線的頂點為M．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點P為直線AB下方的拋物線上一動點，當(dāng)△PAB的面積最大時，求△PAB的面積及點P的坐標；（3）若點Q為x軸上一動點，點N在拋物線上且位于其對稱軸右側(cè)，當(dāng)△QMN與△MAD相似時，求N點的坐標．解：（1）將點B（4，m）代入y＝x+，∴m＝，將點A（﹣1，0），B（4，），C（0，﹣）代入y＝ax2+bx+c，解得a＝，b＝﹣1，c＝﹣，∴函數(shù)解析式為y＝x2﹣x﹣；（2）設(shè)P（n，n2﹣n﹣），則經(jīng)過點P且與直線y＝x+垂直的直線解析式為y＝﹣2x+n2+n﹣，直線y＝x+與其垂線的交點G（n2+n﹣，n2+n+），∴GP＝（﹣n2+3n+4），當(dāng)n＝時，GP最大，此時△PAB的面積最大，∴P（，﹣），∵AB＝，PG＝，∴△PAB的面積＝××＝；（3）∵M（1，﹣2），A（﹣1，0），D（3，0），∴AM＝2，AD＝4，MD＝2，∴△MAD是等腰直角三角形，∵△QMN與△MAD相似，∴△QMN是等腰直角三角形，設(shè)N（t，t2﹣t﹣）①如圖1，當(dāng)MQ⊥QN時，N（3，0）；②如圖2，當(dāng)QN⊥MN時，過點N作NR⊥x軸，過點M作MS⊥RN交于點S，∵QN＝MN，∠QNM＝90°，∴△MNS≌△NMS（AAS）∴t﹣1＝﹣t2+t+，∴t＝±，∴t＞1，∴t＝，∴N（，1﹣）；③如圖3，當(dāng)QN⊥MQ時，過點Q作x軸的垂線，過點N作NS∥x軸，過點M作MR∥x軸，與過Q點的垂線分別交于點S、R；∵QN＝MQ，∠MQN＝90°，∴△MQR≌△QNS（AAS），∴SQ＝QR＝2，∴t+2＝1+t2﹣t﹣，∴t＝5，∴N（5，6）；④如圖4，當(dāng)MN⊥NQ時，過點M作MR⊥x軸，過點Q作QS⊥x軸，過點N作x軸的平行線，與兩垂線交于點R、S；∵QN＝MN，∠MNQ＝90°，∴△MNR≌△NQS（AAS），∴SQ＝RN，∴t2﹣t﹣＝t﹣1，∴t＝2±，∵t＞1，∴t＝2+，∴N（2+，1+）；綜上所述：N（3，0）或N（2+，1+）或N（5，6）或N（，1﹣）．4．如圖，已知拋物線經(jīng)過△ABC的三個頂點，其中點A（0，1），點B（﹣9，10），AC∥x軸，點P是直線AC下方拋物線上的動點．（1）直接寫出：b＝2，c＝1；（2）過點P且與y軸平行的直線l與直線AB，AC分別交于點E，F(xiàn)，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時，求點P的坐標；（3）當(dāng)點P為拋物線的頂點時，在直線AC上是否存在點Q，使得以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，直接寫出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．解：（1）將點A（0，1），B（﹣9，10）代入，∴，解得，∴拋物線的解析式為，∴b＝2，c＝1，故答案為：2，1；（2）∵AC∥x軸，A（0，1），∴，∴x1＝﹣6，x2＝0，∴C（﹣6，1），∵A（0，1），B（﹣9，10），∴直線AB的解析式為y＝﹣x+1，設(shè)點，則E（m，﹣m+1），∴，∵AC⊥EP，AC＝6，∴S四邊形AECP＝S△AEC+S△APC＝×AC×EF+＝×AC×（EF+PF）＝×AC×PE＝×6×（﹣m2﹣3m）＝﹣m2﹣9m＝﹣（m+）2+，∵﹣6＜m＜0，當(dāng)時，四邊形AECP的面積的最大值是，此時點；（3）存在點Q，使得以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似，理由如下：∵，∴P（﹣3，﹣2），∴PF＝y(tǒng)F﹣yP＝3，CF＝xF﹣xC＝3，∴PF＝CF，∴∠PCF＝45°．同理可得：∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF，∴在直線AC上存在滿足條件的Q，設(shè)Q（t，1），∵A（0，1），B（﹣9，10），C（﹣6，1），∴，AC＝6，，以C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似，①當(dāng)△CPQ∽△ABC時，∴，∴，∴t＝﹣4，∴Q（﹣4，1）；②當(dāng)△CQP∽△ABC時，∴，∴，∴t＝3，∴Q（3，1）；綜上所述：Q點坐標為（﹣4，1）或（3，1）．5．已知拋物線經(jīng)過點A（﹣2，0），B（0，﹣4），與x軸交于另一點C，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，P是第一象限內(nèi)拋物線上一點，且S△PBO＝S△PBC，求直線AP的表達式；（3）在拋物線上是否存在點D，直線BD交x軸于點E，使△ABE與以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形相似（不重合）？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）把點A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入拋物線y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x﹣4；（2）當(dāng)y＝0時，x2﹣x﹣4＝0，解得：x＝﹣2或4，∴C（4，0），如圖1，過O作OE⊥BP于E，過C作CF⊥BP于F，設(shè)PB交x軸于G，∵S△PBO＝S△PBC，∴，∴OE＝CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG＝CG＝2，設(shè)P（x，x2﹣x﹣4），過P作PM⊥y軸于M，tan∠PBM＝＝＝，∴BM＝2PM，∴4+x2﹣x﹣4＝2x，x2﹣6x＝0，x1＝0（舍），x2＝6，∴P（6，8），∴AP的解析式為：y＝x+2，BC的解析式為：y＝x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四種，其中△ABE重合，不符合條件，△ACE不能構(gòu)成三角形，∴當(dāng)△ABE與以A，B，C，E中的三點為頂點的三角形相似，存在兩個三角形：△ABC和△BCE，①當(dāng)△ABE與以A，B，C中的三點為頂點的三角形相似，如圖2，∵∠BAE＝∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE＝∠ACB＝45°，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE＝，OE＝﹣2＝∴E（，0），∵B（0，﹣4），∴BE：y＝3x﹣4，則x2﹣x﹣4＝3x﹣4，x1＝0（舍），x2＝8，∴D（8，20）；②當(dāng)△ABE與以B，C、E中的三點為頂點的三角形相似，如圖3，此時E在C的左邊，∵∠BEA＝∠BEC，∴當(dāng)∠ABE＝∠BCE時，△ABE∽△BCE，∴＝＝，設(shè)BE＝2m，CE＝4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，∴，3m2﹣8m+8＝0，（m﹣2）（3m﹣2）＝0，m1＝2，m2＝，∴OE＝4m﹣4＝12或，∵OE＝＜2，∠AEB或∠BEC是鈍角，此時△ABE與以B，C、E中的三點為頂點的三角形不相似，如圖4，∴E（﹣12，0）；同理得BE的解析式為：y＝﹣x﹣4，﹣x﹣4＝x2﹣x﹣4，x＝或0（舍）∴D（，﹣）；同理可得E在C的右邊時，△ABE∽△BCE，∴＝，設(shè)AE＝2m，BE＝4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2，∴，3m2+2m﹣5＝0，（m+）（3m﹣）＝0，m1＝﹣，m2＝，∴OE＝﹣12（舍）或，∵OE＝＜4，∠BEC是鈍角，此時△ABE與以B，C、E中的三點為頂點的三角形不相似，綜上，點D的坐標為（8，20）或（，﹣6．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+6經(jīng)過兩點A（﹣1，0），B（3，0），C是拋物線與y軸的交點．（1）求拋物線的解析式；（2）點P（m，n）在平面直角坐標系第一象限內(nèi)的拋物線上運動，直線CP與x軸交于點Q，當(dāng)∠BQC＝∠BCO時，求此時P點坐標；（3）點M在拋物線上運動，點N在y軸上運動，是否存在點M、點N使得∠CNM＝90°，且△CMN與△OBC相似，如果存在，請求出點M和點N的坐標．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+6得：，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣2x2+4x+6；（2）由y＝﹣2x2+4x+6得C（0，6），∴OC＝6，當(dāng)Q在x軸正半軸，如圖：∵∠BQC＝∠BCO，且∠COB＝∠QOC，∴△COB∽△QOC，∴＝，即＝，∴OQ＝12，∴Q（12，0），設(shè)直線CQ解析式為y＝kx+6，則0＝12k+6，∴k＝﹣，即直線CQ為y＝﹣x+6，由得（與C重合，舍去）或，∴P（，），當(dāng)Q在x軸負半軸，如圖：同理可得：△BOC∽△BCQ，∴＝，即BC2＝OB?BQ，而OC＝6，OB＝3，∴BC＝3，∴（3）2＝3×BQ，∴BQ＝15，∴Q（﹣12，0），設(shè)直線CQ為y＝mx+6，則0＝﹣12m+6，解得m＝，∴直線CQ為y＝x+6，由得（舍去）或，∴P（，），綜上所述，P點坐標為（，）或（，），（3）設(shè)M（t，﹣2t2+4t+6），則N（0，﹣2t2+4t+6），∴MN＝|t|，CN＝|2t2﹣4t|，∵OC＝6，OB＝3，∴OC＝2OB，∵△CMN與△OBC相似，∴MN＝2CN或CN＝2MN，①MN＝2CN時，如圖：∴|t|＝2|2t2﹣4t|，解得t＝或t＝或t＝0（舍去），∴M（，），N（0，）或M（，），N（0，）；②CN＝2MN時，如圖：∴|2t2﹣4t|＝2|t|，解得t＝0（舍去）或t＝3（M與B重合，舍去）或t＝1，∴M（1，8），N（0，8），綜上所述，M（，），N（0，）或M（，），N（0，）或M（1，8），N（0，8）．7．如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，點A，B分別位于原點的左、右兩側(cè)，BO＝3AO＝3，過點B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點分別為點C，D，．（1）求b，c的值；（2）求直線CD的函數(shù)解析式；（3）求∠ADB的度數(shù)；（4）點P在拋物線的對稱軸上且在x軸下方，點Q在射線BA上，當(dāng)△ABD與△BPQ相似時，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標．解：（1）∵點A，B分別位于原點的左、右兩側(cè)，BO＝3AO＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得：，∴b＝﹣，c＝﹣；（2）如圖1，過點D作DE⊥AB于E，則∠DEB＝∠COB＝90°，∴DE∥OC，∴＝，∵BC＝CD，OB＝3，∴＝，∴OE＝，∴點D橫坐標為﹣，當(dāng)x＝﹣時，y＝×（﹣）2﹣×（﹣）﹣＝+1，∴點D坐標為（﹣，+1），設(shè)直線BD的函數(shù)解析式為y＝kx+n，把B（3，0），D（﹣，+1）代入，得，解得：，∴直線BD的函數(shù)解析式為y＝﹣x+；（3）如圖2，連接AC，∵直線BD的函數(shù)解析式為y＝﹣x+，∴C（0，），∵A（﹣1，0），D（﹣，+1），∴AC2＝OA2+OC2＝12+（）2＝4，則AC＝2，BC2＝OB2+OC2＝32+（）2＝12，則BC＝2，∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD＝180°﹣90°＝90°，∵BC＝CD，∴CD＝2，∴tan∠ADB＝＝＝1，∴∠ADB＝45°；（4）在△ABD中，tan∠ABD＝＝，∴∠ABD＝30°，∵∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°﹣（∠ABD+∠ADB）＝180°﹣（30°+45°）＝105°，∵CD＝2，BC＝CD＝2，∴BD＝BC+CD＝2+2，由（3）知：AC＝CD＝2，∠ACD＝90°，AB＝4，∴AD＝2，∵y＝x2﹣x﹣，∴對稱軸為直線x＝1．∵點P在拋物線的對稱軸上且在x軸下方，點Q在射線BA上，∴∠PBQ＜90°，∴分兩種情況：①當(dāng)∠PBQ＝∠ABD＝30°時，如圖3，設(shè)對稱軸與x軸交于點M，則M（1，0），∴BM＝3﹣1＝2，∴PM＝BM?tan∠PBQ＝2×tan30°＝，∵點P在拋物線的對稱軸上且在x軸下方，∴P（1，﹣），BP＝＝＝，∵△ABD與△BPQ相似，且∠PBQ＝∠ABD，∴＝或＝，∴＝或＝，∴BQ＝或BQ＝，∴Q（，0）或（，0）；②當(dāng)∠PBQ＝∠ADB＝45°時，如圖4，∵PM＝BM?tan∠PBQ＝2tan45°＝2，∴P（1，﹣2），∴BP＝2，∵△ABD與△BPQ相似，且∠PBQ＝∠ADB，∴＝或＝，∴＝或＝，∴BQ＝2﹣2或2+2，∴Q（5﹣2，0）或（1﹣2，0）；綜上所述，點Q的坐標為Q（，0）或Q（，0）或Q（5﹣2，0）或Q（1﹣2，0）．8．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣2）．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖1，點D為第四象限拋物線上一點，連接AD，BC交于點E，求的最大值；（3）如圖2，連接AC，BC，過點O作直線l∥BC，點P，Q分別為直線l和拋物線上的點，試探究：在第一象限是否存在這樣的點P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣4）．將C（0，﹣2）代入得：﹣4a＝﹣2，解得a＝，∴拋物線的解析式為y＝（x+1）（x﹣4），即y＝x2﹣x﹣2．（2）過點D作DG⊥x軸于點G，交BC于點F，過點A作AK⊥x軸交BC的延長線于點K，∴AK∥DG，∴△AKE∽△DFE，∴＝．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b1，∴，解得，∴直線BC的解析式為y＝x﹣2，∵A（﹣1，0），∴y＝﹣﹣2＝﹣，∴AK＝，設(shè)D（m，m2﹣m﹣2），則F（m，m﹣2），∴DF＝m﹣2﹣m2+m+2＝﹣m2+2m．∴＝＝﹣（m﹣2）2+．∴當(dāng)m＝2時，有最大值，最大值是．（3）符合條件的點P的坐標為（，）或（，）．∵l∥BC，∴直線l的解析式為y＝x，設(shè)P（a1，），①當(dāng)點P在直線BQ右側(cè)時，如圖2，過點P作PN⊥x軸于點N，過點Q作QM⊥直線PN于點M，∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），B（4，0），∴AC＝，AB＝5，BC＝2，∵AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵△PQB∽△CAB，∴＝＝，∵∠QMP＝∠BNP＝90°，∴∠MQP+∠MPQ＝90°，∠MPQ+∠BPN＝90°，∴∠MQP＝∠BPN，∴△QPM∽△PBN，∴＝＝＝，∴QM＝，PM＝（a1﹣4）＝a1﹣2，∴MN＝a1﹣2，ON﹣QM＝a1﹣＝a1，∴Q（a1，a1﹣2），將點Q的坐標代入拋物線的解析式得×（a1）2﹣×a1﹣2＝a1﹣2，解得a1＝0（舍去）或a1＝．∴P（，）．②當(dāng)點P在直線BQ左側(cè)時，由①的方法同理可得點Q的坐標為（a1，2）．此時點P的坐標為（，）．綜上所述，符合條件的點P的坐標是（，）或（，）．9．如圖，直線y＝﹣x+c與x軸交于點A（3，0），與y軸交于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A，B．（1）求點B的坐標和拋物線的解析式；（2）M為線段OA上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N．若以B，P，N為頂點的三角形與△APM相似，求點M的坐標；（3）將拋物線在0≤x≤3之間的部分記為圖象L，將圖象L在直線y＝t上方部分沿直線y＝t翻折，其余部分保持不動，得到一個新的函數(shù)圖象，記這個函數(shù)的最大值為a，最小值為b，若a﹣b≤3，請直接寫出t的取值范圍．解：（1）將（3，0）代入y＝﹣x+c得0＝﹣2+c，解得c＝2，∴y＝﹣x+2．將x＝0代入y＝﹣x+2得y＝2，∴點B坐標為（0，2）．將（3，0），（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴y＝﹣x2+x+2．（2）如圖，當(dāng)BM∥AM時滿足題意，點B，N關(guān)于拋物線對稱軸對稱，∵y＝﹣x2+x+2，∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝，∴點N坐標為（，2），∴點M坐標為（，0）．如圖，當(dāng)∠NBP＝90°時符合題意，作NC⊥y軸于點C，則N（m，﹣m2+m+2），∵∠NBC+∠ABO＝∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠NBC＝∠BAO，∴△BCN∽△AOB，∴＝，即，解得m＝，∴點M坐標為（，0）．綜上所述，點M坐標為（，0）或（，0）．（3）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，∴拋物線頂點坐標為（，），∴翻折后頂點坐標為（，2t﹣），當(dāng)點A為最低點時，t﹣0≤3，解得t≤3，令t﹣（2t﹣）＝3，解得t＝，∴≤t≤3．10．如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸相交于點C，B、C兩點的坐標分別為（1，0）、（0，﹣3），直線y＝kx+3k經(jīng)過點A，與y軸交于點D．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）點E是拋物線上一動點（不與點C重合），連接AE，過點E作EF⊥x軸，垂足為F，若△AEF是等腰直角三角形，求點E的坐標；（3）在（2）的條件下，若在直線y＝kx+3k上存在一點G使得△DFG與△AOC相似，求出k的值．解：（1）∵直線y＝kx+3k經(jīng)過點A，則點A的坐標為（﹣3，0），將點A、B、C的坐標代入拋物線表達式得：，解得，故拋物線的表達式為y＝x2+2x﹣3；（2）設(shè)點E的坐標為（x，x2+2x﹣3），則AF＝|x+3|，EF＝|x2+2x﹣3|，∵△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝EF，∴|x2+2x﹣3|＝|x+3|，∴x＝﹣3（舍去）或x＝0（舍去）或x＝2，故點E的坐標為（2，5）；（3）∵CO＝BO＝3，故△AOC為等腰直角三角形，當(dāng)△DFG與△AOC相似時，則△DFG為等腰直角三角形，顯然∠DFG不可能為直角，∵直線y＝kx+3k與y軸交于點D，則點D（0，3k），由（2）知，點F（2，0），①當(dāng)∠FDG為直角時，∵點G在直線AD上，故在∠FDG的前提下，總能找到GD＝DF，故只需要DF⊥AD即可，在等腰Rt△FDG中，由直線AD的表達式為：y＝kx+3k，則tan∠DOA＝k，而tan∠DFO＝＝＝＝，解得k＝±；②當(dāng)∠FGD為直角時，如下圖，過點G作MN∥y軸，交x軸于點N，交過點D與x軸的平行線于點M，則DG＝GF，設(shè)點G的坐標為（t，kt+3k），則MD＝﹣t，MG＝3k﹣tk﹣3k＝﹣kt；GN＝kt+3k，F(xiàn)N＝2﹣t，∵∠MGD+∠FGN＝90°，∠FGN+∠GFN＝90°，∴∠MGD＝∠GFN，∵∠GMD＝∠FNG＝90°，GD＝FG，∴△GMD≌△FNG（AAS），∴MD＝GN，MG＝NF，即﹣t＝kt+3k且﹣kt＝2﹣t，解得k＝2或﹣；當(dāng)∠DFG＝90°時，過點G作GH⊥x軸于H，則△ODF≌△HFG，∴GH＝OF＝2，HF＝OD＝3k，∵y＝﹣2時，﹣2＝kx+3k，∴x＝，∴2+＝3k，解得k＝2或﹣綜上，k＝±或2或﹣．11．如圖，已知A（﹣2，0），B（4，0），拋物線y＝ax2+bx﹣1過A、B兩點，并與過A點的直線y＝﹣x﹣1交于點C．（1）求拋物線解析式及對稱軸；（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使四邊形ACPO的周長最??？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；（3）點M為y軸右側(cè)拋物線上一點，過點M作直線AC的垂線，垂足為N．問：是否存在這樣的點N，使以點M、N、C為頂點的三角形與△AOC相似，若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由．解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入拋物線y＝ax2+bx﹣1，得解得∴拋物線解析式為：y＝∴拋物線對稱軸為直線x＝﹣（2）存在使四邊形ACPO的周長最小，只需PC+PO最小∴取點C（0，﹣1）關(guān)于直線x＝1的對稱點C′（2，﹣1），連C′O與直線x＝1的交點即為P點．設(shè)過點C′、O直線解析式為：y＝kx∴k＝﹣∴y＝﹣則P點坐標為（1，﹣）（3）當(dāng)△AOC∽△MNC時，如圖，延長MN交y軸于點D，過點N作NE⊥y軸于點E∵∠ACO＝∠NCD，∠AOC＝∠CND＝90°∴∠CDN＝∠CAO由相似，∠CAO＝∠CMN∴∠CDN＝∠CMN∵MN⊥AC∴M、D關(guān)于AN對稱，則N為DM中點設(shè)點N坐標為（a，﹣a﹣1）由△EDN∽△OAC∴ED＝2a∴點D坐標為（0，﹣）∵N為DM中點∴點M坐標為（2a，）把M代入y＝，解得a＝0（舍去）或a＝4∴a＝4則N點坐標為（4，﹣3）當(dāng)△AOC∽△CNM時，∠CAO＝∠NCM∴CM∥AB則點C關(guān)于直線x＝1的對稱點C′即為點M由（2）M為（2，﹣1）∴由相似CN＝，MN＝由面積法求N到MC距離為則N點坐標為（，﹣）∴N點坐標為（4，﹣3）或（，﹣）12．拋物線L：y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（0，1），與它的對稱軸直線x＝1交于點B．（1）求出拋物線L的解析式；（2）如圖1，過定點的直線y＝kx﹣k+4（k＜0）與拋物線L交于點M、N．若△BMN的面積等于1，求k的值；（3）如圖2，將拋物線L向上平移m（m＞0）個單位長度得到拋物線L1，拋物線L1與y軸交于點C，過點C作y軸的垂線交拋物線L1于另一點D，F(xiàn)為拋物線L1的對稱軸與x軸的交點，P為線段OC上一點，若△PCD與△POF相似，并且符合條件的點P恰有2個，求m的值及相應(yīng)點P的坐標．解：（1）由題意知，解得：，∴拋物線L的解析式為y＝﹣x2+2x+1；（2）如圖1，∵y＝kx﹣k+4＝k（x﹣1）+4，∴當(dāng)x＝1時，y＝4，即該直線所過定點G坐標為（1，4），∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，∴點B（1，2），則BG＝2，∵S△BMN＝1，即S△BNG﹣S△BMG＝BG?（xN﹣1）﹣BG?（xM﹣1）＝1，∴xN﹣xM＝1，由得x2+（k﹣2）x﹣k+3＝0，解得：x＝＝，則xN＝、xM＝，由xN﹣xM＝1得＝1，∴k＝±3，∵k＜0，∴k＝﹣3；（3）如圖2，設(shè)拋物線L1的解析式為y＝﹣x2+2x+1+m，∴C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），設(shè)P（0，t），①當(dāng)△PCD∽△FOP時，，∴，∴t2﹣（1+m）t+2＝0①；②當(dāng)△PCD∽△POF時，，∴，∴t＝（m+1）②；（Ⅰ）當(dāng)方程①有兩個相等實數(shù)根時，Δ＝（1+m）2﹣8＝0，解得：m＝2﹣1（負值舍去），此時方程①有兩個相等實數(shù)根t1＝t2＝，方程②有一個實數(shù)根t＝，∴m＝2﹣1，此時點P的坐標為（0，）和（0，）；（Ⅱ）當(dāng)方程①有兩個不相等的實數(shù)根時，把②代入①，得：（m+1）2﹣（m+1）2+2＝0，解得：m＝2（負值舍去），此時，方程①有兩個不相等的實數(shù)根t1＝1、t2＝2，方程②有一個實數(shù)根t＝1，∴m＝2，此時點P的坐標為（0，1）和（0，2）；綜上，當(dāng)m＝2﹣1時，點P的坐標為（0，）和（0，）；當(dāng)m＝2時，點P的坐標為（0，1）和（0，2）．13．設(shè)拋物線y＝ax2+bx﹣2與x軸交于兩個不同的點A（﹣1，0）、B（m，0），與y軸交于點C，且∠ACB＝90度．（1）求m的值和拋物線的解析式；（2）已知點D（1，n）在拋物線上，過點A的直線y＝x+1交拋物線于另一點E．若點P在x軸上，以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似，求點P的坐標；（3）在（2）的條件下，△BDP的外接圓半徑等于或．解：（1）令x＝0，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∵∠ACB＝90°，CO⊥AB，∴△AOC∽△COB，∴OA?OB＝OC2∴OB＝，∴m＝4，將A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2，得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2．（2）D（1，n）代入y＝x2﹣x﹣2，得n＝﹣3，由，得，，∴E（6，7），過E作EH⊥x軸于H，則H（6，0）∴AH＝EH＝7∴∠EAH＝45°過D作DF⊥x軸于F，則F（1，0）∴BF＝DF＝3∴∠DBF＝45°∴∠EAH＝∠DBF＝45°∴∠DBH＝135°，90°＜∠EBA＜135°則點P只能在點B的左側(cè)，有以下兩種情況：①若△DBP1∽△EAB，則∴BP1＝＝＝∴OP1＝4﹣＝，∴P1（，0）．②若△DBP2∽△BAE，則∴BP2＝＝＝∴OP2＝﹣4＝∴P2（﹣，0）．綜合①、②，得點P的坐標為：P1（，0）或P2（﹣，0）．（3）或．如圖所示：先作△BPD的外接圓，過P作直徑PM，連接DM，作DF⊥x軸于F．∵∠PMD＝∠PBD，∠DFP＝∠PDM，∴△PMD和△FBD相似，∴，∴PD＝＝＝，DF＝3，BD＝＝3，∴PM＝＝，∴△BPD的外接圓的半徑＝；同理可求出當(dāng)P點在x軸的負半軸上時，△BPD的外接圓的半徑＝．14．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+x﹣與x軸交于點A、B（點A在點B右側(cè)），點D為拋物線的頂點，點C在y軸的正半軸上，CD交x軸于點F，△CAD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△CFE，點A恰好旋轉(zhuǎn)到點F，連接BE．（1）求點A、B、D的坐標；（2）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；（3）如圖2，過頂點D作DD1⊥x軸于點D1，點P是拋物線上一動點，過點P作PM⊥x軸，點M為垂足，使得△PAM與△DD1A相似（不含全等）．①求出一個滿足以上條件的點P的橫坐標；②直接回答這樣的點P共有幾個？解：（1）令x2+x﹣＝0，解得x1＝1，x2＝﹣7．∴A（1，0），B（﹣7，0）．由y＝x2+x﹣＝（x+3）2﹣2得，D（﹣3，﹣2）；（2）證明：∵DD1⊥x軸于點D1，∴∠COF＝∠DD1F＝90°，∵∠D1FD＝∠CFO，∴△DD1F∽△COF，∴＝，∵D（﹣3，﹣2），∴D1D＝2，OD1＝3，∵AC＝CF，CO⊥AF∴OF＝OA＝1∴D1F＝D1O﹣OF＝3﹣1＝2，∴＝，∴OC＝，∴CA＝CF＝FA＝2，∴△ACF是等邊三角形，∴∠AFC＝∠ACF，∵△CAD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△CFE，∴∠ECF＝∠AFC＝60°，∴EC∥BF，∵EC＝DC＝＝6，∵BF＝6，∴EC＝BF，∴四邊形BFCE是平行四邊形；（3）∵點P是拋物線上一動點，∴設(shè)P點（x，x2+x﹣），①當(dāng)點P在B點的左側(cè)時，∵△PAM與△DD1A相似，∴或＝，∴＝或＝，解得：x1＝1（不合題意舍去），x2＝﹣11或x1＝1（不合題意舍去）x2＝﹣；當(dāng)點P在A點的右側(cè)時，∵△PAM與△DD1A相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：x1＝1（不合題意舍去），x2＝﹣3（不合題意舍去）或x1＝1（不合題意舍去），x2＝﹣（不合題意舍去）；當(dāng)點P在AB之間時，∵△PAM與△DD1A相似，∴＝或＝，∴＝或＝，解得：x1＝1（不合題意舍去），x2＝﹣3（不合題意舍去）或x1＝1（不合題意舍去），x2＝﹣；綜上所述，點P的橫坐標為﹣11或﹣或﹣；②由①得，這樣的點P共有3個．15．如圖1，經(jīng)過原點O的拋物線y＝ax2+bx（a≠0）與x軸交于另一點A（，0），在第一象限內(nèi)與直線y＝x交于點B（2，t）．（1）求這條拋物線的表達式；（2）在第四象限內(nèi)的拋物線上有一點C，滿足以B，O，C為頂點的三角形的面積為2，求點C的坐標；（3）如圖2，若點M在這條拋物線上，且∠MBO＝∠ABO，①求點M的坐標；②在（2）的條件下，是否存在點P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）∵B（2，t）在直線y＝x上，∴t＝2，∴B（2，2），把A、B兩點坐標代入拋物線解析式可得，解得，∴拋物線解析式為y＝2x2﹣3x；（2）如圖1，過C作CD∥y軸，交x軸于點E，交OB于點D，過B作BF⊥CD于點F，∵點C是拋物線上第四象限的點，∴可設(shè)C（t，2t2﹣3t），則E（t，0），D（t，t），∴OE＝t，BF＝2﹣t，CD＝t﹣（2t2﹣3t）＝﹣2t2+4t，∴S△OBC＝S△CDO+S△CDB＝CD?OE+CD?BF＝（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）＝﹣2t2+4t，∵△OBC的面積為2，∴﹣2t2+4t＝2，解得t1＝t2＝1，∴C（1，﹣1）；（3）①設(shè)MB交y軸于點N，如圖2，∵B（2，2），∴∠AOB＝∠NOB＝45°，在△AOB和△NOB中，∴△AOB≌△NOB（ASA），∴ON＝OA＝，∴N（0，），∴可設(shè)直線BN解析式為y＝kx+，把B點坐標代入可得2＝2k+，解得k＝，∴直線BN的解析式為y＝x+，聯(lián)立直線BN和拋物線解析式可得，解得（舍去）或，∴M（﹣，），②∵C（1，﹣1），∴∠COA＝∠AOB＝45°，且B（2，2），∴OB＝2，OC＝，∵△POC∽△MOB，∴＝＝2，∠POC＝∠BOM，當(dāng)點P在第一象限時，如圖3，過M作MG⊥y軸于點G，過P作PH⊥x軸于點H，∵∠COA＝∠BOG＝45°，∴∠MOG＝∠POH，且∠PHO＝∠MGO，∴△MOG∽△POH，∴＝＝＝2，∵M（﹣，），∴MG＝，OG＝，∴PH＝MG＝，OH＝OG＝，∴P（，）；當(dāng)點P在第三象限時，如圖4，過M作MG⊥y軸于點G，過P作PH⊥y軸于點H，同理可求得PH＝MG＝，OH＝OG＝，∴P（﹣，﹣）；綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（，）或（﹣，﹣）．16．拋物線y＝ax2+6x+c過A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三點．（1）求拋物線的表達式；（2）如圖①，拋物線上一點D在線段AC的上方，DE⊥AB，交AC于點E，若滿足．求點D的坐標；（3）如圖②，F(xiàn)為拋物線頂點，過A作直線l⊥AB，若點P在直線l上運動，點Q在x軸上運動，是否存在這樣的點P、Q，使得△BQP與△ABF相似（P與F為對應(yīng)點），若存在，直接寫出P、Q的坐標及此時△BQP的面積；若不存在，請說明理由．解：（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線表達式為y＝a（x﹣3）2+h．把B（4，3），C（6，﹣5）代入得：，解得：，故拋物線的表達式為：y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5；（2）設(shè)直線AC的表達式為y＝kx+n，則，解得：，∴直線AC的表達式為y＝﹣2x+7，設(shè)點D（m，﹣m2+6m﹣5）（2＜m＜6），則點E（m，﹣2m+7），∴DE＝（﹣m2+6m﹣5）﹣（﹣2m+7）＝﹣m2+8m﹣12，如圖①，設(shè)直線DE與直線AB交于點G，∵AG⊥EG，∴AG＝m﹣2，EG＝3﹣（﹣2m+7）＝2（m﹣2），m﹣2＞0，在Rt△AEG中，∴AE＝（m﹣2），由，則，解得：m＝3.5或2（舍去），則D（，）；（3）存在，理由：根據(jù)題意得：△ABF為等腰直角三角形，假設(shè)存在滿足條件的點P、Q，則△BPQ為等腰直角三角形，分三種情況：①若∠BPQ＝90°，BP＝PQ，如圖②，過P作MN∥x軸，過Q作QM⊥MN于M，連接AB，∵∠APB+∠QPA＝90°，∠QPA+∠APM＝90°，∴∠APB＝∠APM，∵∠PAB＝∠QMP＝90°，PB＝PQ，∴△BAP≌△QMP（AAS），∴AB＝QM＝2，PM＝AP＝3+2＝5，∴P（2，﹣2），Q（﹣3，0）；如圖③，同理可得：△BAP≌△PMQ（AAS），∴AB＝PM＝2，AP＝MQ＝3﹣2＝1，∴P（2，2），Q（3，0）；②若∠BQP＝90°，BQ＝PQ，如圖④，過點Q作y軸的平行線交BA的延長線于點N，交過點P與x軸的平行線于點M，同理可得：△BNQ≌△QMP（AAS），∴NQ＝PM＝3，NG＝PM﹣AG＝3﹣2＝1，∴BN＝MQ＝4+1＝5，∴P（2，﹣5），Q（﹣1，0）；如圖⑤，過點Q作y軸的平行線交AB的延長線于點N，交過點P與x軸的平行線于點M，同理可得：△QNB≌△PMQ（AAS），∴NQ＝PM＝3，∴P（2，﹣1），Q（5，0），③若∠PBQ＝90°，BQ＝BP，如圖6，過Q作QN⊥AB，交AB的延長線于N，同理可得：△PAB≌△BNQ（AAS），∵AB＝2，NQ＝3，AB≠NQ∴此時不存在符合條件的P、Q．綜上，點P、Q的坐標分別為：（2，﹣2）、（﹣3，0）；（2，2）、（3，0）；（2，﹣5）、（﹣1，0）；（2，﹣1）、（5，0）．17．如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣3x的圖象經(jīng)過O（0，0），A（4，4），B（3，0）三點，以點O為位似中心，在y軸的右側(cè)將△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過O，A′，B′三點．（1）畫出△OA′B′，試求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的表達式；（2）點P（m，n）在二次函數(shù)y＝x2﹣3x的圖象上，m≠0，直線OP與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交于點Q（異于點O）．①求點Q的坐標（橫、縱坐標均用含m的代數(shù)式表示）②連接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范圍；③當(dāng)點Q在第一象限內(nèi)，過點Q作QQ′平行于x軸，與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象交于另一點Q′，與二次函數(shù)y＝x2﹣3x的圖象交于點M，N（M在N的左側(cè)），直線OQ′與二次函數(shù)y＝x2﹣3x的圖象交于點P′．△Q′P′M∽△QB′N，則線段NQ的長度等于6．解：（1）由以點O為位似中心，在y軸的右側(cè)將△OAB按相似比2：1放大，得＝＝2∵A（4，4），B（3，0）∴A′（8，8），B′（6，0）將O（0，0），A′（8，8），B′（6，0）代入y＝ax2+bx+c得解得∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣3x；（2）①∵點P在y＝x2﹣3x的圖象上，∴n＝m2﹣3m，∴P（m，m2﹣3m），設(shè)直線OP的解析式為y＝kx將點P代入，得mk＝m2﹣3m，解得k＝m﹣3，∴OP：y＝（m﹣3）x∵直線OP與y＝x2﹣3x交于點Q∴x2﹣3x＝（m﹣3）x，解得x1＝0（舍），x2＝2m，∴Q（2m，2m2﹣6m）②∵P（m，n）在二次函數(shù)y＝x2﹣3x的圖象上∴n＝m2﹣3m∴P（m，m2﹣3m）設(shè)直線OP的解析式為y＝kx，將點P（m，m2﹣3m）代入函數(shù)解析式，得mk＝m2﹣3m∴k＝m﹣3∴OP的解析是為y＝（m﹣3）x∵OP與y＝x2﹣3x交于Q點∴解得（不符合題意舍去）∴Q（2m，2m2﹣6m）過點P作PC⊥x軸于點C，過點Q作QD⊥x軸于點D則OC＝|m|，PC＝|m2﹣3m|，OD＝|2m|，QD＝|2m2﹣6m|∵＝＝2∴△OCP∽△ODQ∴OQ＝2OP∵2AP＞OQ∴2AP＞2OP，即AP＞OP∴＞化簡，得m2﹣2m﹣4＜0，解得1﹣＜m＜1+，且m≠0；③P（m，m2﹣3m），Q（2m，2m2﹣6m）∵點Q在第一象限，∴，解得m＞3由Q（2m，2m2﹣6m），得QQ′的表達式是y＝2m2﹣6m∵QQ′交y＝x2﹣3x交于點Q′解得（不符合題意，舍）∴Q′（6﹣2m，2m2﹣6m）設(shè)OQ′的解析式為y＝kx，（6﹣2m）k＝2m2﹣6m解得k＝﹣m，OQ′的解析式為y＝﹣mx，∵OQ′與y＝x2﹣3x交于點P′∴﹣mx＝x2﹣3x解得x1＝0（舍），x2＝3﹣m∴P′（3﹣m，m2﹣3m）∵QQ′與y＝x2﹣3x交于點P′∴﹣mx＝x2﹣3x解得x1＝0（舍去），x2＝3﹣m∴P′（3﹣m，m2﹣3m）∵QQ′與y＝x2﹣3x交于點M、N∴x2﹣3x＝2m2﹣6m解得x1＝，x2＝∵M在N左側(cè)∴M（，2m2﹣6m）N（，2m2﹣6m）∵△Q′P′M∽△QB′N∴∵，化簡得m2﹣12m+27＝0解得：m1＝3（舍），m2＝9∴N（12，108），Q（18，108）∴QN＝6．故答案為：6．18．如圖1，圖形ABCD是由兩個二次函數(shù)y1＝kx2+m（k＜0）與y2＝ax2+b（a＞0）的部分圖象圍成的封閉圖形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．（1）直接寫出這兩個二次函數(shù)的表達式；（2）判斷圖形ABCD是否存在內(nèi)接正方形（正方形的四個頂點在圖形ABCD上），并說明理由；（3）如圖2，連接BC，CD，AD，在坐標平面內(nèi)，求使得△BDC與△ADE相似（其中點C與點E是對應(yīng)頂點）的點E的坐標．解：（1）∵點A（1，0），B（0，1）在二次函數(shù)y1＝kx2+m（k＜0）的圖象上，∴，∴，∴二次函數(shù)解析式為y1＝﹣x2+1，∵點A（1，0），D（0，﹣3）在二次函數(shù)y2＝ax2+b（a＞0）的圖象上，∴，∴，∴二次函數(shù)y2＝3x2﹣3；（2）設(shè)M（m，﹣m2+1）為第一象限內(nèi)的圖形ABCD上一點，M'（m，3m2﹣3）為第四象限的圖形上一點，∴MM'＝（1﹣m2）﹣（3m2﹣3）＝4﹣4m2，由拋物線的對稱性知，若有內(nèi)接正方形，∴2m＝4﹣4m2，∴m＝或m＝（舍），∵0＜＜1，∴MM'＝∴存在內(nèi)接正方形，此時其邊長為；（3）在Rt△AOD中，OA＝1，OD＝3，∴AD＝＝，同理：CD＝，在Rt△BOC中，OB＝OC＝1，∴BC＝＝，①如圖1，當(dāng)△DBC∽△DAE時，∵∠CDB＝∠ADO，∴在y軸上存在E，由，∴，∴DE＝，∵D（0，﹣3），∴E（0，﹣），由對稱性知，在直線DA右側(cè)還存在一點E'使得△DBC∽△DAE'，連接EE'交DA于F點，作E'M⊥OD于M，連接E'D，∵E，E'關(guān)于DA對稱，∴DF垂直平分EE'，∴△DEF∽△DAO，∴，∴，∴DF＝，EF＝，∵S△DEE'＝DE?E'M＝EF×DF＝，∴E'M＝，∵DE'＝DE＝，在Rt△DE'M中，DM＝＝2，∴OM＝1，∴E'（，﹣1），②如圖2，當(dāng)△DBC∽△ADE時，有∠BDC＝∠DAE，，∴，∴AE＝，當(dāng)E在直線AD左側(cè)時，設(shè)AE交y軸于P，作EQ⊥AC于Q，∵∠BDC＝∠DAE＝∠ODA，∴PD＝PA，設(shè)PD＝n，∴PO＝3﹣n，PA＝n，在Rt△AOP中，PA2＝OA2+OP2，∴n2＝（3﹣n）2+1，∴n＝，∴PA＝，PO＝，∵AE＝，∴PE＝，在AEQ中，OP∥EQ，∴，∴OQ＝，∵，∴QE＝2，∴E（﹣，﹣2），當(dāng)E'在直線DA右側(cè)時，根據(jù)勾股定理得，AE＝＝，∴AE'＝∵∠DAE'＝∠BDC，∠BDC＝∠BDA，∴∠BDA＝∠DAE'，∴AE'∥OD，∴E'（1，﹣），綜上，使得△BDC與△ADE相似（其中點C與E是對應(yīng)頂點）的點E的坐標有4個，即：（0，﹣）或（，﹣1）或（1，﹣）或（﹣，﹣2）．19．如圖，直線y＝x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A，B．（I）求拋物線的解析式；（Ⅱ）M（m，0）為x軸上一個動點，過點M作直線MN垂直于x軸，與直線AB和拋物線分別交于點P、N．①點M在線段OA上運動，若以B，P，N為頂點的三角形與△APM相似，求點M的坐標；②點M在x軸上自由運動，若三個點M，P，N中恰有一點是其它兩點所連線段的中點（三點重合除外），則稱M，P，N三點為“共諧點”，請直接寫出使得M，P，N三點成為“共諧點”的m的值．解：（1）∵y＝x+2與x軸交于點A，與y軸交于點B，∴當(dāng)y＝0時，x＝3，即A（3，0）．∴當(dāng)x＝0時，y＝2，即B（0，2）．∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A，B，∴，解得，∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+2；（2）①由（1）可知直線解析式為y＝