2025屆高考數(shù)學一輪復習收官模擬新課標Ⅰ卷

高考數(shù)學一輪復習收官模擬新課標Ⅰ卷學校：___________姓名：___________班級：___________考號：___________

一、選擇題1．若集合，，則()A. B. C. D.1．答案：C解析：因為，，所以.2．[2023屆·山西陽泉·模擬考試校考]若復數(shù)z滿足，則()A.1 B. C. D.2．答案：D解析：由，所以，故選D.3．設向量，向量，向量，則()A.-2 B.1 C.-6 D.-73．答案：C解析：，，，又，.故選C.4．已知，則()A. B. C. D.4．答案：A解析：因為，解得，所以.故選A.5．[2023秋·高二·陜西安康·開學考試]已知某圓錐的側面積為，該圓錐側面的展開圖是弧長為的扇形，則該圓錐的體積為()A. B. C.π D.5．答案：B解析：設該圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，由已知條件可得解得故圓錐的高，所以該圓錐的體積為.故選B.6．[2023春·高一·四川·期末?？糫將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于y軸對稱，則的最小值是()A. B. C. D.6．答案：C解析：記曲線C對應的函數(shù)為，則.因為函數(shù)的圖象關于y軸對稱，所以，得.因為，所以.故選C.7．已知函數(shù)若關于x的不等式的解集為R，則實數(shù)a的取值范圍為()A. B. C. D.7．答案：D解析：當時，在上單調(diào)遞增且；當時，在上單調(diào)遞增且，所以在R上單調(diào)遞增.所以由，可得，由題可知的解集為R，當時，恒成立，符合題意；當時，則有解不等式組得.綜上可得，當時，的解集為R.故選D.8．已知函數(shù)，的定義域均為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，，，則()A.-51 B. C. D.8．答案：D解析：因為為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以，的圖像關于點中心對稱，.因為為偶函數(shù)，所以，的圖像關于直線對稱.由，得，則，所以，，所以的圖像關于點中心對稱.因為的圖像關于直線對稱，所以，，所以，所以是以4為周期的周期函數(shù).因為，，所以，，，，所以.故選D.二、多項選擇題9．[2025屆·江蘇南通·模擬考試聯(lián)考]李明每天從家里出發(fā)去學校，有時坐公交車，有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時30分鐘，樣本方差為36；自行車平均用時34分鐘，樣本方差為4.假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，則()A.B.C.李明計劃前到校，應選擇坐公交車D.李明計劃前到校，應選擇騎自行車9．答案：BCD解析：由題意可得，，故，故A錯誤；，，所以，故B正確；，所以，故C正確；，，所以，故D正確.故選BCD.10．已知函數(shù)，則()A.有兩個極值點 B.有三個零點C.點是曲線的對稱中心 D.直線是曲線的切線10．答案：AC解析：因為，所以，令，得.由，得或；由，得.所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有兩個極值點，故A正確.因為，，所以函數(shù)在R上有且只有一個零點，故B錯誤.因為函數(shù)的圖象向上平移一個單位長度得函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象關于原點中心對稱，所以點是曲線的對稱中心，故C正確.假設直線是曲線的切線，切點為，則，解得.若，則切點坐標為，但點不在直線上，若，則切點坐標為，但點不在直線上，所以假設不成立，故D錯誤.11．已知拋物線的焦點為F，A，B是拋物線上兩動點，M是線段AB的中點，是平面內(nèi)一定點，則下列說法正確的是()A.拋物線的準線方程為B.若，則M到x軸的距離為3C.若，則D.的最小值為411．答案：ABD解析：由題意知拋物線的準線方程為，A正確；拋物線的焦點為，設，，則，由拋物線的定義知，所以，所以M到x軸的距離為，B正確；，，由，得，即，又，所以，即，解得，，所以，C不正確；記拋物線的準線為直線l，過點P作垂直直線l于點，交拋物線于點Q，過A作垂直直線于點，連接，如圖.，當且僅當點A與Q重合時取等號，所以，D正確.三、填空題12．已知，分別為雙曲線（，）的左、右焦點，P為雙曲線左支上的任意一點，若的最小值為8a，則雙曲線的離心率的取值范圍是___________.12．答案：解析：由題知，則，當且僅當，即時取等號.又點P是雙曲線左支上任意一點，所以，即，所以.13．已知曲線存在兩條斜率為3的切線，則實數(shù)a的取值范圍為___________.13．答案：解析：，依題意知有兩個不同的實數(shù)解，即有兩個不同的實數(shù)解，即有兩個不同的實數(shù)解.令，則，所以有兩個不同的實數(shù)解，所以與的圖象有兩個交點.，因為，所以，又，故.故實數(shù)a的取值范圍是.14．九宮格的起源可以追溯到遠古神話中的洛書，洛書上的圖案正好對應著從1到9九個數(shù)字，并且縱向、橫向、斜向三條線上的三個數(shù)字的和（這個和叫做幻和）都等于15，即現(xiàn)代數(shù)學中的三階幻方，已知幻和等于15的九宮格共有8種.根據(jù)洛書記載：“以五居中，五方皆為陽數(shù)，四隅為陰數(shù)”，其意思為：九宮格中5位于居中位置，四個頂角為偶數(shù)，其余位置為奇數(shù).如圖所示，若隨機填寫一組幻和等于15的九宮格數(shù)據(jù)，記事件“”，則的值為__________.14．答案：解析：由題意九宮格的中間位置填5；a，f，c，h位置填偶數(shù)2，4，6，8；b，d，g，e位置填奇數(shù)1，3，7，9.因為每一橫行，每一豎列以及兩條對角線上三個數(shù)字之和都等于15，所以先從2，4，6，8中任意選出一個數(shù)填入a位置，則有4個結果，②若a填2，則h填8，c填6，f填4，b填7，e填1，g填3，d填9；或h填8，c填4，f填6，b填9，e填3，g填1，d填7.②若a填4，則h填6，c填2，f填8，b填9，e填7，g填1，d填3；或h填6，c填8，f填2，b填3，e填1，g填7，d填9.③若a填6，則h填4，c填2，f填8，b填7，e填9，g填3，d填1；或h填4，c填8、f填2，b填1，e填3，g填9，d填7.④若a填8，則h填2，c填6，f填4，b填1，e填7，g填9，d填3；或h填2，c填4，f填6，b填3，e填9，g填7，d填1.所以總的結果數(shù)共8個，其中符合的情況有，，，，，，共6個，所以.四、解答題15．[2024春·高二·河南駐馬店·月考校考]在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，的外接圓半徑為R，且，.（1）求的值；（2）若的面積為，求的周長.15．答案：（1）（2）解析：（1）由，結合正弦定理，得，化簡得，故.又，所以，因此.（2）由（1）知，，則，由正弦定理得，令，則，，則，解得，因此的周長為.16．已知橢圓的長軸長為4，右焦點到直線的距離為3.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于M，N兩點，橢圓上存在點P，使得，求實數(shù)的值.16．答案：（1）（2）解析：（1）由題意可得解得所以橢圓的方程為.（2）設，，，由得，可得，，所以，，所以，所以點.因為點P在橢圓上，所以，整理可得，解得，所以實數(shù)的值為.17．如圖所示的多面體中，四邊形ABCD是菱形且，，平面ABCD，，點N為PC上的動點.（1）求證：存在點N，使得.（2）求二面角的正弦值.17．答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：因為四邊形ABCD是菱形，所以，又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC.又，平面，平面PBC，所以平面PBC.又，平面ADM，所以平面平面PBC.又平面AMD，所以平面PBC，所以平面MABN與PC必有交點，且該交點為N，使.（2）以D為原點，DC，DM所在直線分別為y，z軸，過點D在平面ABCD內(nèi)作垂直于DC的直線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為四邊形ABCD是菱形，，所以，又，，平面ABCD，所以，，，，.設平面AMP的法向量為.則有即取，則.設平面MPC的法向量為，則有即取，則.則，所以二面角的正弦值為.18．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值；（2）設函數(shù)有兩個零點，，證明：.18．答案：（1）當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間和最大值；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，（2）證明見解析解析：（1）函數(shù)的定義域是，.當時，恒成立，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間和最大值；當時，令，得；令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，.（2）證明：，因為，為的兩個零點，所以，不妨設.因為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.證明等價于證明，又因為，，在上單調(diào)遞增，因此證明原不等式等價于證明，即需證明，即要證明，即恒成立.令，則（等號不恒成立），所以在上單調(diào)遞減，所以，又當時，取不到0，所以在時恒成立，因此不等式恒成立，即成立.19．[2025屆·福建寧德·模擬考試?？糫約數(shù),又稱因數(shù).它的定義如下:若整數(shù)a除以整數(shù)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù),我們就稱a為m的倍數(shù),稱m為a的約數(shù).設正整數(shù)a共有k個正約數(shù),即為,,…,,.（1）當時,若正整數(shù)a的k個正約數(shù)構成等比數(shù)列,請寫出一個a的值;（2）當時,若構成等比數(shù)列,求正整數(shù)a;（3）記,求證