3.2.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(分層練習(xí))（解析版）

第三章圓錐曲線的方程3.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇已知雙曲線的下、上焦點(diǎn)分別為F10,?3，F(xiàn)20,3，P是雙曲線上一點(diǎn)且A．x24?C．y24?【答案】C【分析】結(jié)合題意依次求得c,a,b，從而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線的下、上焦點(diǎn)分別為F10,?3，所以設(shè)雙曲線的方程為y2a2又因?yàn)镻是雙曲線上一點(diǎn)且PF所以2a=4，即a=2，則b2所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2在相距1400m的A，B兩哨所，哨兵聽(tīng)到炮彈爆炸聲的時(shí)間相差3s，已知聲速是340m/s，則炮彈爆炸點(diǎn)所在的曲線是（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．雙曲線的一支 D．拋物線【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義可得答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)M是炮彈爆炸點(diǎn)所在的曲線上任意一點(diǎn)則MA?故選：B設(shè)橢圓C1的離心率為513，焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線A．x216?C．x29?【答案】A【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線中a,b,c的關(guān)系，結(jié)合雙曲線定義可解.【詳解】在橢圓C1中，由題知2a=26ca所以橢圓C1的焦點(diǎn)為F1?5,0因?yàn)榍€C2上的點(diǎn)到F1，F(xiàn)2所以曲線C2是以F1，所以曲線C2的虛半軸長(zhǎng)為5故C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x故選：A.已知雙曲線x2a2?y2b2=1（a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)AA．x212?C．x23?【答案】C【分析】由題可得可得c=2，b【詳解】雙曲線x2a2?y2b可得c=2，ba＝解得a=3，b=1，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸，所得雙曲線方程為：故選C．已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C:x2?y22=1A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】利用雙曲線的定義求出F1F2=23【詳解】由題意可得F1由雙曲線的定義得MF1?解得MF1=4由余弦定理得cos∠MF1F2如圖，橢圓x26+y22=1和雙曲線x23?yA．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】由橢圓和雙曲線的定義可列出AF1，【詳解】因?yàn)锳是橢圓x26+所以由橢圓的定義可得AF1由雙曲線的定義可得AF2解得AF1=6所以AF故選：A若橢圓x2m+y2t=1m>t>0與雙曲線x2A．t2 B．t C．2t 【答案】B【分析】設(shè)PF1=p，PF2=q，再根據(jù)橢圓與雙曲線的定義列式，化簡(jiǎn)可得【詳解】設(shè)PF1=p，P則p+q=2m?①，p?q=2n可得①2+②2：p2+①2?②2：（多選）設(shè)θ是三角形的一個(gè)內(nèi)角，對(duì)于方程x2sinθ＋yA．當(dāng)0＜θ＜π2B．當(dāng)θ＝π2C．當(dāng)π2＜θ＜3π4時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在D．當(dāng)3π4＜θ＜π時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y【答案】BC【分析】利用橢圓、雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式逐一判斷即可.【詳解】當(dāng)0＜θ＜π2但當(dāng)θ＝π4當(dāng)θ＝π2當(dāng)π2＜θ＜π時(shí)，sinθ＞0，cosθ＜0，所以不論π2＜θ＜3π4方程表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，所以C正確，D錯(cuò)誤，故選：BC.（多選）已知雙曲線C：x2?y24=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，點(diǎn)P雙曲線A．若θ=60°，則S＝4B．若S=4，則PC．若△PF1D．若△PF1F2的重心為G，隨著點(diǎn)P【答案】ACD【分析】對(duì)于A，利用焦點(diǎn)三角形的面積公式求解，對(duì)于B，由焦點(diǎn)三角形的面積公式求出θ=90°，再由以雙曲線的定義和勾股定理列方程組可求得結(jié)果，對(duì)于C，當(dāng)【詳解】由x2?y2焦點(diǎn)三角形PF1F2的面積公式S=b當(dāng)S＝4時(shí)，θ=90°，由PF當(dāng)∠F1PF2=90°時(shí)，S＝4，當(dāng)設(shè)G(x,y),Px0,y0x0>1，則故選：ACD已知圓O1：x+52+y2=1的圓心為O1，圓O2：x?52+y2=9(1)求C的方程；(2)若P是C上一點(diǎn)，且O1P⊥O【答案】(1)x2?【分析】（1）根據(jù)已知條件結(jié)合雙曲線的定義即可求解；（2）設(shè)O1P=x，則O2P=2+x，由【詳解】（1）設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，因?yàn)閳AM與圓O1和圓O所以MO1=r+1，M根據(jù)雙曲線的定義可知，M的軌跡是以O(shè)1，O設(shè)方程為x2由O1O2=10=2c?c=5，又所以C的方程為x2（2）設(shè)O1P=x因?yàn)镺1P⊥O2P.所以O(shè)1P故△O1O提升篇提升篇設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x24?y2=1的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線在第一象限部分上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F【答案】2【分析】延長(zhǎng)F1M交PF2于點(diǎn)Q，由△PMF1≌△PMQ，得到PF1【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)F1M交PF2由PM為∠F1PF2的平分線及PM⊥根據(jù)雙曲線的定義，可得PF1?PF在△F1QF2中，由O和M故答案為：2.

已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C:x24?y22A．16 B．18 C．8+42 D．【答案】A【分析】利用雙曲線的定義表示PF【詳解】因?yàn)镕1，F(xiàn)2為雙曲線所以PF所以P=PF2+16因?yàn)閏=a2+b2=6，所以c?a=已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x25?y24=1A．37+4 B．37?4 C．37?2【答案】C【分析】利用雙曲線的定義可得，求AP+AF2的最小值相當(dāng)于求【詳解】因?yàn)锳P+AF只需求AP+A如圖,連接F1P交雙曲線的右支于點(diǎn)A0AP+AF故AP+AF故選：C已知F1、F2分別是雙曲線C:x24?y23=1的左、右焦點(diǎn)，A．13 B．12 C．35【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，利用雙曲線的定義以及PF1、PF【詳解】

在雙曲線中，a=2，b=3，則c=根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則PF因?yàn)镕1所PF1=t+4在△PF1F28=t在△PF1F2中，O是F1所以40=t所以t2+4t=940=2t∴cos∠F已知F1，F(xiàn)2為雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線A．63 B．6+63 C．6+2【答案】D【解析】結(jié)合條件根據(jù)雙曲線的定義求解出AF1的長(zhǎng)度，在△AF1F2【詳解】由雙曲線定義知BF1?BF由雙曲線定義知AF2?A在△AF1F由余弦定理得2c2=2a∴b∴b2+1a故選：D.已知F1、F2是雙曲線或橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓或雙曲線上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)PF1=2A．x236+y235=1 B．【答案】C【分析】利用橢圓定義和題給條件求得PF1,PF2的值，再利用【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，x236+y235=1所以a+c=7，a?c=5，P到焦點(diǎn)距離的最小值為5，最大值為7，假設(shè)存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足PF1=2解得PF對(duì)于B選項(xiàng)，x216+y215=1所以a+c=5，a?c=3，P到焦點(diǎn)距離的最小值為3，最大值為5，假設(shè)存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足PF1=2解得PF對(duì)于C選項(xiàng)，雙曲線的方程為x2則雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，F(xiàn)1?2,0、F22,0若雙曲線上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2的距離之比為由PF所以C選項(xiàng)中的雙曲線存在“阿圓點(diǎn)”；對(duì)于D選項(xiàng)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2則a=14，c=1，F(xiàn)1?1,0、F21,0，所以a+c=5若雙曲線上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2的距離之比為則PF1=2故選：C．（多選）已知雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別是A．PB．直線PA1，PC．使得△PF1FD．若PA1【答案】BD【分析】由雙曲線的定義，可判定A錯(cuò)誤；由kPA1?kPA【詳解】由題意，點(diǎn)P是雙曲線上異于A1,A對(duì)于A中，由雙曲線的定義知，PA對(duì)于B中，由A1(?a,0)，A2又由x02a2?對(duì)于C中，若P在第一象限，則當(dāng)PF1=2c時(shí)，PF2=2c?2a，△PF1F2為等腰三角形；當(dāng)PF對(duì)于D中，由PA1?從而PF故選：BD．在△ABC中，點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，兩定點(diǎn)B,C的坐標(biāo)分別為?2,0，2,0，且滿(mǎn)足sinC?sinB=【答案】x【分析】根據(jù)條件，利用正弦定理進(jìn)行角轉(zhuǎn)邊，得到c?b=12a=2，從而得出點(diǎn)A【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)A(x,y)，由題知，BC=a=4，又sinC?sinB=12sinA所以點(diǎn)A在以B,C為焦點(diǎn)，即2c=4，實(shí)軸長(zhǎng)為2，即2a=2的雙曲線的右支上，所以b2又A,B,C構(gòu)成三角形，故點(diǎn)A與BC不共線，即點(diǎn)A不能在x軸上，所以動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為x2如圖，在△ABC中，已知AB=42，且三內(nèi)角A，B，C滿(mǎn)足2sinA+sin

【答案】x【分析】以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，利用正弦定理結(jié)合已知條件可得AC?【詳解】以AB邊所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A?22,0由正弦定理，得sinA=BC2R，sinB=AC2R，sinC=∵2sinA+sinC=2sinB，∴2BC+AB由雙曲線的定義知，點(diǎn)C的軌跡為雙曲線的右支（除去與x軸的交點(diǎn)）.由題意，設(shè)所求軌跡方程為x2∵a=2，c=22，∴故所求軌跡方程為x2故答案為：x雙曲線C的漸近線方程為y=±233x，一個(gè)焦點(diǎn)為F(0,?7)