高一數(shù)學必修1教案

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1.1.1集合的含義與表示(1)

一、教學目標：

1、了解集合、元素的概念，體會集合中元素的三個性質(zhì)；

2、理解元素與集合的“屬于”和“不屬于”關(guān)系；

3、掌握常用數(shù)集及其記法；

二、教學重點：掌握集合的基本概念；

教學難點：元素與集合的關(guān)系；

二、教學過程：

1、引入

在初中，我們已經(jīng)接觸過一些集合。引導(dǎo)學生回憶，舉例和互相交流。那么，集合的含義

是什么呢?這就是我們這一堂課所要學習的內(nèi)容.

2、新課教學

利用多媒體設(shè)備向?qū)W生投影出下面8個實例：

(1)1—20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)；

⑵我國1991-2003發(fā)射的人造衛(wèi)星；

(3)金星汽車廠2003年生產(chǎn)的汽車

(4)2004年1月1日之前與中國建交的國家；

⑸所有的正方形；

(6)到直線L的距離等于定長d的所有的點；

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(7)方程X2—5X+6=0X2的所有實數(shù)根；

(8)新華中學2004年9月入學的高一學生的全體。

組織學生分組討論這8個實例的共同特征是什么？

3、集合的有關(guān)概念

⑴一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫集合，也簡稱集。

⑵集合元素的性質(zhì)：

①確定性：集合中的元素必須是確定的。

②互異性：集合中的元素必須是互不相同的。

③無序性：集合中的元素是無先后順序的，任何兩個元素都可以交換位置。

⑶集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合相等.

⑷思考：判斷以下元素的全體是否組成集合，并說明理由：

①大于3小于11的偶數(shù)；

②我國的小河流；

讓學生充分發(fā)表自己的理解.

⑸教師提出問題，讓學生思考

如果用A表示高一⑵班全體學生組成的集合，用。表示高一⑵班的一位同學，人是高一

(1)班的一位同學，那么與集合A分別有什么關(guān)系？

由學生得出元素與集合的關(guān)系有兩種：屬于和不屬于.

如果。是集合A的元素，就說。屬于集合A,記作aeA。

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如果4不是集合A的元素，就說。不屬于集合A,記作。定A。

例如，我們A表示“1~20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)”組成的集合，則有3CA,4《A,等等。

⑹集合與元素的字母表示：集合通常用大寫的拉丁字母A,B,C…表示，集合

元素用小寫的拉丁字母a,b,c,…表示。

⑺常用的數(shù)集及記法：

非負整數(shù)集（或自然數(shù)集），記作N;

正整數(shù)集，記作N*或N+;

整數(shù)集，記作Z;

有理數(shù)集，記作Q；

實數(shù)集，記作R；

4、練習：

P5用"心或“任”符號填空：

設(shè)A為所有亞洲國家組成的集合，則

中國A,美國A,

印度A,英國A。

四、課堂小結(jié)：

⑴集合、元素的概念

⑵集合中元素的三個性質(zhì)

⑶常用的數(shù)集

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LL1集合的含義與表示(2)

一、教學目標：

1、了解集合的表示方法；

2、能正確選擇列舉法或描述法。

二、教學重點：掌握集合的表示方法；

教學難點：選擇恰當?shù)谋硎痉椒ǎ?/p>

二、教學過程：

1、復(fù)習回顧：

集合和元素的定義；元素的三個性質(zhì)；元素與集合的關(guān)系；常用的數(shù)集及表示。

2、引入:

我們可以用自然語言和圖形語言來描述一個集合，但這將給我們帶來很多不便。除此之外,

我們常用列舉法和描述法來表示集合。

3、列舉法：

例子，地球上的四大洋組成的集合{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}。

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫列

舉法。

說明：L各個元素之間要用逗號隔開；

2.對于含有較多元素的集合，用列舉法表示時，必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后方

能用省略號，自然數(shù)集N用列舉法表示為{1,2,3,4,5,……}

例L用列舉法表示下列集合：

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(1)小于1。的所有自然數(shù)組成的集合；

(2)方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合；

(3)由1到20以內(nèi)的所有素數(shù)組成的集合；

解：(1)A=｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9｝

4、描述法：

思考:不等式X-7<3的解集是列舉不完的，設(shè)不等式X-7<3的解集為D,則D=｛xCR|x<10｝

描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。

具體方法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，

再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。

說明：1.課本Ps最后一段話；

2.描述法表示集合應(yīng)注意集合的代表元素，如｛(x,y)|y=x2+3x+2｝與｛y|y=x2+3x+2｝是不同

的兩

個集合，只要不引起誤解，集合的代表元素也可省略，例如：｛x|整數(shù)｝,即代表整數(shù)集Z。

辨析：這里的1｝已包含“所有”的意思，所以不必寫｛全體整數(shù)｝。

例2.試分別用列舉法和描述法表示下列集合：

⑴方程x2—2=0的所有實數(shù)根組成的集合；

(2)由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合；

思考3：

說明：列舉法與描述法各有優(yōu)點，應(yīng)該根據(jù)具體問題確定采用哪種表示法，要注意，

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一般集合中元素較多或有無限個元素時，不宜采用列舉法。

5、課堂練習：

課本Ps練習2

四、歸納小結(jié)：

集合的常用表示方法：列舉法、描述法。

五、作業(yè)：

課本P5練習1,2;

1.1.2集合間的基本關(guān)系

一、教學目標：

1、了解集合之間的包含、相等關(guān)系的含義；

2、理解子集、真子集的概念；

3、能利用Venn圖表達集合間的關(guān)系；

4、了解空集的含義。

二、教學重點：子集與空集的概念；能利用Venn圖表達集合間的關(guān)系。

教學難點：弄清楚屬于與包含的區(qū)別。

三、教學過程：

1、復(fù)習回顧：

集合的兩種表示方法:列舉法，描述法。

2、引入:

思考P6：類比實數(shù)的大小關(guān)系，如5=5,5<7,,5>3,試想集合間是否有類似的“大小”

關(guān)系呢？

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3、新課教學：

⑴子集的概念：

觀察下面幾個例子，你能發(fā)現(xiàn)兩個集合之間的關(guān)系：

?A=[1,2,3｝,B=｛1,2,3,4,5)；

②人:｛高一(2)班的女生｝,B=｛高一(2)班的學生｝;

③上二民山是兩條邊相等的三角形｝,F=｛x|x是等腰三角形｝

由學生通過觀察得結(jié)論：集合A的任何一個元素都是集合B的元素

子集的定義：對于兩個集合A,B,如果集合Z的任何一個元素都是集合3的元素，我們

說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集(subset)o記作：

讀作：“A含于B”,或“B包含A”

(2)Venn圖：

用Venn圖表示兩個集合間的“包含”關(guān)系：

如圖:*AAn

⑶集合相等定義：IIA]]

如果A是集合B的子集A的子集，則集合A與集合B中的元素是一樣

的，因此集合A與集合B相等，即若AuRSBuA,則4=8。

⑷真子集定義：

若集合AgB,但存在元素xe氏且;則稱集合4是集合3的真子集。

記作：ASB(或B2A)

讀作:“A真含于B”,或“B真包含A”。

⑸空集：

不含有任何元素的集合稱為空集，記作：0o

思考P7：元素與集合是“屬于”“不屬于”的關(guān)系，集合與集合是“包含于”“不包含于”

的關(guān)系；

幾個重要的結(jié)論：

①任何一個集合是它本身的子集；

②空集是任何集合的子集；

③空集是任何非空集合的真子集；

④對于集合A,B,C,如果Aqb,且那么A^C。

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強調(diào)：在分析有關(guān)集合問題時，要注意空集的地位。

4、講授例題：

例3.寫出集合他,例的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

5、課堂練習：

課本P7練習1,2,3

四、歸納小結(jié)：

⑴子集、真子集、空集等概念及符號；

⑵用Venn圖直觀地表示集合；

⑶注意包含與屬于符號的運用。

五、作業(yè)：

課本P7練習1,2,3

1.1.3集合的基本運算⑴

一、教學目標：

1、理解交集與并集的概念；

2、掌握交集與并集的區(qū)別

3、會求兩個已知集合的交集和并集。

二、教學重點：交集與并集的概念，數(shù)形結(jié)合的思想。

教學難點：理解交集與并集的概念、符號之間的區(qū)別。

二、教學過程：

1、復(fù)習回顧：

集合之間的關(guān)系、子集、真子集、空集等概念。

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2、引入:

思考P8考察下列集合，說出集合C與集合A,B之間的關(guān)系：

(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};

(2)A={x|x是有理數(shù)},B={x|x是無理數(shù)},C={x|x是實數(shù)};

由學生通過觀察得結(jié)論:集合C由集合A和集合B的元素所組成的。

3、新課教學：

⑴并集的定義：

一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做集合A與集合B

的并集(unionset)o記作:AUB(讀作:“A并B”)，即

用Venn圖表示：

AB

說明：定義中要注意“所有”和“或”這兩個條件。

⑵例題講解：

例4A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求AUB;

例5A={x|-l<x<2},B={x|l<x<3},求AUB。

思考PsAUA=A,AU0=A

(3)交集的定義：

一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A、B的交集,

記作ADB(讀作“A交B”)即：

AAB={x|x€A,且xWB}

用Venn圖表示：(陰影部分即為A與B的交集)

⑷例題講解：

例6(略)

例7設(shè)平面內(nèi)直線4上點的集合為LI，直線上點的集合為L2,試用集合的運算表示4,12

的位置關(guān)系。

思考P9AnA=AAn0=A

4、課堂練習：

課本P”練習1,2,3

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四、歸納小結(jié)：

⑴交集、并集的概念及符號；

(2)Venn圖直觀地把兩個集合之間的關(guān)系表示出來；

⑶數(shù)軸在求交集和并集中的運用。

1.1.3集合的基本運算(2)

一、教學目標：

1、理解補集的概念，正確理解符號“C°A”的涵義；

2、求已知全集的補集。

二、教學重點：補集的有關(guān)運算及數(shù)軸的應(yīng)用。

教學難點：補集的概念。

二、教學過程：

1、復(fù)習回顧：

交集、并集、符號語言如何表示？

2、引入：

在研究問題時，我們需要討論研究對象的范圍。在不同的范圍研究一個問題，可能有不同

的結(jié)果。

例如方程(X-2)(X2-3)=0,在有理數(shù)范圍只有一個解2;在實數(shù)范圍有三個解2,匕？，A3。

3、新課教學：

(1)全集的定義：

一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集,

記作U。

⑵補集的定義：

對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，叫作集合A相對于

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全集U的補集，記作：C.A,讀作：“A在U中的補集”，即

用Venn圖表示：(陰影部分即為A在全集U中的補集)

A

U

⑵例題講解：

例8設(shè)集。=卜卜是小于9的正整數(shù)},A={1,2,3},3={3,4,5,6},求CVB.

解:根據(jù)題意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以G7A={4,5,6,7,8},CvB={i,2,7,8).

例9設(shè)全集U={x|x是三角形}A={x|x是銳角三角形},B={x|x是鈍角三角形},求An

B,

CJAUB)

4、課堂練習：

課本P”練習4

四、歸納小結(jié)：

補集、全集的概念和符號；

五、作業(yè)：

課本P”練習1,2,3,4

1.2.1函數(shù)的概念

一、教學目標：

1、用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；

2、了解構(gòu)成函數(shù)的三要素；

3、使用“區(qū)間”的符號表示某些集合。

二、教學重點：理解函數(shù)的模型化思想，用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)。

教學難點：符號“產(chǎn)《㈤”的含義，函數(shù)定義域和值域的區(qū)間表示；

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二、教學過程：

1、復(fù)習回顧：

初中函數(shù)的定義：在一個變化過程中，有兩個變量X和必對于X的每一個確定的值，y

都有唯一的值與之對應(yīng)，此時y是x的函數(shù)，x是自變量，y是因變量。

表示方法有：解析法、列表法、圖象法.

2、引入：

初中函數(shù)的表示方法有：解析法、列表法、圖象法.

結(jié)合課本P15給出的三個實例，說明三種表示方法的適用范圍及其優(yōu)點：

解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，如1.2.1的實例(1);

優(yōu)點：簡明扼要；給自變量求函數(shù)值。

圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，如1.2.1的實例(2);

優(yōu)點：直觀形象，反映兩個變量的變化趨勢。

列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，如1.2.1的實例(3);

優(yōu)點：不需計算就可看出函數(shù)值，如股市走勢圖；列車時刻表；銀行利率表等。

3、新課教學：

⑴例3P某種筆記本的單價是2元，買2,3,4,5｝)個筆記本需要y元.試用

三種表示法表示函數(shù)y=f(x).

⑵常見函數(shù)的定義域，值域：

①一次函數(shù)y=ax+b(a#O)的定義域是R,值域也是R;

②二次函數(shù)y=or2+bx+c(a=#0)的定義域是R,值域是B;

當a>0時，值域3=”咎一"］；當a<0時，值域8=y”丁

③反比例函數(shù)y=?左。0)的定義域是｛小工0｝,值域是｛引尸0｝。

⑶區(qū)間及寫法：

設(shè)a、b是兩個實數(shù)，且a<b,貝IJ：

①滿足不等式aWxWb的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為［a,b］;

②滿足不等式a<x<b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為(a,b)；

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③滿足不等式。wx(域a<XW匕的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，表示為,力),(a,句；

這里的實數(shù)a和b都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點。

符號“8”讀“無窮大”；“一oo”讀“負無窮大”；“+oo”讀“正無窮大，

⑷例題講解：

例1：已知函數(shù)仙)=Jx+3

(1)求函數(shù)的定義域；

2

(2)求2(-3),《)的值；

(3)當a>0時，求/(a),4a—1)的值.

引導(dǎo)學生小結(jié)幾類函數(shù)的定義域：

①如果4角是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R.

②如果男㈤是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合.

③如果扉㈤是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)的集合.

④如果4角是由幾個部分的數(shù)學式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的

實數(shù)集合.(即求各集合的交集)

⑤滿足實際問題有意義.

例2、下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x相等？

(1)J=(Vx)2;(2)片(浮)；

(3)產(chǎn)后;(4)y=—

X

①構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全

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一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）；

②兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的

字母無關(guān)。

4、課堂練習：

課本P19練習1,2,3

四、歸納小結(jié)：

⑴用集合與對應(yīng)的語言描述了函數(shù)的定義；

⑵判斷同一函數(shù)的基本方法；

⑶區(qū)間的概念。

五、作業(yè)：課本P19練習1,2,3

1.2.2函數(shù)的表示法（1）

一、教學目標：

1、掌握函數(shù)的三種表示方法（解析法、列表法、圖像法）；

2、了解三種表示方法各自的優(yōu)點，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)；

3、了解簡單的分段函數(shù)。

二、教學重點：根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)。

教學難點：分段函數(shù)的表示及其圖象。

二、教學過程：

1、復(fù)習回顧：

函數(shù)的概念？函數(shù)的三要素？

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2、引入:

結(jié)合課本P15給出的三個實例，說明三種表示方法的適用范圍及其優(yōu)點：

①解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，如L2.1的實例1;優(yōu)點：

簡明扼要；給自變量求函數(shù)值。

②圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，如1.2.1的實例2;優(yōu)點：直觀形

象，反映兩個變量的變化趨勢。

③列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，如1.2.1的實例3;優(yōu)點：不

需計算就可看出函數(shù)值，如股市走勢圖；列車時刻表；銀行利率表等。

3、新課教學：

⑴例題講解：

例3.P19某種筆記本的單價是2元，買2,3,4,5｝）個筆記本需要y元.試用

三種表示法表示函數(shù)y=f（x）.（略）

注意："y=f（x）”有三種含義，它可以是解析表達式，可以是圖象，也可以是對應(yīng)值表。

例4.P19下表是某校高一（1）班三位同學在高一學年度六次數(shù)學測試的成績及班級平均

分表：

第一次第二次第三次第四次第五次第六次

王偉988791928895

張城907688758680

趙磊686573727582

班平均分88.278.385.480.375.782.6

請你對這三們同學在高一學年度的數(shù)學學習情況做一個分析.（略）

⑵分段函數(shù)：

例5.畫出函數(shù)y=|x|的圖象。（略）

例6.某市郊空調(diào)公共汽車的票價按下列規(guī)則制定：

（1）5公里以內(nèi)（含5公里），票價2元；

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(2)5公里以上，每增加5公里，票價增加1元(不足5公里的俺公里計算)。如果某條

線路的總里程為2。公里，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)

的圖象。(略)

注意：分段函數(shù)是一個函數(shù)，函數(shù)有幾種不同的表達式用一個左大括號括起來，并分別注

明各部分的自變量的取值情況.

4、課堂練習：

課本P23練習1,2,3;

四、歸納小結(jié)：

⑴函數(shù)的三種表示方法；

⑵分段函數(shù)的表示方法及其圖象的畫法。

⑶了解了函數(shù)的圖象可以是一些離散的點、線段、曲線或射線。

1.2.2函數(shù)的表示法(2)

一、教學目標：了解映射的概念及表示方法；

二、教學重點：求函數(shù)的解析式。

教學難點：對函數(shù)解析式方法的掌握。

二、教學過程：

1、復(fù)習回顧：

函數(shù)表示方法有：解析法、列表法、圖象法.

2、引入：

⑴舉例

對于任何一個實數(shù)，數(shù)軸上都有唯一的點和它對應(yīng)；

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對于坐標平面內(nèi)任何一個點，都有唯一的坐標(X,力和它對應(yīng)；

某影院的某場電影的每一張電影票有唯一確定的座位與它對應(yīng)；

⑵導(dǎo)入

函數(shù)是建立在兩個非空數(shù)集間的一種對應(yīng)，若將其中的條件“非空數(shù)集”擴展為“任意兩

個非空集合”，按照某種法則建立起的元素之間的對應(yīng)關(guān)系，即映射。

3、新課教學：

⑴映射的概念：

一般地，設(shè)43是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則/,使對于集合力中

的任意一個元素x,在集合3中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)廣A-B為

從集合力到集合3的一個映射。記作：

討論：映射有哪些對應(yīng)情況？一對多是映射嗎？

映射可以一對一，多對一，但不能一對多。函數(shù)是特殊的映射。

⑵例題講解：

例7：P22以下給出的對應(yīng)是不是從A到集合B的映射？

(1)集合力=｛尸IP是數(shù)軸上的點｝,集合mR對應(yīng)關(guān)系f：數(shù)軸上的點與它所代表的實

數(shù)對應(yīng)；

(2)集合Z=｛P|P是平面直角坐標系中的點｝,岳｛(x,y)|xeR,yeR｝,對應(yīng)關(guān)系f：平面

直角坐標系中的點與它的坐標對應(yīng)；

(3)集合力=｛x|x是三角形｝,集合岳｛x|x是圓｝,對應(yīng)關(guān)系f:每一個三角形都對應(yīng)它

的內(nèi)切圓；

(4)集合力=｛x|x是新華中學的班級｝,集合岳｛x|x是新華中學的學生｝,對應(yīng)關(guān)系：每

一個班級都對應(yīng)班里的學生。

4、課堂練習：

課本P23練習4;

四、歸納小結(jié)：

映射的概念

五、作業(yè)：課本P23練習1,2,3,4;

1.3.1單調(diào)性與最大(小)值(1)

一、教學目標：

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1、理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性等概念；

2、掌握增(減)函數(shù)的證明和判別；

3、運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。。

二、教學重點：函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義。

教學難點：利用函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性。

三、教學過程：

1、引言：

函數(shù)是描述事物運動變化規(guī)律的數(shù)學模型，那么能否發(fā)現(xiàn)變化中保持不變的特征呢?

⑴觀察下列各個函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：

①隨x的卡大，y的值有什么變，七?

----------1-1----------?--------------1----------------

②能否看小函數(shù)的最大、最力紳

③函數(shù)圖象是否具有某種對稱性?

2、新課教學：

⑴增函數(shù)：

①根據(jù)f(x)=x、f(x)=x2的圖象進行討論：

觀察、分析：

函數(shù)圖像的"上升下降"反映了函數(shù)的一個基本性質(zhì)——單調(diào)性。

②請觀察函數(shù)y=x2的表格，回答下列問題：

X???-4-3.-101234???

f(x)=x2???16941014916.??

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當x€(—8,0),x增大時，圖中的y值減小;

當xW[0,+oo),x增大時，圖中的y值增加;

即f(x)=x2在區(qū)間xW[0,+8)上,當X1<x?時，有f(xj<f(x2)。

③增函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任

意兩個自變量Xi,x2,當X1VX2時,都有f(xJ<f(X2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。

⑵減函數(shù)：

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量X1,

X2,當X1VX2時,都有f(xJ>f(X2),那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。

歸納：在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象是上升，減函數(shù)的圖象是下降。

⑶利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：

①任取Xi,x2€D,且X1<X2；

②作差f(X1)-f(x2);

③變形(通常是因式分解和配方)；

④定號(即判斷差f(Xi)-f(X』的正負)；

⑤下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).

⑷例題講解：

例1P29如圖是定義在區(qū)間[—5,5]上的函數(shù)y=f(x),根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及

在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？(略)

例2P29物理學中的玻意耳定律〃=[(々為正常數(shù))，告訴我們對于一定量的氣體，當其體

積P增大時，壓強。如何變化？試用單調(diào)性定義證明。(略)

⑸探究：

畫出反比例函數(shù)丫=，的圖象。

X

(1)這個函數(shù)的定義域I是什么？

(2)它在定義域I上的單調(diào)性是怎樣的？證明你的結(jié)論。

通過觀察圖象，先對函數(shù)是否具有某種性質(zhì)做出猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想

的正確性，是研究函數(shù)性質(zhì)的一種常用方法。

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3、課堂練習：

課本P32練習3,4

四、歸納小結(jié)：

⑴增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性等概念；

⑵增(減)函數(shù)的證明和判別；

⑶函數(shù)圖象上升和下降來判別增(減)函數(shù)。

1.2.2單調(diào)性與最大(小)值(2)

一、教學目標：理解函數(shù)的最大(小)值及其幾何意義.；

二、教學重點：求函數(shù)的最大(小)值。

教學難點：能利用單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值。

二、教學過程：

1、復(fù)習回顧：

配方法求最值。函數(shù)f(x)=x2的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性。函數(shù)f(x)=x?的最小值的情況。增函

數(shù)、減函數(shù)的定義。

2、引入:

思考：函數(shù)f(x)=-x2的最大值的情況。

畫圖，指出函數(shù)圖象的最高點。

3、新課教學：

⑴最大值的概念：

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足：對于任意的XC/,都有f(x)<M;存

在XoW/,使得f(x0)=M那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值。

⑵最小值的概念：

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足：對于任意的x€/,都有f(x)>M;存

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在XoW/,使得f(x0)=M那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值。

⑶例題講解：

例3P3?！熬栈ā睙熁ㄊ亲顗延^的煙花之一。制造時一般是期望在它達到最高點時爆裂.如

果煙花距地面的高度hm與時間ts之間的關(guān)系為〃⑺=-4.9產(chǎn)+14.7/+18,那么煙花沖出

后什么時候是它爆裂的最佳時刻？這時距地面的高度是多少(精確到1m)?

例4P31求函數(shù)丫=工在區(qū)間［2,6］上的最大值和最小值.

4、課堂練習：

課本P32練習5；

四、歸納小結(jié)：

⑴函數(shù)的最大(小)值的定義

⑵函數(shù)最值的常用方法有：配方法，數(shù)形結(jié)合法。

五、作業(yè)：課本P32練習3,4,5;

1.3.2奇偶性

一、教學目標：

1、理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念及幾何意義；

2、熟練判別函數(shù)的奇偶性。

二、教學重點：熟練判別函數(shù)的奇偶性。

教學難點：符號“產(chǎn)43”的含義，函數(shù)定義域和值域的區(qū)間表示；

二、教學過程：

1、引入：“對稱”是大自然的一種美，這種“對稱美”在數(shù)學中也有大量的反映，讓我們

看看下列各函數(shù)有什么特征？

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函數(shù)/(x)=r是定義域為全體實數(shù)的拋物線；函數(shù)f(x)=2-|x|是定義域為全體實數(shù)的折

線；各函數(shù)之間的特征為圖象關(guān)于y軸對稱.觀察一對關(guān)于y軸對稱的點的坐標有什么關(guān)

系？

歸納：若點3.f(x))在函數(shù)圖象上，則相應(yīng)的點(rj(x))也在函數(shù)圖象上，即函數(shù)圖象上

橫坐標互為相反數(shù)的點，它們的縱坐標一定相等。f(-3)=9=f(3),f(-2)=4=f(2),f(-l)=l=f(l)。

2、新課教學：

⑴偶函數(shù)的概念：

一般地，對于函數(shù)/(X)定義域內(nèi)的任意一個X,都有/(-x)=/(x),那么函數(shù)/(X)叫偶函數(shù)。

⑵奇函數(shù)的概念：

①觀察下圖，這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？

f(x)=xf(x)=—

yy

Oxx''A

oI

函數(shù)之間的特征為圖象關(guān)于原點對稱.觀察一對關(guān)于原點對稱的點的坐標有什么關(guān)系？

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歸納：若點(x,/(x))在函數(shù)圖象上，則相應(yīng)的點(-x,-f(x))也在函數(shù)圖象上，即函數(shù)圖象

上橫坐標互為相反數(shù)的點，它們的縱坐標也互為相反數(shù)。f(-3)=-3=-f(3)

②如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x,都有/(-x)=-f(x),那么函數(shù)/(x)叫奇函數(shù)。

⑶注意：

①函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；

②由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一

個x,則r也一定是定義域內(nèi)的一個自變量(即定義域關(guān)于原點對稱).

③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.

⑷例題講解：

思考：f(x)=x3+3的奇偶性。

例5：判斷下列函數(shù)的奇偶性

(1)/(X)=X4(2)f{x)=x5(3)/(%)=%+-(4)f(x)=\.

XX

歸納：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：

①首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱；

②確定/(-X)與〃幻的關(guān)系；

③作出相應(yīng)結(jié)論：

若/(一幻=/(x)或/"(—)-/(%)=0,貝獷(x)是偶函數(shù)；

若/(一幻=一/(幻或/X—X)+/(%)=0,貝依x)是奇函數(shù)?

3、課堂練習：

課本P36練習1,2

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四、歸納小結(jié):

⑴函數(shù)的奇偶性；

⑵判斷函數(shù)的奇偶性通常有兩種方法，即定義法和圖象法；

⑶學生結(jié)合函數(shù)的圖象充分理解好單調(diào)性和奇偶性這兩個性質(zhì)。

五、作業(yè)：課本P36練習1,2

2.1.1指數(shù)與指數(shù)塞的運算⑴

一、教學目標：

1、掌握n次方根、根式、分數(shù)指數(shù)塞的概念；

2、理解根式、分數(shù)指數(shù)塞的意義；

3、進行根式的運算、分數(shù)指數(shù)塞的運算。

二、教學重點：分數(shù)指基的意義及其運算性質(zhì)；

教學難點：根式的概念及分數(shù)指數(shù)基的概念。

二、教學過程：

1、復(fù)習回顧：

幕、平方根、立方根、二次根式、三次根式。

2、引入:

課本P56的問題1和問題2。(1+7.3%)1,(1+7.3%)2,(1+7.3%)3,(-)1

2

600010000

4(1A?73O(1A5730、

2(1),是正整數(shù)指數(shù)騫。I、I的意義是什么呢?

指數(shù)取值從整數(shù)推廣到實數(shù)。

3、根式：

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(l)n次方根：

如果x2=a,那么x叫做a的平方根，例如±2是4的平方根

如果x3=a,那么x叫做a的立方根，例如2是8的立方根

(±2)'=16,±2是16的4次方根，25=32,2叫做32的5次方根。

一般地，如果xn=a,那么x叫做a的n次方根，其中，n>l,且nWN"

①n為奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是正數(shù)；負數(shù)的n次方根是負數(shù)；0的n次方根是0;

近=亞=2,打五=’(_2)5=_2,?妤=癡)3=々2

②n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，互為相反數(shù)。記：土加。

負數(shù)沒有偶次方根；0的n次方根是0,記作花=0。

⑵根式：像標的式子就叫做根式,這里n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù)。

(3)探究：(族)“、也7的意義及結(jié)果？

①麗)"=a.

②n為奇數(shù)時，值=。

,.I—,[cia20

n為偶數(shù)時，"a"=?IaI=(

—aa<0

⑷例題講解：

例1、求下列各式的值：

(1)/產(chǎn)(2)&-IO)?⑶取3一一尸(4)4a-b)2(a>b)

4、課堂練習：

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課本P54練習1

四、歸納小結(jié)：

1、n次方根、根式的概念

2、進行根式的運算

2.1.1指數(shù)與指數(shù)幕的運算(2)

一、教學目標：

1、理解分數(shù)指數(shù)塞的概念；

2、掌握根式與分數(shù)指數(shù)寨的互化；

3、掌握有理數(shù)指數(shù)塞的運算。

二、教學重點：分數(shù)指數(shù)塞的概念；

教學難點：有理數(shù)指數(shù)基的運算，無理數(shù)指數(shù)塞的意義。

二、教學過程：

1、復(fù)習回顧：

什么叫根式？根式運算性質(zhì)：(&)"=?、歷'=?。

2、引入：

_________________________12

(1)=a2=a5(a>0)yla12=J(a，)4=a3=a4(a>0)

當根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以表示為分數(shù)指數(shù)募。

—2￡

(2)Va2=a3(a>0)4b=b2(b>0)

當根式的被開方數(shù)的指數(shù)不能被根指數(shù)整除時，根式也可以表示為分數(shù)指數(shù)募。

3、分數(shù)指數(shù)塞：

⑴正數(shù)的正分數(shù)的指數(shù)塞的意義是：a"=值(a>0,m,n《N*,且n>l);

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-巴1

(2)正數(shù)的負分數(shù)的指數(shù)塞的意義是：a”(a>0,m,n^N*,且n>l);

疝

(3)0的正分數(shù)指數(shù)幕等于0,0的負分數(shù)指數(shù)騫沒有意義

4、有理數(shù)指數(shù)募的運算：

指數(shù)規(guī)定了分數(shù)指數(shù)幕的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整

數(shù)指數(shù)第的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)騫.

指數(shù)騫的運算性質(zhì)：

(l)aras=a'+s(a>0,r,s^Q)

(2)(a)'=a"(a>0,r,s^Q)

(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r￡Q)

5、例題講解：

⑴例2、P51求值：

2j_3

(1)?⑵25」(3)(J-⑷即4

⑵例3、Psi用分數(shù)指數(shù)寨的形式表示下列各式(其中a>0)

(3)例4、P52計算下列各式(式子中字母都是正數(shù)):

21115

(1)(2。？2)(一6a2〃)+(―3。6〃6)

J.-1

(2)(m4n0)8

⑷例5、P52計算下列各式：

(1)(V25-V125)-V25

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2

(2)LL(a>0)

6、無理數(shù)指暮：

(1)5欄中指數(shù)是無理數(shù)，近似值看表P53的結(jié)果？

①當V2的不足近似值從小于近的方向逼近正時，56的近似值從小于50的方向逼近

5餐

②當V2的過剩近似值從大于近的方向逼近后時，5?的近似值從大于5右的方向逼近

5^0

(2)無理數(shù)指數(shù)幕的定義：

一般地，無理數(shù)指數(shù)騫aa(a>0,a是無理數(shù))是一個確定的數(shù)。

注意：有理數(shù)指數(shù)騫的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)騫。

7、課堂練習：

課本P54練習2,3

四、歸納小結(jié)：

1、分數(shù)指數(shù)是根式的另一種寫法；

2、分數(shù)指數(shù)哥的運算性質(zhì)；

3、無理數(shù)指數(shù)塞的意義。

五、作業(yè)：

課本P54練習1,2,3;

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2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)

一、教學目標：

1、理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義；

2、根據(jù)圖象理解和掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；

3、體會數(shù)形結(jié)合的思想。

二、教學重點：指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)；

教學難點：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的歸納，概括及其應(yīng)用；

二、教學過程：

1、復(fù)習回顧：

根式，分數(shù)指數(shù)騫，根式的運算，分數(shù)指數(shù)幕的運算。

2、引入：

t

⑴在本章的開頭，問題⑵對于任意的1>0,。=(￡|'""都有意義，即碳14含量p是時

間t的函數(shù)。

(2)探究：問題(2)中的函數(shù)與問題(1)的函數(shù)y=(1+7.3%)x(xGN*,x<20)有什么共

同特征？

把P=[('而變成P=[(g)看]，得到這兩個關(guān)系式中的底數(shù)是一個正數(shù)，自變量

為指數(shù)，即都可以用丫=優(yōu)(。>0且〃#1)。

3、指數(shù)函數(shù)的定義：

(1)一般地，函數(shù)>=優(yōu)(〃>0,且叫做指數(shù)函數(shù)，其中X是自變量，函數(shù)的定義

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域為R.

當x>0H寸,"等于0

①若。=0,<

當xWO時，優(yōu)無意義

②若aV0,如y=(-2)',x=；在實數(shù)范圍內(nèi)的函數(shù)值不存在。

③若a=l,y=l*=l,,是一個常量，沒有研究的意義。

⑵我們在學習函數(shù)的單調(diào)性的時候，主要是根據(jù)函數(shù)的圖象，即用數(shù)形結(jié)合

的方法來研究。

①a>1的情況

畫出函數(shù)y=2'的圖象

-0.5

0.30.71.42.

124

51183

②研究OVaVI的情況

畫出函數(shù)y=的圖象

一一

111L0.0.5111-----------?-

0

2.81.40.70.3

421

3115

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▲

17

③思考：從圖中我們看出＞=2,與y=（；），的圖象有什么關(guān)系?

通過圖象看出y=2'與尸（非的圖象關(guān)于），軸對稱，實質(zhì)是y=2'上的點（yy）與

關(guān)*y加對‘稱。’0............-

討論：y=2,與尸（3的圖象關(guān)于），軸對稱，所以這兩個函數(shù)是偶函數(shù)，對嗎?

⑶探究:從圖上看＞=能（?＞D與k優(yōu)（OVaVl）兩函數(shù)圖象的特征?

17

根據(jù)函數(shù)的圖象研究函數(shù)的定義域、值域、特殊點、單調(diào)性、最大（?。┲?、

奇偶性.?

,',函數(shù)性質(zhì)'1'

a>10<a<1

函數(shù)的定義域為R

非奇非偶函數(shù)

函數(shù)的值域為（0,+8）

過定點（0,1）

增函數(shù)減函數(shù)

四、歸納小結(jié)：

1、指數(shù)函數(shù)的定義；

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2、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)；

2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（2）

一、教學目標：

1、掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；

2、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運用。

二、教學重點：掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；

教學難點：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運用。

三、教學過程：

1、復(fù)習回顧：

復(fù)習指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

2、例題講解：

⑴例6P56已知指數(shù)函數(shù)=（。＞0且awl）的圖象過點（3,兀），求

⑵例7P57比較下列各題中的個值的大小

⑴172?5與1.73

⑵0.8對與0.8心

⑶1.7°爾與0.931

⑶例8P57截止到1999年底，我們?nèi)丝趩?3億，如果今后，能將人口年平

均均增長率控制在1%,那么經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)最多為多少（精確到

億）？

⑷探究：P58探究：

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①如果人口年均增長率提高1個平分點，利用計算器分別計算20年后，33

年后的我國人口數(shù).

②如果年平均增長率保持在2%,利用計算器20202100年，每隔5年相應(yīng)的

人口數(shù).

③你看到我國人口數(shù)的增長呈現(xiàn)什么趨勢？

④如何看待計劃生育政策？

3、課堂練習：

課本P58練習1,2,3

四、課堂小結(jié)：

指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的運用。

五、作業(yè)：

課本P58練習1,2,3

2.2.1對數(shù)與對數(shù)運算(1)

一、教學目標：

1、了解對數(shù)、常用對數(shù)、自然對數(shù)的概念；

2、掌握對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化。

二、教學重點：對數(shù)概念的理解；

教學難點：對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化。

二、教學過程：

1、引入：

來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個人學習參考

精心整理

在2.1.2的例8中，關(guān)系y=13X1.01x,能算出任意年頭x的人口總數(shù)y。反過來，如

果問“哪一年的人口數(shù)可達到18億、20億？”如何解決？

2、講授新課：

⑴對數(shù)的概念：

上述問題中，y=18和y=20時，有!|=1.0匕m=1?！?，即已知底數(shù)和塞的值，求指

數(shù)，這就是我們要學習的對數(shù)問題。

一般地，如果廢=N（a>0,且aW1）,那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=log/,

其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做對數(shù)的真數(shù)。（指數(shù)與對數(shù)的底數(shù)相同）

18|?18

例如：百=1.01'寫成對數(shù)形式：x=log101B,稱為x是以1.01為底內(nèi)的對數(shù)。

16

42=16,寫成對數(shù)：2=log4,以4為底16的對數(shù)是2。

⑵常用對數(shù)與自然對數(shù)：

①以1。為底的對數(shù)叫常用對數(shù),logJ記為IgNo

②以e=2.71828…為底的對數(shù)叫自然對數(shù)，并把自然對數(shù)log,N記為InN.

⑶對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：

當a>0,且a#l時，a'=N<=>x=log?A，o

零和負數(shù)沒有對數(shù)（即N>0）o

因為a°=l,〃=a,所以有：logj=0,log/=lo

3、例題講解：

⑴例663將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式.

來源網(wǎng)絡(luò)，僅供個人學習參考

精心整理

(1)5'=625(2)2-6=^⑶W=5.73(4)log,-4

(5)lg0.01=-2(6)lnl0=2.303

⑵例2P63求下列各式中x的值

9

x_2

(1)logM~J(2)logv8=6(3)lgl00=x(4)-\ne-x

4、課堂練習：

課本P64練習1,2,3,4

四、歸納小結(jié)：

1、了解對數(shù)、常用對數(shù)、自然對數(shù)的概念；

2、掌握對數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化。

五、作業(yè)：

課本P64練習1,2,3,4

2.1.1對數(shù)與對數(shù)運算(2)

一、教學目標：

1、掌握對數(shù)的運算性質(zhì)、換底公式；

2、運用運算性質(zhì)解決問題。

二、教學重點：運用對數(shù)運算性質(zhì)解決問題；

教學難點：對數(shù)運算性質(zhì)的推導(dǎo)。

三、教學過程：

1、復(fù)習回