數(shù)形結(jié)合思想在初中函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

摘要：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想實(shí)施初中數(shù)學(xué)教學(xué)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象能力。以“一次函數(shù)”教學(xué)為例，探討數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的應(yīng)用路徑如下：借助數(shù)形結(jié)合，分析數(shù)量關(guān)系；感知坐標(biāo)模型，實(shí)現(xiàn)以數(shù)定形；分析模型信息，實(shí)現(xiàn)以形探數(shù)等。構(gòu)建初中函數(shù)教學(xué)中數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化思維，有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題的解決能力。關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；函數(shù)教學(xué)；一次函數(shù)；數(shù)形結(jié)合；以數(shù)定形；以形探數(shù)數(shù)與形可直觀反映同一問(wèn)題的兩方面屬性?！皵?shù)”指的是運(yùn)用代數(shù)的知識(shí)解決問(wèn)題，“形”指的是利用圖形的性質(zhì)研究數(shù)量關(guān)系，數(shù)形結(jié)合則是指利用數(shù)與形之間的聯(lián)動(dòng)、轉(zhuǎn)化快速解決問(wèn)題的一種思想。圖形與數(shù)字之間存在著緊密的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以形助數(shù)可幫助學(xué)生深刻理解抽象的公式概念，以數(shù)解形則可促進(jìn)學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題的有效解決。數(shù)形結(jié)合思想構(gòu)建起數(shù)學(xué)邏輯與外部世界的聯(lián)系橋梁，使其呈現(xiàn)出可視化的應(yīng)用狀態(tài)，容易為學(xué)生理解與接受。數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)與形的緊密結(jié)合和靈活運(yùn)用，能夠充分培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。下面，筆者以人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十九章“一次函數(shù)”教學(xué)為例，從教學(xué)實(shí)際出發(fā)，通過(guò)分析數(shù)量關(guān)系、建立坐標(biāo)模型及借助函數(shù)圖像解決實(shí)際問(wèn)題三個(gè)教學(xué)步驟，闡釋數(shù)形結(jié)合思想在初中函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用。一、借助數(shù)形結(jié)合，分析數(shù)量關(guān)系函數(shù)中數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，本質(zhì)上源于數(shù)值的規(guī)律性變化。一次函數(shù)作為發(fā)生在集合之間的一種嚴(yán)格的對(duì)應(yīng)關(guān)系，呈現(xiàn)出獨(dú)有的變化規(guī)律。用直觀的圖形幫助學(xué)生理解抽象的集合關(guān)系與變化規(guī)律是一種較好的學(xué)習(xí)方式［1］。一次函數(shù)中數(shù)形結(jié)合的初步應(yīng)用，則落實(shí)在一次函數(shù)的函數(shù)與自變量之間，即通過(guò)函數(shù)模型的構(gòu)建，進(jìn)行兩個(gè)變量間的數(shù)量關(guān)系分析，以此探尋函數(shù)的基本性質(zhì)。（一）以形助數(shù)，探索題目中的數(shù)學(xué)規(guī)律初中生在解題的過(guò)程中很難通過(guò)簡(jiǎn)單的文字描述，推理出題目中隱藏的數(shù)學(xué)規(guī)律。因此，教師需要啟迪學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)制表、繪圖的方式將抽象的數(shù)學(xué)元素、文字描述等轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)快速解題的目的。如圖1所示例題是初中函數(shù)教學(xué)中常見(jiàn)的一次函數(shù)問(wèn)題，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想，探索題干中各類(lèi)數(shù)學(xué)元素的規(guī)律。師：同學(xué)們仔細(xì)閱讀以上三道例題，觀察其中的數(shù)量關(guān)系，它們有什么共同特點(diǎn)？生1：在每一組數(shù)量關(guān)系的描述中，都存在著變化的數(shù)量和不變的數(shù)量。生2：因?yàn)橛胁蛔兊臄?shù)量存在，變化的數(shù)量之間存在著某種變化規(guī)律。師：你應(yīng)如何將這種變化規(guī)律描述或表達(dá)出來(lái)？生2：可以用列表的方法，進(jìn)行結(jié)果對(duì)比。教師以問(wèn)題為導(dǎo)向，為學(xué)生提供一個(gè)比較清晰的思考方向，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自我思考掌握正確的解題思路。學(xué)生會(huì)聯(lián)想到以圖表的方式探索題干中各類(lèi)數(shù)學(xué)元素的規(guī)律，借用圖表的直觀性感悟抽象的數(shù)、數(shù)量及數(shù)量關(guān)系。（二）實(shí)踐操作，掌握數(shù)形結(jié)合的方法學(xué)生提出列表的解題方法后，教師可引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)實(shí)踐探索。于是學(xué)生將例題1中給出的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為表格，運(yùn)用學(xué)過(guò)的s=vt計(jì)算公式，將路程s隨時(shí)間t而變化的一組組數(shù)據(jù)填寫(xiě)在表1當(dāng)中。師：請(qǐng)同學(xué)們觀察表格中的數(shù)據(jù)，說(shuō)一說(shuō)自己的發(fā)現(xiàn)。生1：表格中時(shí)間每增加1小時(shí)，路程便隨之增加60千米。生2：路程的變化與時(shí)間的變化相互關(guān)聯(lián)，形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，表格中數(shù)據(jù)變化有規(guī)律。師：這一變化規(guī)律在表格中的呈現(xiàn)是否存在局限性？學(xué)生再次觀察表格中的數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)思考后發(fā)現(xiàn)：盡管表格展示了時(shí)間與路程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，但存在局限性。表格無(wú)法列出所有的情況，在處理復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系問(wèn)題時(shí)，表格呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)結(jié)果不便觀察。相較于圖形而言，繪制表格的形式只適合簡(jiǎn)單函數(shù)的數(shù)量對(duì)應(yīng)關(guān)系，教師還需循序漸進(jìn)引導(dǎo)學(xué)生利用圖象呈現(xiàn)一次函數(shù)的變化規(guī)律。教師提出運(yùn)用直角坐標(biāo)系對(duì)例題1中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行更直觀的呈現(xiàn)，鼓勵(lì)學(xué)生建立直角坐標(biāo)系，將表格中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)點(diǎn)，如（1，60）、（2，120）、（3，180）……并繪制在直角坐標(biāo)系中。學(xué)生繪制出如圖2所示的圖象，通過(guò)圖象直觀呈現(xiàn)例題1中兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。這種方法不僅可以幫助學(xué)生直觀理解路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，還可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)圖形與計(jì)算公式之間關(guān)系的深入理解。（三）總結(jié)規(guī)律，幫助學(xué)生理解一次函數(shù)圖象以上教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師首先引導(dǎo)學(xué)生提取題目中的數(shù)量關(guān)系，形成比文字描述更加直觀的數(shù)據(jù)表格。學(xué)生通過(guò)觀察表格中的數(shù)據(jù)，只能較為籠統(tǒng)地感受簡(jiǎn)單函數(shù)的變化規(guī)律，于是教師引導(dǎo)學(xué)生借助直角坐標(biāo)系，將其轉(zhuǎn)化為圖象，通過(guò)坐標(biāo)系中點(diǎn)、線(xiàn)與數(shù)據(jù)的結(jié)合，既賦予圖象以數(shù)量關(guān)系，又將抽象數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為具象圖形。教師以數(shù)形結(jié)合深化學(xué)生的理解，引出最為基礎(chǔ)的正比例函數(shù)概念，并為后續(xù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)的一般形式、變式及實(shí)際應(yīng)用做好鋪墊。接下來(lái)，教師要求學(xué)生以同樣的方式繪制出例題2、例題3的函數(shù)圖象，觀察對(duì)比三組函數(shù)圖象，并總結(jié)出規(guī)律。生1：三組函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中均呈直線(xiàn)狀態(tài)。生2：圖象中的直線(xiàn)全部都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。生3：直線(xiàn)的傾斜程度與數(shù)量關(guān)系中恒定不變的系數(shù)有關(guān)。函數(shù)作為初中代數(shù)部分最為核心的教學(xué)內(nèi)容，對(duì)其基本概念的理解與實(shí)際應(yīng)用至關(guān)重要。初中函數(shù)教學(xué)中，教師通常從函數(shù)的傳統(tǒng)定義出發(fā)，將其描述為數(shù)量關(guān)系變化，而數(shù)形結(jié)合則將這一變化進(jìn)行具象呈現(xiàn)。學(xué)生通過(guò)數(shù)形結(jié)合的實(shí)踐操作，將抽象的數(shù)量關(guān)系具象表達(dá)為直觀的函數(shù)圖象，并從中總結(jié)規(guī)律：在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么就將x作為自變量，y則為x的函數(shù)，兩個(gè)變量與數(shù)量關(guān)系中的系數(shù)k形成的等量關(guān)系式y(tǒng)=kx（k為常數(shù)，k≠0），為正比例函數(shù)。教師將數(shù)學(xué)理論與實(shí)踐操作相結(jié)合進(jìn)行教學(xué)，不僅能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)概念具體化，還能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，使學(xué)生能夠深入地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。二、感知坐標(biāo)模型，以“數(shù)”定“形”函數(shù)及其模型的構(gòu)建，本質(zhì)上服務(wù)于實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決。數(shù)形結(jié)合思想下坐標(biāo)模型的建立，更加方便不同數(shù)量關(guān)系之間的對(duì)比，從而得出結(jié)果。在一次函數(shù)的概念感知過(guò)程中，需以“數(shù)”定“形”，通過(guò)數(shù)形關(guān)系的構(gòu)建，橫向類(lèi)比，得出結(jié)論。（一）感知數(shù)學(xué)模型，將求解過(guò)程簡(jiǎn)單化經(jīng)過(guò)上一階段的教學(xué)后，部分學(xué)生已經(jīng)能夠掌握利用制表、繪圖的方式提煉數(shù)量關(guān)系去解決實(shí)際問(wèn)題，但還不能熟練應(yīng)用。因此，教師需要通過(guò)課堂練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生充分感知各類(lèi)題目中的數(shù)學(xué)模型，逐漸熟悉、掌握并信賴(lài)數(shù)形結(jié)合思想，以至于在面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)能夠下意識(shí)地利用數(shù)形結(jié)合思想解答問(wèn)題［2］。教師在多媒體課件中出示圖3所示課堂練習(xí)，要求學(xué)生交流討論，探尋解題思路。學(xué)生經(jīng)過(guò)討論后得到以下兩種結(jié)果。一部分學(xué)生認(rèn)為應(yīng)該選擇A旅行社，因?yàn)锽旅行社要先交1000元，而A旅行社不需要交。例如，當(dāng)20人成團(tuán)時(shí)，A旅行社需要花費(fèi)1600元，B旅行社需要花費(fèi)2200元，因此選擇A旅行社。另一部分學(xué)生則認(rèn)為應(yīng)該選擇B旅行社，A旅行社只打八折，而B(niǎo)旅行社打六折。例如，當(dāng)70人成團(tuán)時(shí)，那么A旅行社需要花費(fèi)5600元，而B(niǎo)旅行社僅需要5200元，所以選擇B旅行社更合適。學(xué)生在這一問(wèn)題的探討上發(fā)生了觀點(diǎn)沖突，但都為自己的觀點(diǎn)舉出了相應(yīng)的佐證實(shí)例。在題目解析過(guò)程中，教師可以有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用表格對(duì)比解決上述問(wèn)題。學(xué)生在對(duì)前置教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行簡(jiǎn)單回憶后，將課堂練習(xí)題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換為表格的形式，整理結(jié)果如表2。學(xué)生觀察表格發(fā)現(xiàn)，在成團(tuán)人數(shù)到達(dá)50人之前，A旅社的費(fèi)用低于B旅社，而成團(tuán)人數(shù)超過(guò)50人的情況下，B旅社的費(fèi)用更低，實(shí)際問(wèn)題的解決需要以具體數(shù)值為依托來(lái)得出結(jié)論。但表格的數(shù)量表達(dá)方式計(jì)算量較大，學(xué)生想到了運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解決問(wèn)題。（二）建立坐標(biāo)模型，優(yōu)化解題方法學(xué)生指出，由于每個(gè)旅行社的計(jì)費(fèi)方式是固定的，而變化的因素是參團(tuán)學(xué)生的人數(shù)和最終的費(fèi)用，因此可以建立一個(gè)函數(shù)模型。在這個(gè)模型中，學(xué)生人數(shù)是自變量x，成團(tuán)費(fèi)用是因變量y。假設(shè)夏令營(yíng)的參團(tuán)人數(shù)為x，按A旅行社計(jì)費(fèi)條件，則應(yīng)付費(fèi)用y=80x，按B旅行社計(jì)費(fèi)條件，則應(yīng)付費(fèi)用y=60x+1000。接下來(lái)，學(xué)生將這兩個(gè)函數(shù)解析式繪制成如圖4所示圖象來(lái)進(jìn)行直觀比較。師：我們觀察函數(shù)圖象，可以發(fā)現(xiàn)兩條直線(xiàn)在坐標(biāo)（50，4000）處交匯，據(jù)此可以得出怎樣的結(jié)論？生：當(dāng)夏令營(yíng)成團(tuán)人數(shù)為50人時(shí)，選擇A、B兩家旅行社所需費(fèi)用一樣；當(dāng)成團(tuán)人數(shù)小于50人時(shí)，選擇A旅社費(fèi)用更少；當(dāng)成團(tuán)人數(shù)大于50人時(shí)，選擇B旅社費(fèi)用更少。師：同學(xué)們能否將兩個(gè)函數(shù)解析式進(jìn)行結(jié)合，同時(shí)考慮自變量x的取值范圍，將函數(shù)圖象進(jìn)一步簡(jiǎn)化？將兩個(gè)函數(shù)解析式進(jìn)行結(jié)合對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度。此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)A、B旅行社成團(tuán)費(fèi)用差值進(jìn)行分析，形成新的函數(shù)解析式，即y=y1-y2=80x-（60x+1000），最后簡(jiǎn)化為y=20x-1000，并據(jù)此繪制出函數(shù)圖象，如圖5所示。學(xué)生通過(guò)分析圖象可知，當(dāng)x=50時(shí)，y=0，則y1=y2，說(shuō)明A、B旅行社所需費(fèi)用相等；當(dāng)x＜50時(shí)，y＜0，即y1＜y2，表示A旅行社成團(tuán)費(fèi)用更低；當(dāng)x＞50時(shí)，y＞0，即y1＞y2，表示B旅行社成團(tuán)費(fèi)用更低。教師通過(guò)疊加問(wèn)題的形式，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)量關(guān)系，初步將其呈現(xiàn)在表格中，通過(guò)方法上的重復(fù)鞏固思維模式。隨后將表格進(jìn)一步抽象為解析式，并將兩個(gè)解析式的函數(shù)圖象繪于同一直角坐標(biāo)系中，方便對(duì)比，有所發(fā)現(xiàn)。學(xué)生通過(guò)觀察圖象，充分理解兩個(gè)圖象中交點(diǎn)的含義，能夠通過(guò)圖象分析出不同自變量下兩種方案結(jié)果的不同。最后，教師通過(guò)變式啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步深入理解函數(shù)圖象的變化與其實(shí)際意義之間的關(guān)聯(lián)，完成對(duì)數(shù)形結(jié)合的多層次理解。三、實(shí)現(xiàn)模型應(yīng)用，以“形”探“數(shù)”完整的數(shù)形結(jié)合思想在初中函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用還需完善逆向思維教學(xué)。學(xué)生不僅要掌握以“數(shù)”定“形”方法，還要掌握從函數(shù)圖象中提取數(shù)據(jù)信息的技巧，將具象圖形抽象為函數(shù)解析式，并通過(guò)運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題。（一）通過(guò)圖形提取數(shù)學(xué)信息除了利用圖形表達(dá)數(shù)量關(guān)系外，在圖形中探索數(shù)量元素，進(jìn)而整理數(shù)量關(guān)系也是數(shù)形結(jié)合思想的主要內(nèi)容之一［3］。為進(jìn)一步提升學(xué)生的抽象思維能力，教師在開(kāi)展一次函數(shù)教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，應(yīng)積極借助含有一次函數(shù)圖形的題目，引導(dǎo)學(xué)生在觀察圖形的過(guò)程中整理其中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而解答問(wèn)題［4］。教師出示圖6所示的圖象信息題，讓學(xué)生以“形”探“數(shù)”，通過(guò)圖形提取數(shù)學(xué)信息。學(xué)生通過(guò)觀察函數(shù)圖象，得到以下信息。生1：我認(rèn)為l1代表巡邏船B，l2代表可疑船只A。因?yàn)檠策壌珺是從黃巖島海岸出發(fā)，因此其初始距離y1為0，函數(shù)圖象應(yīng)當(dāng)經(jīng)過(guò)直角坐標(biāo)系原點(diǎn)。生2：從發(fā)現(xiàn)可疑船只A開(kāi)始計(jì)時(shí)，l1經(jīng)過(guò)直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，l2經(jīng)過(guò)直角坐標(biāo)系5海里這個(gè)點(diǎn)，所以?xún)纱畛跸嗑?海里。生3：通過(guò)l1、l2的斜率可以知道，巡邏船B的速度比可疑船只A的速度快。（二）圖象抽象為函數(shù)解析式，實(shí)現(xiàn)模型應(yīng)用數(shù)式與圖象均為信息的載體，如何實(shí)現(xiàn)信息的有效提取與轉(zhuǎn)化，是數(shù)形結(jié)合教學(xué)實(shí)踐中需要解決的核心問(wèn)題［5］。教師先讓學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象提取相應(yīng)信息，得出數(shù)量關(guān)系，而后進(jìn)行問(wèn)題拓展，引導(dǎo)學(xué)生利用已知信息解決實(shí)際問(wèn)題，將圖象抽象為函數(shù)解析式，實(shí)現(xiàn)模型應(yīng)用。師：那么在函數(shù)圖象呈現(xiàn)出怎樣的狀態(tài)時(shí)，巡邏船B能夠追上可疑船只A，同學(xué)們能否通過(guò)已知條件將這一時(shí)間點(diǎn)求出？生：當(dāng)直角坐標(biāo)系中l(wèi)1、l2相交時(shí)，說(shuō)明兩船在同一時(shí)間行駛至相同點(diǎn)，此時(shí)兩船相遇。師：那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？生：根據(jù)題目中給出的自變量與因變量關(guān)系，分別為A、B兩船的行駛路徑建立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)1和y2。根據(jù)函數(shù)圖象信息，可設(shè)y1=k1x+5，y2=k2x，選擇坐標(biāo)系相應(yīng)直線(xiàn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)代入，可求得k1、k2的值，得出y1、y2的函數(shù)解析式，而后將y1=y2作為等量關(guān)系條件，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程，進(jìn)而求出x的值，即為兩船相遇的時(shí)間。學(xué)生能夠理解兩個(gè)函數(shù)圖象在直角坐標(biāo)系中相交的實(shí)際含義，才能夠根據(jù)已知條件總結(jié)出y1=y2的等量關(guān)系，并據(jù)此求得兩船相遇的時(shí)間。數(shù)形結(jié)合中的逆向思維呈現(xiàn)為具象化的以“形”探“數(shù)”，培養(yǎng)學(xué)生抽象數(shù)學(xué)與直觀想象能力，并