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第一章數(shù)據(jù)處理1.2數(shù)值微分1.2.1用差商近似微商我們知道函數(shù)
在
的導(dǎo)數(shù)可以通過(guò)下述差商的極限得到
因此可以通過(guò)適當(dāng)選取h達(dá)到用差商
近似導(dǎo)數(shù)的目的,這就是利用差商代替導(dǎo)數(shù)的思想。第一章數(shù)據(jù)處理1.2數(shù)值微分中心差商
向前差商
向后差商
1.2數(shù)值微分對(duì)于二階導(dǎo)數(shù)則有:第一章數(shù)據(jù)處理第一章數(shù)據(jù)處理1.2數(shù)值微分1.2.2用插值函數(shù)計(jì)算微商方法思想:利用插值多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)作為導(dǎo)數(shù)的近似當(dāng),則有兩個(gè)節(jié)點(diǎn),可以取0,1當(dāng),有三個(gè)點(diǎn),可以取0,1,2(1)兩點(diǎn)求導(dǎo)公式(2)三點(diǎn)求導(dǎo)公式例題:
原始數(shù)據(jù)記錄10.330.250.1t/minCt/(g/L)求在t=1min,3min和5min時(shí)的反應(yīng)速度。第一章數(shù)據(jù)處理1.2數(shù)值微分解:當(dāng)只選取兩個(gè)點(diǎn)1和3當(dāng)課堂練習(xí)(三)x1.01.11.21.3f(x)0.250.22860.20660.1898用兩點(diǎn)求導(dǎo)公式和三點(diǎn)求導(dǎo)公式求出x為1.0及1.1處的導(dǎo)數(shù)值:1.3數(shù)值積分一、數(shù)值積分的必要性本章主要討論如下形式的一元函數(shù)積分在微積分里,按Newton-Leibniz公式求定積分要求被積函數(shù)?有解析表達(dá)式;?
的原函數(shù)
為初等函數(shù).
實(shí)際問(wèn)題1.
的原函數(shù)
不能用初等函數(shù)表示例如函數(shù):2.
有些被積函數(shù)其原函數(shù)雖然可以用初等函數(shù)表示成有限形式,但表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜,計(jì)算極不方便.例如函數(shù):并不復(fù)雜,但它的原函數(shù)卻十分復(fù)雜:3.
沒(méi)有解析表達(dá)式,只有數(shù)表形式:1423454.5688.5原來(lái)通過(guò)原函數(shù)來(lái)計(jì)算積分有它的局限性。那……怎么辦呢?呵呵…這就需要積分的數(shù)值方法來(lái)幫忙啦。二、數(shù)值積分的基本思想1、定積分的幾何意義3、求積公式的構(gòu)造
若簡(jiǎn)單選取區(qū)間端點(diǎn)或中點(diǎn)的函數(shù)值作為平均高度,則可得一點(diǎn)求積公式如下:左矩形公式:中矩形公式:右矩形公式:左矩形公式:中矩形公式:右矩形公式:
若取兩點(diǎn),并令,則可得梯形公式(兩點(diǎn)求積公式)則可得Simpson公式(三點(diǎn)求積公式)
若取三點(diǎn),并令1.3.1插值型求積公式一、定義在積分區(qū)間上,取個(gè)節(jié)點(diǎn)作
的次代數(shù)插值多項(xiàng)式(拉格朗日插值公式):則有其中,為插值余項(xiàng)。于是有:取Ak由節(jié)點(diǎn)決定,與
無(wú)關(guān)。稱(chēng)為插值型求積公式Newton-Cotes公式1、定義一、Cotes系數(shù)取節(jié)點(diǎn)為等距分布:由此構(gòu)造的插值型求積公式稱(chēng)為Newton-Cotes公式,此時(shí)求積系數(shù):令Cotes系數(shù)二、Newton-Cotes公式1、定義:記則求積公式變?yōu)榉Q(chēng)上式為n階閉型Newton-Cotes求積公式。注意:由式Cotes系數(shù)只與和有關(guān),
與
和積分區(qū)間無(wú)關(guān),且滿(mǎn)足:2、截?cái)嗾`差Newton-Cotes公式的誤差為:與x有關(guān)三、幾種常用的低階求積公式n=1:梯形公式代數(shù)精度=1n=2:Simpson公式代數(shù)精度=3n=4:
Cotes公式代數(shù)精度=5,這里1.3.2求積公式的代數(shù)精度定義:如果求積公式對(duì)于不高于m次的代數(shù)多項(xiàng)式都能精確成立,而對(duì)m+1次多項(xiàng)式不能精確成立,則稱(chēng)該求積公式具有m次代數(shù)精度。例1:對(duì)梯形公式
解:令
首先將代入左邊=b-a,右邊=b-a代入左邊=,右邊=
代入左邊=,右邊=所以梯形公式的代數(shù)精度為1。例2確定以下求積公式的待定系數(shù),使其代數(shù)精度盡可能高又由于3、代數(shù)精度定理:含有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)利用插值公式來(lái)確定的數(shù)值積分公式,它至少具有n次代數(shù)精度。
我們可以用余項(xiàng)的思想來(lái)理解此定理:令所以左邊=右邊,至少為n次。作為插值型求積公式,具有次代數(shù)精度,階Newton-Cotes公式至少而實(shí)際的代數(shù)精度是否可以進(jìn)一步提高呢?定理當(dāng)階數(shù)為偶數(shù)時(shí),Newton-Cotes公式至少具有次代數(shù)精度。證明:只需驗(yàn)證當(dāng)為偶數(shù)時(shí),Newton-Cotes公式對(duì)的余項(xiàng)為零。由于
,所以
即得引進(jìn)變換,因?yàn)闉榕紨?shù),故為整數(shù),于是有據(jù)此可斷定
,因?yàn)樯鲜霰环e函數(shù)是個(gè)奇函數(shù).1.3.3復(fù)化求積公式
高次插值有Runge現(xiàn)象,怎么辦?可采用分段低次插值來(lái)解決高階Newton-Cotes公式會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定。而低階Newton-Cotes公式有時(shí)又不能滿(mǎn)足精度要求,怎么辦?可將積分區(qū)間分成若干小區(qū)間,在每個(gè)小區(qū)間上用低階求積公式計(jì)算,然后求和。
復(fù)化梯形公式:在每個(gè)上用梯形公式:=
Tn
復(fù)化梯形公式積分法
復(fù)化Simpson公式:44444=
Sn
復(fù)化Simpson公式積分法
復(fù)化Cotes公式:=
Cn
收斂速度與誤差估計(jì):定義:若一個(gè)積分公式的誤差滿(mǎn)足,且
,則稱(chēng)該公式是p
階收斂的。~~~例:利用數(shù)據(jù)表01/83/81/25/83/47/811/422.265492.460002.876403.200003.506853.764703.938464計(jì)算積分解:這個(gè)問(wèn)題有明顯的答案取n=8用復(fù)化梯形公式=3.138988494取n=4
用辛普生公式=3.141592502運(yùn)算量基本相同1.3.4變步長(zhǎng)求積公式1)梯形公式的加速由前面的誤差分析得,復(fù)化梯形求積公式的截?cái)嗾`差為
類(lèi)似根據(jù)復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差為
兩式相比可得:即:
假設(shè)已知,,則2)辛普森公式的加速類(lèi)似梯形加速公式的導(dǎo)出,由的截?cái)嗾`差為
可得,如何證明??1.3.5龍貝格積分例:計(jì)算已知對(duì)于
=106
須將區(qū)間對(duì)分9次,得到T512=3.14159202考察由來(lái)計(jì)算I
效果是否好些?=3.141592502=S4一般有:Romberg序列
Romberg算法:<
?<
?<
?………………
T1=)0(0T
T8=)3(0T
T4=)2(0T
T2=)1(0T
S1=)0(1T
R1=)0(3T
S2=)1(1T
C1=)0(2T
C2=)1(2T
S4=)2(1T問(wèn)題的提出:已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求它們的近似函數(shù)關(guān)系y=f(x).需要解決兩個(gè)問(wèn)題:1.確定近似函數(shù)的類(lèi)型
根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布規(guī)律
根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景2.確定近似函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有誤差,不能要求1.4最小二乘曲線擬合
偏差有正有負(fù),值都較小且便于計(jì)算,可由偏差平方和最小為使所有偏差的絕對(duì)來(lái)確定近似函數(shù)f(x).最小二乘法原理:設(shè)有一列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分布在某條曲線上,通過(guò)偏差平方和最小求該曲線的方法稱(chēng)為最小二乘法,找出的函數(shù)關(guān)系稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)公式.,它們大體特別,當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布近似一條直線時(shí),問(wèn)題為確定a,b
令滿(mǎn)足:使得解此線性方程組即得a,b稱(chēng)為法方程組(注意其特點(diǎn))例1.為了測(cè)定刀具的磨損速度,每隔1小時(shí)測(cè)一次刀具的厚度,得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:找出一個(gè)能使上述數(shù)據(jù)大體適合的經(jīng)驗(yàn)公式.解:
通過(guò)在坐標(biāo)紙上描點(diǎn)可看出它們大致在一條直線上,列表計(jì)算:故可設(shè)經(jīng)驗(yàn)公式為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456701234567得法方程組解得故所求經(jīng)驗(yàn)公式為0027.0074924.8137.628140208.5717.0為衡量上述經(jīng)驗(yàn)公式的優(yōu)劣,計(jì)算各點(diǎn)偏差如下:稱(chēng)為均方誤差,對(duì)本題均方誤差它在一定程度上反映了經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的好壞.偏差平方和為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.000-0.125-0.0180.189-0.003-0.0210.0860.093-0.200例2.
在研究某單分子化學(xué)反應(yīng)速度時(shí),得到下列數(shù)據(jù):57.641.931.022.716.612.28.96.53691215182124123456
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