2025屆湖師范大學附屬中學高二數(shù)學第一學期期末綜合測試模擬試題含解析

2025屆湖師范大學附屬中學高二數(shù)學第一學期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知命題若直線與拋物線有且僅有一個公共點，則直線與拋物線相切，命題若，則方程表示橢圓.下列命題是真命題的是A. B.C. D.2．在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前9項和為（）A. B.13C.45 D.1173．已知圓C的方程為，點P在圓C上，O是坐標原點，則的最小值為（）A.3 B.C. D.4．已知函數(shù).設命題的定義域為，命題的值域為.若為真，為假，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.5．的展開式中，常數(shù)項為（）A. B.C. D.6．已知橢圓C：的兩個焦點分別為，，橢圓C上有一點P，則的周長為（）A.8 B.10C. D.127．橢圓的左、右焦點分別為、，上存在兩點、滿足，，則的離心率為（）A. B.C. D.8．設等差數(shù)列的前n項和為，且，則（）A.64 B.72C.80 D.1449．函數(shù)的圖像大致是（）A. B.C. D.10．函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，，則的解集為（）A. B.C. D.11．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點為，若，則雙曲線的離心率是（）A B.C. D.12．已知等差數(shù)列的公差為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．對某市“四城同創(chuàng)”活動中100名志愿者的年齡抽樣調(diào)查統(tǒng)計后得到頻率分布直方圖(如圖)，但是年齡組為的數(shù)據(jù)不慎丟失，則依據(jù)此圖可估計該市“四城同創(chuàng)”活動中志愿者年齡在的人數(shù)為________14．已知雙曲線-=1(a>0，b>0)與拋物線y2=8x有一個共同的焦點F，兩曲線的一個交點為P，若|FP|=5，則點F到雙曲線的漸近線的距離為_____.15．已知數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列，且對任意，都有且．若對任意恒成立，則________16．已知空間向量，且，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若有兩個零點，求實數(shù)a取值范圍.18．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓E：（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為.點P是橢圓上的一動點，且P在第一象限.記的面積為S，當時，.（1）求橢圓E的標準方程；（2）如圖，PF1，PF2的延長線分別交橢圓于點M，N，記和的面積分別為S1和S2.（i）求證：存在常數(shù)λ，使得成立；（ii）求S2-S1的最大值.19．（12分）已知，命題p：對任意，不等式恒成立；命題q：存在，使得不等式成立；（1）若p為真命題，求a的取值范圍；（2）若為真命題，求a的取值范圍20．（12分）已知關(guān)于x的不等式，.（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集為R，求k的取值范圍.21．（12分）某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖（1）求直方圖中的值；（2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)22．（10分）為深入學習貫徹總書記在黨史學習教育動員大會上的重要講話精神和中共中央有關(guān)決策部署，推動教育系統(tǒng)圍繞建黨百年重大主題，深化中學在校師生理想信念教育，引導師生學史明理、學史增信、學史崇德、學史力行，以昂揚的狀態(tài)迎接中國共產(chǎn)黨建黨周年，哈工大附中高二年級組織本年級同學開展了一場黨史知識競賽．為了解本次知識競賽的整體情況，隨機抽取了名學生的成績作為樣本進行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖（1）求直方圖中a的值，并求該次知識競賽成績的第50百分位數(shù)（精確到0.1）；（2）已知該樣本分數(shù)在的學生中，男生占，女生占現(xiàn)從該樣本分數(shù)在的學生中隨機抽出人，求至少有人是女生的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】若直線與拋物線的對稱軸平行，滿足條件，此時直線與拋物線相交，可判斷命題為假；當時，，命題為真，根據(jù)復合命題的真假關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】若直線與拋物線的對稱軸平行，直線與拋物線只有一個交點，直線與拋物不相切，可得命題是假命題，當時，，方程表示橢圓命題是真命題，則是真命題.故選:B.【點睛】本題考查復合命題真假的判斷，屬于基礎題.2、C【解析】根據(jù)給定的條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算作答【詳解】在等差數(shù)列中，因，所以.故選：C3、B【解析】化簡判斷圓心和半徑，利用圓的性質(zhì)判斷連接線段OC，交圓于點P時最小，再計算求值即得結(jié)果.【詳解】化簡得圓C的標準方程為，故圓心是，半徑，則連接線段OC，交圓于點P時最小，因為原點到圓心的距離，故此時.故選：B.4、C【解析】根據(jù)一元二次不等式恒成立和二次函數(shù)值域可求得為真命題時的取值范圍，根據(jù)和的真假性可知一真一假，分類討論可得結(jié)果.【詳解】若命題為真，則在上恒成立，，；若命題為真，則的值域包含，則或，；為真，為假，一真一假，若真假，則；若假真，則；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故選：C.5、A【解析】寫出展開式通項，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，代入通項計算即可得解.【詳解】的展開式通項為，令，可得，因此，展開式中常數(shù)項為.故選：A.6、B【解析】根據(jù)橢圓的定義可得：，所以的周長等于【詳解】因為，，所以，故的周長為故選：B7、A【解析】作點關(guān)于原點的對稱點，連接、、、，推導出、、三點共線，利用橢圓的定義可求得、、、，推導出，利用勾股定理可得出關(guān)于、的齊次等式，即可求得該橢圓的離心率.【詳解】作點關(guān)于原點的對稱點，連接、、、，則為、的中點，故四邊形為平行四邊形，故且，則，所以，，故、、三點共線，由橢圓定義，，有，所以，則，再由橢圓定義，有，因為，所以，在中，即，所以，離心率故選：A.8、B【解析】利用等差數(shù)列下標和性質(zhì)，求得，再用等差數(shù)列前項和公式即可求解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的下標和性質(zhì)，，解得，.故選：B.9、B【解析】由導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)的增長趨勢即可判斷.【詳解】當時，，∴在上單調(diào)遞增，當時，，∴在上單調(diào)遞減，排除A、D；又由指數(shù)函數(shù)增長趨勢，排除C.故選：B10、D【解析】分析可知函數(shù)在上為增函數(shù)，且有，將所求不等式變形為，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，則該函數(shù)在上為增函數(shù)，且，由可得，所以，，可得或，解得或.因此，不等式的解集為.故選：D.11、B【解析】根據(jù)得到三角形為等腰三角形，然后結(jié)合雙曲線的定義得到，設，進而作，得出，由此求出結(jié)果【詳解】因為，所以，即所以，由雙曲線的定義，知，設，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線的離心率為.故選：B12、C【解析】利用等差數(shù)列的定義和數(shù)列單調(diào)性的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，即，此時，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”；若等差數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則，即“”“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”.因此，“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先根據(jù)頻率分布直方圖計算出年齡在的頻率，從而可計算出年齡在的人數(shù).【詳解】年齡在的頻率為，所以年齡在的人數(shù)為.故答案為：.14、【解析】設點為，由拋物線定義知，，求出點P坐標代入雙曲線方程得到的關(guān)系式，求出雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題意得F(2，0)，因為點P在拋物線y2=8x上，|FP|=5，設點為，由拋物線定義知，，解得，不妨取P(3，2)，代入雙曲線-=1，得-=1，又因為a2+b2=4，解得a=1，b=，因為雙曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的漸近線為y=±x，由點到直線的距離公式可得，點F到雙曲線的漸近線的距離.故答案為：【點睛】本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質(zhì)；考查運算求解能力和知識遷移能力；靈活運用雙曲線和拋物線的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、常考題型.15、66【解析】根據(jù)恒成立和嚴格遞增可得，然后利用遞推求出，的值，不難發(fā)現(xiàn)在此兩項之間的所有項為連續(xù)正整數(shù)，于是可得，，然后可解.【詳解】因為，且數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列，所以或，若，則（矛盾），故由可得：，，，，，，，，，，，，，因，，，且數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列，，所以，，所以，所以故答案為：6616、【解析】根據(jù)空間向量共線的坐標表示可得出關(guān)于的等式，求出的值即可.【詳解】由已知可得，解得.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）極小值為，無極大值（2）【解析】(1)利用導數(shù)求出，分別令、，進而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求出極值；(2)利用導數(shù)討論、0時函數(shù)的單調(diào)性，進而得出函數(shù)的最小值小于0，解不等式即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，時，.令，解得，∵在上，，在上，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的極小值為，無極大值.【小問2詳解】，當時，，∴在上單調(diào)遞增，此時不可能有2個零點.當0時.令，得，∵在上，，在上，），∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的最小值為.∵有兩個零點，∴，即，∴.經(jīng)驗證，若，則，且，又，∴有兩個零點.綜上，a的取值范圍是.18、（1）（2）(i)存在常數(shù)，使得成立；(ii)的最大值為.【解析】(1)求點P的坐標，再利用面積和離心率，可以求出，然后就可以得到橢圓的標準方程；(2)設點的坐標和直線方程，聯(lián)立方程，解出的y坐標值與P的坐標之間的關(guān)系，求以焦距為底邊的三角形面積；利用均值定理當且僅當時取等號，求最大值.【小問1詳解】先求第一象限P點坐標：，所以P點的坐標為，所以，所以橢圓E的方程為【小問2詳解】設，易知直線和直線的坐標均不為零，因為，所以設直線的方程為，直線的方程為，由所以，因為，，所以所以同理由所以，因為，，所以所以，因為，，(i)所以所以存在常數(shù)，使得成立.(ii)，當且僅當，時取等號，所以的最大值為.19、（1）（2）【解析】（1）利用判別式可求的取值范圍，注意就是否為零分類討論；（2）根據(jù)題設可得真或真，后者可用參變分離求出的取值范圍，結(jié)合（1）可求的取值范圍.【小問1詳解】當p為真命題時，當時，不等式顯然成立；當時，解得，故a取值范圍為.【小問2詳解】當q為真命題時，問題等價于存在，使得不等式成立，即，∵，當且僅當x=1時等號成立，∴因為為真命題，所以真或真，故a的取值范圍是20、（1）（2）【解析】（1）因式分解后可求不等式的解集.（2）就分類討論后可得的取值范圍.【小問1詳解】時，原不等式即為，其解為.【小問2詳解】不等式的解集為R，當時，則有，解得，綜上，.21、（1）；（2）眾數(shù)是，中位數(shù)為【解析】（1）利用頻率之和為一可求得的值；（2）眾數(shù)為最高小矩形底邊中點的橫坐標；中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等可求得中位數(shù)試題解析：（1）由直方圖的性質(zhì)可得，∴（2）月平均用電量的眾數(shù)是，∵，月平均用電量的中位數(shù)在內(nèi)，設中位數(shù)為，由，可得，∴月平均用電量的中位數(shù)為224考點：頻率分布直方圖；中位數(shù)；眾數(shù)22、（1）（2）【解析