2025屆陜西省西安市碑林區(qū)教育局高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2025屆陜西省西安市碑林區(qū)教育局高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列{}滿足，則（）A. B.C. D.2．直線的傾斜角為（）A B.C. D.3．設(shè)函數(shù)，則（）A.1 B.5C. D.04．若直線：與：互相平行，則a的值是（）A. B.2C.或2 D.3或5．若兩個(gè)不同平面，的法向量分別為，，則（）A.，相交但不垂直 B.C. D.以上均不正確6．已知是雙曲線：的右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為，并交軸于點(diǎn)．若，則的離心率為（）A. B.C.2 D.7．已知圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則圓上的動(dòng)點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為（）A. B.C. D.8．若雙曲線的離心率為3，則的最小值為（）A. B.1C. D.29．已知且，則的值為（）A.3 B.4C.5 D.610．已知直線與直線平行，且直線在軸上的截距比在軸上的截距大，則直線的方程為（）A. B.C. D.11．若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，圖形中的圓是正方形的內(nèi)切圓，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H為對(duì)角線與圓的交點(diǎn)，若向正方形內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分區(qū)域內(nèi)的概率為_________14．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若，則_______________.15．與同一條直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是________16．已知離心率為的橢圓：和離心率為的雙曲線：有公共的焦點(diǎn)，其中為左焦點(diǎn)，P是與在第一象限的公共點(diǎn).線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在直三棱柱中，、、、分別為中點(diǎn)，.（1）求證：平面（2）求二面角的余弦值18．（12分）在中，，，請(qǐng)?jiān)購(gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，然后解答下列問(wèn)題.（1）求角的大?。唬?）求的面積.條件①：；條件②：.19．（12分）中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊為、、，.（1）求角的大??；（2）若、、成等差數(shù)列，且，求邊長(zhǎng)的值.20．（12分）某消費(fèi)者協(xié)會(huì)在3月15號(hào)舉行了以“攜手共治，暢享消費(fèi)”為主題的大型宣傳咨詢服務(wù)活動(dòng)，著力提升消費(fèi)者維權(quán)意識(shí)，組織方從參加活動(dòng)的群眾中隨機(jī)抽取120名群眾，按年齡將這120名群眾分成5組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求圖中m的值；（2）估算這120名群眾的年齡的中位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；（3）已知第1組群眾中男性有2人，組織方要從第1組中隨機(jī)抽取2名群眾組成維權(quán)志愿者服務(wù)隊(duì)，求恰有一名女性的概率.21．（12分）如圖，在幾何體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面，，且，是的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成的角的余弦值22．（10分）為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng).該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過(guò)1小時(shí)離開的概率分別為，；1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)離開的概率分別為，；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí).求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】先將通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)然后用裂項(xiàng)相消法求解即可.【詳解】因?yàn)椋?故選：B2、C【解析】設(shè)直線傾斜角為，則，再結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，∵，所以.故選：C3、B【解析】由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得，再由導(dǎo)數(shù)的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以原式等于.故選：B.4、A【解析】根據(jù)直線：與：互相平行，由求解.【詳解】因?yàn)橹本€：與：互相平行，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，直線：，：，互相平行；當(dāng)時(shí)，直線：，：，重合；所以，故選：A5、B【解析】由向量數(shù)量積為0可求.【詳解】∵，，∴，∴，∴，故選：B.6、A【解析】由條件建立a，b，c的關(guān)系，由此可求離心率的值.【詳解】設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴離心率，故選：A.7、A【解析】判斷圓與的位置并求出直線AB方程，再求圓心C到直線AB距離即可計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，，即圓與相交，直線AB方程為：，圓的圓心，半徑，點(diǎn)C到直線AB距離的距離，所以圓C上的動(dòng)點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為.故選：A8、D【解析】由雙曲線的離心率為3和，求得，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為3，即，即，又由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“”成立.故選：D【點(diǎn)睛】使用基本不等式解答問(wèn)題的策略：1、利用基本不等式求最值時(shí)，要注意三點(diǎn)：一是各項(xiàng)為正；二是尋求定值；三是考慮等號(hào)成立的條件；2、若多次使用基本不等式時(shí)，容易忽視等號(hào)的條件的一致性，導(dǎo)致錯(cuò)解；3、巧用“拆”“拼”“湊”：在使用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“正、定、等”的條件.9、C【解析】由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解【詳解】由已知，解得故選：C10、A【解析】分析可知直線不過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為，其中且，利用斜率關(guān)系可求得實(shí)數(shù)的值，化簡(jiǎn)可得直線的方程.【詳解】若直線過(guò)原點(diǎn)，則直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，其中且，則直線的斜率為，解得，所以，直線的方程為，即.故選：A.11、C【解析】利用函數(shù)在上單調(diào)遞減即可求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以若，，則；反之若，，則.所以若，則“”是“”的充要條件，故選：C.12、D【解析】求出直線直線過(guò)的定點(diǎn)A，由題意可知垂足是落在以O(shè)A為直徑的圓上，由此可利用的幾何意義求得答案,【詳解】直線，即，令，解得，即直線過(guò)定點(diǎn),由過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，可知：落在以O(shè)A為直徑的圓上，而以O(shè)A為直徑的圓為，如圖示：故可看作是圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，而圓過(guò)原點(diǎn)，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，但將原點(diǎn)坐標(biāo)代入直線中，不成立，即直線l不過(guò)原點(diǎn)，所以不可能和原點(diǎn)重合，故，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用幾何概型概率計(jì)算公式，計(jì)算得所求概率.【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則陰影部分的面積為，故若向正方形內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影部分區(qū)域內(nèi)概率為故答案為：.14、【解析】由可知公比，所以直接利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)，即可求出【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所以，化?jiǎn)得，因?yàn)榈缺葦?shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，所以，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題15、平行，相交或者異面【解析】由空間中兩直線的位置關(guān)系求解即可【詳解】由題意與同一條直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系可能是：平行，相交或者異面，故答案為：平行，相交或者異面，16、##4.5【解析】設(shè)為右焦點(diǎn)，半焦距為，，由題意，，則，所以，從而有，最后利用均值不等式即可求解.【詳解】解：設(shè)為右焦點(diǎn)，半焦距為，，由題意，，則，所以，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)直棱柱的特征，易知，再由、分別為的中點(diǎn)，根據(jù)中位線定理，可得，得到四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理證明.（2）取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．，再分別求得平面和平面的一個(gè)法向量，利用面面角的向量公式求解.【詳解】（1）證明：如圖所示：取中點(diǎn)，連接，易知，、分別為的中點(diǎn)，∴，∴故四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，平面（2）取的中點(diǎn)，連接，以為原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則∴，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，得，易知平面的一個(gè)法向量為，∴，∴二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理和面面角的向量求法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18、（1）條件選擇見解析，（2）【解析】（1）選①，利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍，即可求得角的值；選②，利用余弦定理可求出的值，并利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍，即可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的面積.【小問(wèn)1詳解】解：選①，，由余弦定理可得，，所以，.選②，，整理可得，，解得，由余弦定理可得，，所以，.【小問(wèn)2詳解】解：由三角形的面積公式可得.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用正弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）由三角形的面積公式可求得的值，由已知可得，利用余弦定理可得出關(guān)于的等式，即可求得邊的長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理可得，，則，可得，，，因此，.【小問(wèn)2詳解】解：，可得，因?yàn)?、、成等差?shù)列，則，由余弦定理可得，解得.20、（1）（2）（3）【解析】（1）由頻率分布直方圖中所有頻率和為1求出；（2）求出概率對(duì)應(yīng)的值即為中位數(shù)；（3）求出第一組中總?cè)藬?shù)，得女性人數(shù)，然后求得恰有一名女性的方法數(shù)和總的方法數(shù)后可得概率【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)轭l率分布直方圖的小矩形面積和為1，所以，解得，【小問(wèn)2詳解】解：前2組頻率和為，前3組頻率和為，所以中位數(shù)在第3組，設(shè)中位數(shù)為，則，；【小問(wèn)3詳解】解：第一組總?cè)藬?shù)為，男性人2人，則女性有4人，不妨記兩名男性為，四名女性為，則隨機(jī)抽取2名群眾的可能為，，，共15種方案，其中恰有一名女性的方法數(shù)，共8種，所以第1組中隨機(jī)抽取2名群眾組成維權(quán)志愿者服務(wù)隊(duì)，求恰有一名女性的概率為21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設(shè)為中點(diǎn)，連接，，證明四邊形為平行四邊形即可；（2）確定異面直線與所成的角為，計(jì)算三角形各邊長(zhǎng)，根據(jù)余弦定理計(jì)算得到答案.【小問(wèn)1詳解】設(shè)為中