內(nèi)蒙古呼和浩特市金山學(xué)校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

內(nèi)蒙古呼和浩特市金山學(xué)校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在中，，則邊的長(zhǎng)等于（）A. B.C. D.22．設(shè)是雙曲線與圓在第一象限的交點(diǎn)，，分別是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.3．某市統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站公布了2017年至2020年該市政府部門網(wǎng)站的每年的兩項(xiàng)訪問量，數(shù)據(jù)如下：年度項(xiàng)目2017年2018年2019年2020年獨(dú)立用戶訪問總量（單位：個(gè)）2512573924400060989網(wǎng)站總訪問量（單位：次）23435370348194783219288下列表述中錯(cuò)誤的是（）A.2017年至2018年，兩項(xiàng)訪問量都增長(zhǎng)幅度較大；B.2018年至2019年，兩項(xiàng)訪問量都有所回落；C.2019年至2020年，兩項(xiàng)訪問量都又有所增長(zhǎng)；D.從數(shù)據(jù)可以看出，該市政府部門網(wǎng)站的兩項(xiàng)訪問量都呈逐年增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)4．已知是空間的一個(gè)基底，若，，若，則（）A B.C.3 D.5．已知命題：；：若，則，則下列判斷正確的是（）A.為真，為真，為假 B.為真，為假，為真C.為假，為假，為假 D.為真，為假，為假6．已知圓：和點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是:（）A. B.C. D.7．公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，滿足，.則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為B.C.最大值為D.8．對(duì)任意實(shí)數(shù)，在以下命題中，正確的個(gè)數(shù)有（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A. B.C. D.9．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（）A. B.C. D.10．金剛石的成分為純碳，是自然界中天然存在的最堅(jiān)硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個(gè)等邊三角形組成的正八面體．若某金剛石的棱長(zhǎng)為2，則它的體積為（）A. B.C. D.11．若數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的前2021項(xiàng)的乘積是（）A. B.C.2 D.112．雙曲線的離心率為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則雙曲線的焦距等于A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則甲、乙兩人下成和棋的概率為___________.14．已知向量，，，則___________.15．已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以下說法正確的是______①過點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為8②橢圓C上存在點(diǎn)P，使得③橢圓C的離心率為④P為橢圓上一點(diǎn)，Q為圓上一點(diǎn)，則線段PQ的最大長(zhǎng)度為316．橢圓的右焦點(diǎn)是，兩點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，若△是直角三角形，則橢圓的離心率是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA?PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn)．求證：（1）EF//平面PCD；（2）平面PAB?平面PCD18．（12分）已知橢圓的離心率為，短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上任意兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求證：原點(diǎn)到直線的距離為定值，并求出該定值19．（12分）如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)是圓與x軸的交點(diǎn)，橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)等于圓O的直徑（1）求橢圓C的方程；（2）F為橢圓C的右焦點(diǎn)，A為橢圓C的右頂點(diǎn)，點(diǎn)B在線段FA上，直線BD，BE與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)分別是D，E，直線BD與直線BE的傾斜角互補(bǔ)，直線BD與圓O相切，設(shè)直線BD的斜率為．當(dāng)時(shí)，求k20．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）當(dāng)為何值時(shí)，最大，并求的最大值.21．（12分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)（1）求的定義域和導(dǎo)函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若對(duì)，都有成立，且存在，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍22．（10分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求在區(qū)間上的最值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由余弦定理求解【詳解】由余弦定理，得，即，解得（負(fù)值舍去）故選：A2、B【解析】先由雙曲線定義與題中條件得到，，求出，，再由題意得到，即可根據(jù)勾股定理求出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)雙曲線定義：，，∴，∴，，，∴是圓的直徑，∴，中，，得故選【點(diǎn)睛】本題主要考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于常考題型.3、D【解析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，結(jié)合各選項(xiàng)的描述判斷正誤即可.【詳解】A：2017年至2018年，兩項(xiàng)訪問量分別增長(zhǎng)、，顯然增長(zhǎng)幅度相較于后兩年是最大的，正確；B：2018年至2019年，兩項(xiàng)訪問量相較于2017年至2018年都有回落，正確；C：2019年至2020年，兩項(xiàng)訪問量分別增長(zhǎng)、，正確；D：由B分析知，該市政府部門網(wǎng)站的兩項(xiàng)訪問量在2018年至2019年有回落，而不是逐年增長(zhǎng)態(tài)勢(shì)，錯(cuò)誤.故選：D.4、C【解析】由，可得存在實(shí)數(shù)，使，然后將代入化簡(jiǎn)可求得結(jié)果【詳解】，，因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C5、D【解析】先判斷出命題，的真假，即可判斷.【詳解】因?yàn)槌闪?，所以命題為真，由可得或，所以命題為假命題，所以為真，為假，為假.故選：D.6、B【解析】先由在線段的垂直平分線上得出，再由題意得出，進(jìn)而由橢圓定義可求出點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】如圖，因?yàn)樵诰€段的垂直平分線上，所以，又點(diǎn)在圓上，所以，因此，點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上.其中，，則.從而點(diǎn)的軌跡方程是.故選：B.7、A【解析】根據(jù)已知條件，判斷出，即可判斷選項(xiàng)D，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，判斷，，由此判斷出選項(xiàng)A,B,C.【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列滿足條件，，，若，則，則，，則，這與已知條件矛盾，所以不符合題意，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，所以，，，則，，數(shù)列前2021項(xiàng)都大于1，從第2022項(xiàng)開始都小于1，因此是數(shù)列中的最大值，故選項(xiàng)A正確由等比數(shù)列的性質(zhì)，，故選項(xiàng)B不正確；而，由以上分析可知其無最大值，故C錯(cuò)誤；故選：A8、B【解析】直接利用不等式的基本性質(zhì)判斷.【詳解】①因?yàn)?，則，根據(jù)不等式性質(zhì)得，故正確；②當(dāng)時(shí)，，而，故錯(cuò)誤；③因?yàn)?，所以，即，故正確；④當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；故選：B9、A【解析】利用空間向量加法法則直接求解【詳解】連接BD，如圖，則故選：A10、C【解析】由幾何關(guān)系先求出一個(gè)正四面體的高，再結(jié)合錐體體積公式即可求解正八面體的體積.【詳解】如圖，設(shè)底面中心為，連接，由幾何關(guān)系知，，則正八面體體積為.故選：C11、C【解析】先由數(shù)列滿足，，計(jì)算出前5項(xiàng)，可得，且，再利用周期性即可得到答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以，同理可得，…所以數(shù)列每四項(xiàng)重復(fù)出現(xiàn)，即，且，而，所以該數(shù)列的前2021項(xiàng)的乘積是.故選：C.12、D【解析】不妨設(shè)雙曲線方程為，則，即設(shè)焦點(diǎn)為，漸近線方程為則又解得．則焦距為．選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】直接根據(jù)概率和為1計(jì)算得到答案.【詳解】.故答案為：.14、2【解析】由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，，，所以?故答案為：2.15、①②④【解析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)結(jié)合的周長(zhǎng)計(jì)算可判斷①；根據(jù)，可通過以為直徑作圓，是否與橢圓相交判斷②；求出橢圓的離心率可判斷③；計(jì)算橢圓上的點(diǎn)到圓心的距離的最大值，即可判斷④.【詳解】對(duì)于①，由題意知：的周長(zhǎng)等于，故①正確；對(duì)于②，，故以為直徑作圓，與橢圓相交，交點(diǎn)即設(shè)為P，故橢圓C上存在點(diǎn)P，使得，故②正確；對(duì)于③，，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，坐標(biāo)為，則，故，因?yàn)椋缘淖畲笾禐?，故線段PQ的最大長(zhǎng)度為2+1=3，故④正確，故答案為：①②④.16、【解析】由題設(shè)易知，應(yīng)用斜率的兩點(diǎn)式及橢圓參數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而求橢圓離心率.【詳解】由題設(shè)，，，，又△是直角三角形，顯然，所以，可得，則，解得，又，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）取BC中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，推導(dǎo)出，，從而平面平面，由此能得出結(jié)論；（2）推導(dǎo)出，從而平面PAD，即得，結(jié)合得出平面PCD，由此能證明結(jié)論成立.【詳解】（1）取BC中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，∵E，F(xiàn)分別是AD，PB的中點(diǎn)，∴，，∴面，面，∵，∴平面平面，∵平面，∴平面.（2）因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAD因?yàn)槠矫鍼AD，所以.又因?yàn)?，，所以平面PCD因?yàn)槠矫鍼AB，所以平面平面PCD【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直、線面平行、面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.18、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）根據(jù)題意得到，，得到橢圓方程.（2）考慮直線斜率存在和不存在兩種情況，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，將題目轉(zhuǎn)化為，化簡(jiǎn)得到，代入計(jì)算得到答案.【小問1詳解】橢圓的離心率為，短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，故，，故橢圓方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，，則，即，，以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，故，即，即，化簡(jiǎn)整理得到：，原點(diǎn)到直線的距離為.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，為等腰直角三角形，設(shè)，則，解得，即直線方程為，到原點(diǎn)的距離為.綜上所述：原點(diǎn)到直線的距離為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程，橢圓中的定值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將圓過原點(diǎn)轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵.19、（1）；（2）-1【解析】（1）由題設(shè)可得，求出參數(shù)b，即可寫出橢圓C的方程；（2）延長(zhǎng)線段DB交橢圓C于點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性設(shè)B，為，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理并結(jié)合已知條件可得，直線與圓相切可得，進(jìn)而求參數(shù)t，即可求直線BD的斜率.【小問1詳解】因?yàn)閳A與x軸的交點(diǎn)分別為，，所以橢圓C的焦點(diǎn)分別為，，∴，根據(jù)條件得，∴，故橢圓C的方程為【小問2詳解】延長(zhǎng)線段DB交橢圓C于點(diǎn)，因直線BD與直線BE的傾斜角互補(bǔ)，根據(jù)對(duì)稱性得由條件可設(shè)B的坐標(biāo)為，設(shè)D，的縱坐標(biāo)分別為，，直線的方程為，由于，即，所以由得：∴，∴①，②，由①得：，代入②得，∴∵直線與圓相切，∴，即∴，解得，又，∴，故，即直線BD斜率【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將已知線段的長(zhǎng)度關(guān)系轉(zhuǎn)化為D，的縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，設(shè)直線的含參方程，聯(lián)立橢圓方程及其與圓的相切求參數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求參數(shù)即可.20、（1）（2）n為6或7；126【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（2）由，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?所以，解得，所以；【小問2詳解】，當(dāng)或7時(shí)，最大，的最大值是126.21、（1），（2）在單減，也單減，無增區(qū)間（3）【解析】（1）根據(jù)分母不等于0，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零即可求得函數(shù)的定義域，根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及商的導(dǎo)數(shù)公式即可求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可得出答案；（3）若對(duì)，都有成立，即，即，令，，只要即可，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可求出的范圍，，，求出函數(shù)的值域，根據(jù)存在，使成立，則0在函數(shù)的值域中，從而可得出的范圍，即可得解.【小問1詳解】解：的定義域?yàn)?，；【小?詳解】解：當(dāng)時(shí)，，恒成立，所以在和上遞減；【小問3詳解】解：若對(duì)，都有成立，即，即，令，，則，對(duì)于函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故恒成立，在為減函數(shù)，所以，所以，由（1）知，，所以，記，令，，則原式的值域?yàn)椋驗(yàn)榇嬖?，使成立，所以，，所以，綜上，【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間