2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十三章全等三角形練素養(yǎng)3.全等三角形的常見(jiàn)模型習(xí)題課件新版冀教版

冀教版八年級(jí)上第十三章全等三角形集訓(xùn)課堂練素養(yǎng)3.全等三角形的常見(jiàn)模型解決圖形變換問(wèn)題需要抓住三個(gè)特點(diǎn)：1.變化前的結(jié)論及說(shuō)

理過(guò)程對(duì)變化后的結(jié)論起到重要的作用.2.在圖形變化前

后，明確哪些關(guān)系發(fā)生變化，哪些關(guān)系沒(méi)有發(fā)生變化，變化

前的等角、等線段在變化后是否還存在.3.幾種變化圖形之

間，說(shuō)理思路存在內(nèi)在聯(lián)系，變化后的說(shuō)理思路可模仿與借

鑒變化前的結(jié)論與過(guò)程.變化后的結(jié)論有時(shí)發(fā)生變化，有時(shí)

不發(fā)生變化.模型1平移模型1.

[2024·北師大附中期中]如圖，點(diǎn)

B

，

C

，

E

，

F

在同一條

直線上，

AB

∥

DE

，∠

A

＝∠

D

，

BE

＝

CF

.

求證：

AC

＝

DF

.

【證明】∵

AB

∥

DE

，∴∠

B

＝∠

DEF

.

又∵

BE

＝

CF

，∴

BC

＝

EF

.

又∵∠

A

＝∠

D

，∴△

ABC

≌△

DEF

(AAS)，∴

AC

＝

DF

.

1234567模型2對(duì)稱模型2.

如圖，

CD

⊥

AB

，

BE

⊥

AC

，垂足分別為

D

，

E

，

BE

，

CD

相交于點(diǎn)

F

，連接

AF

，

BF

＝

CF

.

(1)求證：∠

BAF

＝∠

CAF

；

1234567(2)在不添加輔助線的條件下，寫出圖中所有的全等三

角形.

1234567模型3共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型3.

如圖，已知

AD

＝

AB

，

AC

＝

AE

，∠

DAB

＝∠

CAE

，

連接

DC

，

BE

.

(1)求證：△

BAE

≌△

DAC

；【證明】∵∠

DAB

＝∠

CAE

，∴∠

DAB

＋∠

BAC

＝∠

CAE

＋∠

BAC

，∴∠

DAC

＝∠

BAE

.

又∵

AE

＝

AC

，

AB

＝

AD

.

∴△

BAE

≌△

DAC

(SAS).1234567(2)若∠

CAD

＝143°，∠

D

＝15°，則∠

E

的度數(shù)

為

?.【點(diǎn)撥】由(1)知△

BAE

≌△

DAC

，∴∠

E

＝∠

C

.

∵∠

CAD

＝143°，∠

D

＝15°，∴∠

C

＝180°－(∠

CAD

＋∠

D

)＝22°，∴∠

E

＝22°.22°

1234567模型4

不共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型4.

如圖，

A

，

F

，

C

，

D

四個(gè)點(diǎn)在同一條直線上，

AB

⊥

BC

，

DE

⊥

EF

，

AC

＝

DF

，

AB

＝

DE

.

求證：

BF

∥

CE

.

1234567模型5

三垂直模型5.

[2024·武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考]如圖①，在△

ABC

中，∠

BAC

＝90°，

AB

＝

AC

，

AE

是過(guò)點(diǎn)

A

的一條直線，且點(diǎn)

B

，

C

在

AE

的異側(cè)，

BD

⊥

AE

于點(diǎn)

D

，

CE

⊥

AE

于點(diǎn)

E

.

(1)求證：

BD

＝

DE

＋

CE

.

1234567【證明】∵

BD

⊥

AE

于點(diǎn)

D

，

CE

⊥

AE

于點(diǎn)

E

，∴∠

ADB

＝∠

AEC

＝90°.∴∠

ABD

＋∠

BAD

＝90°.∵∠

BAC

＝90°，∴∠

CAE

＋∠

BAD

＝90°.∴∠

ABD

＝∠

CAE

.

又∵

AB

＝

CA

，∴△

ABD

≌△

CAE

(AAS).∴

BD

＝

AE

，

AD

＝

CE

.

∵

AE

＝

DE

＋

AD

，∴

BD

＝

DE

＋

CE

.

1234567(2)若直線

AE

繞

A

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖②的位置(

BD

＜

CE

)，其

余條件不變，則

BD

與

DE

，

CE

的關(guān)系如何？請(qǐng)予以

證明.【解】

BD

＝

DE

－

CE

.

證明：∵

BD

⊥

AE

于點(diǎn)

D

，

CE

⊥

AE

于點(diǎn)

E

，∴∠

ADB

＝∠

AEC

＝90°.∴∠

ABD

＋∠

BAD

＝90°.∵∠

BAC

＝90°，∴∠

CAE

＋∠

BAD

＝90°.∴∠

ABD

＝∠

CAE

.

又∵

AB

＝

CA

，∴△

ABD

≌△

CAE

(AAS).∴

BD

＝

AE

，

AD

＝

CE

.

∴

BD

＝

AE

＝

DE

－

AD

＝

DE

－

CE

.

1234567(3)若直線

AE

繞

A

點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖③的位置(

BD

＞

CE

)，其

余條件不變，則

BD

與

DE

，

CE

的關(guān)系怎樣？請(qǐng)直接

寫出結(jié)果，不需證明.【解】

BD

＝

DE

－

CE

.

1234567(4)根據(jù)以上的討論，請(qǐng)用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言描述

BD

與

DE

，

CE

的關(guān)系.【解】歸納(1)(2)(3)可知，結(jié)論描述為：當(dāng)點(diǎn)

B

，

C

在

直線

AE

同側(cè)時(shí)，

BD

＝

DE

－

CE

.

當(dāng)點(diǎn)

B

，

C

在直線

AE

異側(cè)時(shí)，若

BD

＞

CE

，則

BD

＝

DE

＋

CE

；若

BD

＜

CE

，則

BD

＝

CE

－

DE

.

1234567模型6手拉手模型6.

如圖，∠

BAE

＝∠

CAF

＝90°，

EC

，

BF

相交于點(diǎn)

M

，

AE

＝

AB

，

AC

＝

AF

.

(1)求證：

EC

＝

BF

，

EC

⊥

BF

.

1234567【證明】∵∠

BAE

＝∠

CAF

＝90°，

∴∠

CAE

＝∠

BAF

.

又∵

AE

＝

AB

，

AC

＝

AF

，∴△

CAE

≌△

FAB

(SAS)，∴

EC

＝

BF

.

設(shè)

AC

與

BF

交于點(diǎn)

O

，∵△

CAE

≌△

FAB

，∴∠

AFO

＝∠

OCM

，又∵∠

AOF

＝∠

COM

，∠

CAF

＝90°，∴∠

OMC

＝∠

CAF

＝90°，∴

EC

⊥

BF

.

1234567(2)若∠

BAE

＝∠

CAF

＝

m

°(

m

≠90)，其他條件不變，

則(1)中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.1234567

1234567模型7半角模型7.

【問(wèn)題背景】如圖①，在四邊形

ABCD

中，

AB

＝

AD

，

∠

BAD

＝120°，∠

B

＝∠

ADC

＝90°，

E

，

F

分別是

BC

，

CD

上的點(diǎn)，且∠

EAF

＝60°，試探究圖中線段

BE

，

EF

，

FD

之間的數(shù)量關(guān)系.(1)小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是延長(zhǎng)

FD

到點(diǎn)

G

，使

DG

＝

BE

，連接

AG

，先證

明△

ABE

≌△

ADG

，再證明△

AEF

≌

△

AGF

，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是

?

?.EF＝

BE

＋

DF

1234567

∴△

ABE

≌△

ADG

(SAS)，∴

AE

＝

AG

，∠

BAE

＝∠

DAG

.

∵∠

EAF

＝60°，∠

BAD

＝120°，∴∠

BAE

＋∠

DAF

＝60°，∴∠

DAG

＋∠

DAF

＝60°，【點(diǎn)撥】在△

ABE

和△

ADG

中，1234567∴∠

GAF

＝60°，∴∠

EAF

＝∠

GAF

.

∴△

AEF

≌△

AGF

(SAS)

，∴

EF

＝

FG

.

∵

FG

＝

DG

＋

DF

＝

BE

＋

DF

，∴

EF

＝

BE

＋

DF

.

1234567

1234567

1234567

1234567(3)如圖③，四邊形

ABCD

是邊長(zhǎng)為5的正方形，∠

EBF

＝

45°，直接寫出△

DEF

的周長(zhǎng)為

?.10

【學(xué)以致用】1234567如圖②，延長(zhǎng)

DC

到點(diǎn)

G

，使

CG

＝

AE

，連接

BG

.

∴△

AEB

≌△

CGB

(SAS)，∴

BE

＝

BG

，∠

ABE

＝∠

CBG

.

∵∠

EBF

＝45°，∠

ABC

＝90°，【點(diǎn)撥】1234567∴∠

ABE

＋∠

CBF

＝45°，∴∠

GBF

＝∠

CBF

＋

∠

CBG

＝45°.∴∠

EBF