河南省南陽市六校2024-2025學年高一上學期10月期中考試數學試題（解析版）

2024—2025學年（上）南陽六校高一年級期中考試數學考生注意：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，把任意改為存在，把結論否定.“，”的否定為“，”.故選：D2.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解指數不等式，得到，由補集和交集的概念得到答案.，故，解得，故，故選：B3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據不等式的解法，求得，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.】由不等式，可得，即，解得，因為是的充分不必要條件，即是的充分不必要條件.故選：A.4.已知冪函數的圖象經過點，則（）A.為偶函數，且在上單調遞減 B.為偶函數，且在上單調遞增C.為奇函數，且在上單調遞減 D.為奇函數，且在上單調遞增【答案】C【解析】【分析】根據已知條件，結合冪函數的定義和性質即可求解.設冪函數，又因為冪函數的圖象經過點，所以，解得,所以，定義域為，定義域關于原點對稱，且，所以fx為奇函數，又因為，所以fx在0,+∞上單調遞減，故C故選：C.5.設，且，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由特殊值代入可判斷ABD，由不等式的性質可判斷C.】A選項，當時，，故A錯誤；B選項，當，時，滿足，此時，，，故B錯誤；C選項，由，可得，所以，故C正確；D選項，當時，，故D錯誤.故選：C.6.（）A.8 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將根式化為分數指數冪，結合對數運算法則進行計算.故選：A7.若函數在區(qū)間上的值域為，則的最大值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】分別求出fx值域為時的定義域，從而可求解.由函數，所以當x=1時，fx有最小值，當時，即，解得或，又因為時，fx單調遞減，時，fx單調遞增，所以的最大值為，的最小值為，所以的最大值為.故選：D.8.已知定義在上的偶函數在上單調遞減，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據函數fx為偶函數且在上單調遞減，則，且fx在上單調遞增，然后對分情況討論，從而可求解.由函數fx為偶函數且在上單調遞減，且，所以，且fx在上單調遞增，當時，，則，所以；當時，，則，所以；當時，，則，所以；當時，，則，所以；當x>2時，，則，所以.綜上所述：不等式的解集為.故B正確.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列關系式正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用元素與集合的關系以及集合與集合的關系判斷即可．對于A，空集中不含有任何元素，故A正確；對于B，空集是非空集合的子集，可知，故B正確；對于C，應該用“”符號，即，故C錯誤；對于D，是集合中的元素，即，故D正確.故選：ABD.10.下列各式的值等于6的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】A選項，利用指數運算和根式運算法則得到答案；BCD選項，利用對數運算法則計算出答案.A選項，，A錯誤；B選項，，B正確；C選項，，C正確；D選項，，D錯誤.故選：BC11.已知正實數a，b滿足，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由，可得，然后再利用基本不等式逐項判斷即可對AB判斷求解；由由，可得，再利用單位“”即可對C判斷求解；由，再結合，即可對D判斷求解.A：由，可得，因為，所以，即，得，當時取等號，故A正確；B：由，當時取等號，又因為，當時取等號，所以，故B錯誤；C：由，可得，所以，當，即時取等號，故C正確；D：，因為，所以，所以，當時取等號，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則______.【答案】【解析】【分析】利用對數的運算法則及換底公式可得，再求出即可.因為，即，所以.故答案為：.13.已知函數是上的減函數，則a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據函數在上是減函數特征，兩段函數各自為減函數，且左段函數的最小值大于等于右段函數的最大值，解不等式組即可求得的取值范圍．因為函數是上的減函數，所以，解得，即a的取值范圍是.故答案為：.14.已知函數在上具有單調性，且，則_______.【答案】【解析】【分析】令，則，中，令，求出，從而得到，從而求出答案.令，則，中，令得，故，顯然單調遞增，且，故，所以，.故答案：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.計算（1）；（2）已知，比較和的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據指數、對數的運算進行化簡即可求解.（2）利用不等式性質即可求解.【小問1】原式.【小問2】由，所以，所以，因為，所以，又因為，所以，所以.16.已知集合，.（1）若，求實數的取值范圍；（2）若，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，分別對進行討論再結合，從而可求解.（2）分別對進行討論再結合，從而可求解.【小問1】由題意可得，當時，，此時，不符合題意；當a>0時，，由，可得；當時，，由，可得；綜上所述：的取值范圍為.【小問2】當時，，此時，故符合題意；當a>0時，，由，可得，解得；當時，，由，可得，解得；綜上所述：的取值范圍為.17.（1）若關于x的不等式的解集為，求實數a，b的值；（2）討論關于x的不等式的解集.【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】【分析】（1）且為方程的兩個根，由韋達定理得到方程，求出答案；（2）因式分解，再分，，，，五種情況，求出不等式解集.（1）由題意得且為方程兩個根，故，，解得；（2），若，則，解得，若，解得，若，則，解得，若，此時，解得或，若，此時，解得或，綜上，當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為或.18.數字經濟是以數據資源為關鍵要素，以現代信息網絡為主要載體，通過信息通信技術的融合應用推動全要素數字化轉型的新經濟形態(tài)，在技術層面，包括大數據、云計算、物聯網、區(qū)塊鏈、人工智能、5G通信等新興技術；在應用層面，包括“新零售”、“新制造”、工業(yè)互聯網、元宇宙、無人駕駛等.現有一人工智能企業(yè)生產制造人形機器人，每月的成本t（單位：萬元）由兩部分構成：①固定成本：1000萬元；②材料成本：萬元，x為每月生產人形機器人的個數.（1）該企業(yè)每月的產量為多少時，平均每個人形機器人的成本最低，最低為多少萬元？（2）若每個人形機器人的售價為萬元，假設生產出來的每個人形機器人都能夠售出，則該企業(yè)應如何制訂生產計劃，才能確保每月的利潤不低于400萬元？附：利潤＝售價×銷量－成本.【答案】（1）每月的產量為100個時，平均每個人形機器人的成本最低，最低為30萬元（2）每月生產不小于70個人形機器人，才能確保每月的利潤不低于400萬元【解析】【分析】（1）根據題意，可得平均每個人形機器人的成本，再利用基本不等式求解即可；（2）由題意可知月利潤，解一元二次不等式可得結果.【小問1】設平均每個人形機器人的成本為萬元，根據題意有，當且僅當，即時取等號.所以該企業(yè)每月的產量為100個時，平均每個人形機器人的成本最低，最低為30萬元.【小問2】設月利潤為萬元，則有，由題知，整理得，解得.所以該企業(yè)每月生產不小于70個人形機器人，才能確保每月的利潤不低于400萬元.19.已知函數.（1）若，求在區(qū)間上的值域；（2）若方程有實根，求實數m的取值范圍；（3）設函數，若對任意的，總存在，使得，求實數m的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用換元法令，，再結合二次函數的性質即可求解；（2）由（1）知利用換元法可得，，方程有實根即等價于即有實數根且大于零，從而可得，即可求解；（3）若對任意的，總存在，使得，可得,由復合函數知識可得函數在時單調遞減，時單調遞增，從而求出，則只需求出函數在上的最小值即可，然后分別討論，，的情況，從而可求解.【小問1】當時，，令，因為，所以，所以可得一個二次函數，所以當，函數單調遞增，當時，有最小值，當時，有最大值，所以.所以時，在區(qū)間上的值域為.【小問2】由（1）知當令，，，則，即有實數根，此時實數根大于零，所以可得，解得：.所以方程有實根，實數m的取值范圍為.【小問3】由題意得，若對任意的，總存在，使得，可得,由函數可得當時單調遞減，當時單調遞增，函數為增函數，所以由復合函數定義可得函數時單調遞減，時單調遞增，所以當時，有最小值，由（2）知當令，，，所以只需求出函數在上的最小值即可，當時，即，此時函數在上單調遞增，則最小值為，所以，解得，故符合題