河南省南陽(yáng)市桐柏縣思源教育集團(tuán)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

桐柏縣思源教育集團(tuán)2024年秋期第二次學(xué)情調(diào)研九年級(jí)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁(yè)，滿分120分，考試時(shí)間100分鐘．2．試題卷上不要答題，請(qǐng)用0.5毫米黑色簽字水筆直接把答案寫在答題卡上．答在試題卷上的答案無效．3．答題前，考生務(wù)必將本人姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡第一面的指定位置上．一、選擇題（每小題3分，共30分）1.在二次根式①，②，③，④中，是同類二次根式的是（）A.①和③ B.②和③ C.①和④ D.③和④【答案】C【解析】【分析】將題中四個(gè)數(shù)分別化成最簡(jiǎn)二次根式，再結(jié)合同類二次根式的定義解題即可．①；②；③；④中，是同類二次根式的是①④．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)、分母有理化、同類二次根式等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式混合運(yùn)算、二次根式的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可求解．解：A.與不能合并，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.，故該選項(xiàng)正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式的乘除法運(yùn)算，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3.關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D.沒有實(shí)數(shù)根【答案】A【解析】【分析】對(duì)于，當(dāng),

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng),

方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，,

方程沒有實(shí)根，根據(jù)原理作答即可．解：∵，∴，所以原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關(guān)鍵．4.下列各組線段中，能成比例是（）A.1cm，3cm，4cm，6cm B.30cm，12cm，0.8cm，0.2cmC.0.1cm，0.2cm，0.3cm，0.4cm D.12cm，16cm，45cm，60cm【答案】D【解析】【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．對(duì)選項(xiàng)一一分析，排除錯(cuò)誤答案A、1×6≠3×4，故錯(cuò)誤；B、30×0.2≠12×0.8，故錯(cuò)誤；C、01×0.4≠0.2×0.3，故錯(cuò)誤；D、12×60=16×45，故正確．故選D．點(diǎn)睛】比例線段5.方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍（）A. B.且 C. D.且【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義、二次根式有意義的條件和判別式的意義得到，，，然后解不等式組即可．解：根據(jù)題意得，，，解得m≤且m≠2．故選：B．6.用四張一樣大小的長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)如圖所示的正方形，它的面積是75，，圖中空白的地方是一個(gè)正方形，那么這個(gè)小正方形的周長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由正方形的面積為75，解得正方形的邊長(zhǎng)，即一個(gè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的和，減去，得到寬的值，據(jù)此解得小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，再解出小正方形的邊長(zhǎng)即可解題．解：根據(jù)題意得，小正方形的邊長(zhǎng)為：這個(gè)小正方形的周長(zhǎng)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的應(yīng)用，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．7.如圖，，若，，則DE等于（）A.3 B.3.2 C.3.6 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，得到DE、EF的關(guān)系，根據(jù)，即可得到答案．，且故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，正確運(yùn)用定理找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8.如圖，在四邊形中，，，，點(diǎn)，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，但點(diǎn)不與點(diǎn)重合），點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最大值為（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得出，從而可知最大時(shí)，最大，因?yàn)榕c重合時(shí)最大，此時(shí)根據(jù)勾股定理求得，從而求得的最大值為1．解：∵點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，∴，，∴，∴最大時(shí)，最大，∵與重合時(shí)最大，此時(shí)，∴的最大值為1，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．9.已知在中，，則下列選項(xiàng)中陰影部分的三角形與原不相似的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法依次判斷可求解．解：A、由有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可證陰影部分的三角形與原相似，故選項(xiàng)A不符合題意；B、兩邊對(duì)應(yīng)成比例，而夾角不一定相等，不能證明陰影部分的三角形與原相似，故選項(xiàng)B符合題意；C、由有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可證陰影部分的三角形與原相似，故選項(xiàng)C不符合題意；D、由兩組對(duì)應(yīng)邊的成比例且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可證陰影部分的三角形與原相似，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．10.菱形周長(zhǎng)為20，對(duì)角線交于點(diǎn)O，，點(diǎn)E在上，，交于點(diǎn)F，則的長(zhǎng)為（）A.3 B. C.5 D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，先根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出，則，再證明，進(jìn)一步證明，利用相似三角形的性質(zhì)推出，則．解：∵菱形周長(zhǎng)為20，對(duì)角線交于點(diǎn)O，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選A．二、填空題（每小題3分，共15分）11.若，，則a的值為____________．【答案】4【解析】【分析】設(shè)輔助未知數(shù)，根據(jù)比例性質(zhì)求出輔助未知數(shù)，進(jìn)而求出答案．解：設(shè)，則a=2k，b=3k，c=4k，∵a+b+c=18，即2k+3k+4k=18，∴k=2，∴a=2k=4，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，設(shè)輔助未知數(shù)是常用的方法．12.實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：__________．【答案】【解析】【分析】本題考查了數(shù)軸和二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)可得，，從而可得，，，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得．解：由數(shù)軸可知，，，則，，，所以．故答案為：13.小芳和爸爸在陽(yáng)光下散步，爸爸身高，他在地面上的影長(zhǎng)為．小芳比爸爸矮，她的影長(zhǎng)為_________m．【答案】【解析】【分析】根據(jù)實(shí)物與影子的比相等可得小芳的影長(zhǎng)．∵爸爸身高，小芳比爸爸矮．∴小芳身高為設(shè)小芳的影長(zhǎng)為，∴解得，故填：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行投影，解決本題的關(guān)鍵是理解陽(yáng)光下實(shí)物的影長(zhǎng)與影子的比相等．14.如圖（1），在寬為，長(zhǎng)為的矩形耕地上修建同樣寬的三條道路，把耕地分成若干小矩形塊，作為小麥試驗(yàn)田，若試驗(yàn)田面積為，求道路寬為多少？設(shè)寬為，從圖（2）的思考方式出發(fā)列出的方程是__________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程在幾何圖形中的應(yīng)用，根據(jù)題意可知小路的面積等于長(zhǎng)為，寬為的矩形面積加上長(zhǎng)為，寬為的矩形面積，再根據(jù)試驗(yàn)田面積為，建立方程即可．解；設(shè)寬為，由題意得，，故答案為：．15.已知，是方程的兩根，則_________．【答案】【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值，熟練掌握：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，，是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和方程的解得到，，，，將原式化簡(jiǎn)得到，再代入求值即可．解：，是方程的兩根，，，，，，故答案為：．三、解答題（本大題滿分75分）16.計(jì)算（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：（1）先化簡(jiǎn)二次根式，再計(jì)算二次根式的乘除法，然后合并同類二次根式即可；（2）先利用完全平方公式計(jì)算二次根式乘法，分母有理化，再合并同類二次根式即可．【小問1】解：原式；【小問2】解：原式．17.解方程（1）（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．（1）先移項(xiàng)，然后利用因式分解法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可．【小問1】解：∵∴，∴，∴或，解得；【小問2】解：∵，∴，∴，∴，∴，解得．18.如圖，A、B、C、P四點(diǎn)均在邊長(zhǎng)為1小正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上．（1）判斷△PBA與△ABC是否相似，并說明理由；（2）求∠BAC的度數(shù)．【答案】（1）相似；（2）135°．【解析】試題分析：（1）△PBA與△ABC相似，利用勾股定理計(jì)算出AB的長(zhǎng)，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且一個(gè)夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可證明結(jié)論成立；（2）由（1）可知：∠BAC=∠BPA，因?yàn)椤螧PA易求，問題得解．試題解析：解：（1）△PBA與△ABC相似．理由如下：∵AB=，BC=5，BP=1，∴．∵∠PBA=∠ABC，∴△PBA∽△ABC；（2）∵△PBA∽△ABC，∴∠BAC=∠BPA．∵∠BPA=90°+45°=135°，∴∠BAC=135°．點(diǎn)睛：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，本題中分別求AB，BC，BP三邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．19.已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無論取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，且，求的值．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】（1）求出△的值即可證明；（2），根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，代入，得到關(guān)于m的方程，然后解方程即可．（1）證明：依題意可得故無論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得：由，得，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了利用一元二次方程根的判別式證明根的情況以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=?，x1x2=．20.如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形，邊，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？【答案】【解析】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是判斷．根據(jù)正方形的對(duì)邊平行得到，利用“平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊或其他兩邊的延長(zhǎng)線，得到的三角形與原三角形相似”．設(shè)正方形零件的邊長(zhǎng)為，則，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，解方程即可得到結(jié)果．解：∵四邊形為正方形，∴，∴，，∴．設(shè)正方形零件的邊長(zhǎng)為，則，．∵，∴，∴，解得．∴這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是．21.今年超市以每件25元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批商品，當(dāng)商品售價(jià)為40元時(shí)，三月份銷售256件，四、五月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)上漲，在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，五月份的銷售量達(dá)到400件．（1）求四、五這兩個(gè)月銷售量的月平均增長(zhǎng)百分率．（2）經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，六月份的銷售量將與五月份持平，現(xiàn)商場(chǎng)為了減少庫(kù)存，采用降價(jià)促銷方式，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價(jià)1元，月銷量增加5件，當(dāng)商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)六月份可獲利4250元？【答案】（1）（2）應(yīng)降價(jià)5元【解析】【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵：（1）設(shè)四、五這兩個(gè)月銷售量的月平均增長(zhǎng)百分率為，根據(jù)三月份銷售256件，五月份的銷售量達(dá)到400件，列出方程進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)降價(jià)元，根據(jù)總利潤(rùn)等于單件利潤(rùn)乘以銷量，列出方程進(jìn)行求解即可．【小問1】解：設(shè)四、五這兩個(gè)月銷售量的月平均增長(zhǎng)百分率為，由題意，得：，解得：或（舍去）；答：四、五這兩個(gè)月銷售量的月平均增長(zhǎng)百分率為；【小問2】設(shè)降價(jià)元，由題意，得：，解得：或（舍去）；答：應(yīng)降價(jià)5元．22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知OA＝6厘米，OB＝8厘米．點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BA邊向終點(diǎn)A以1厘米/秒的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AO邊向終點(diǎn)O以1厘米/秒的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．若P、Q同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ與△AOB相似？【答案】【解析】【分析】利用勾股定理列式求出AB，再表示出AP、AQ，然后分∠APQ和∠AQP是直角兩種情況，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可．解：∵AO＝6厘米，BO＝8厘米，∴AB＝＝＝10（厘米），∵點(diǎn)P的速度是每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度是每秒1個(gè)單位，∴AQ＝t厘米，AP＝（10﹣t）厘米，①∠APQ是直角時(shí)，△APQ∽△AOB，∴＝，即＝，解得t＝＞6，舍去；②∠AQP是直角時(shí)，△AQP∽△AOB，∴＝，即＝，解得t＝，綜上所述，t＝時(shí)，△APQ與△AOB相似．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例兩相似三角形的判定分類討論是解題的關(guān)鍵．23.（1）如圖①，在四邊形中，，點(diǎn)在邊上，，求證：（2）探究：如圖②，在四邊形中，點(diǎn)在邊上，當(dāng)時(shí)，求證：（3）拓展：如圖③，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在邊上，若，求的長(zhǎng)【答案】（1）見；（2）見；（3）【解析】【分析】（1）由題意易得∠B=∠C=90°，∠BAP=∠CPD，進(jìn)而問題得證；（2）由題意易得∠BAP=∠CPD，進(jìn)而問題得證；（3）由題意