解直角三角形專題復(fù)習(xí)(知識(shí)點(diǎn)+考點(diǎn)+測(cè)試)

解直角三角形】專題復(fù)習(xí)(知識(shí)點(diǎn)+考點(diǎn)+測(cè)試)

解直角三角形》專題復(fù)一、直角三角形的性質(zhì)1、直角三角形的兩個(gè)銳角互余。幾何表示：因?yàn)椤螩=90°，所以∠A+∠B=90°。2、在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。幾何表示：因?yàn)椤螩=90°，且∠A=30°，所以BC=AB。3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。幾何表示：因?yàn)椤螦CB=90°，D為AB的中點(diǎn)，所以CD=AB=BD=AD。4、勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。幾何表示：在Rt△ABC中，因?yàn)椤螦CB=90°，所以a2+b2=c2。5、射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)，每條直角邊是它們?cè)谛边吷系纳溆昂托边叺谋壤许?xiàng)。即：因?yàn)椤螦CB=90°，CD⊥AB，所以CD2=AD?BD，AC2=AD?AB，BC2=BD?AB。6、等積法：直角三角形中，兩直角邊之積等于斜邊乘以斜邊上的高。（a?b=c?h）由上圖可得：AB?CD=AC?BC。二、銳角三角函數(shù)的概念在△ABC中，∠C=90°，銳角A的正弦、余弦、正切、余切分別為sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b，cotA=b/a。銳角三角函數(shù)的取值范圍：-1≤sinα≤1，-1≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.三、銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系1）平方關(guān)系：同一銳角的正弦和余弦值的平方和等于1，即sin2A+cos2A=1.2）倒數(shù)關(guān)系：互為余角的兩個(gè)角，它們的切函數(shù)互為倒數(shù)，即tanA?tan(90°—A)=1，cotA?cot(90°—A)=1.3）弦切關(guān)系：tanA=sinA/cosA，cotA=cosA/sinA。4）互余關(guān)系：互為余角的兩個(gè)角，它們相反函數(shù)名的值相等，即sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)，tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)。四、特殊角的三角函數(shù)值角度（°）sinαcosαtanαcotα30°1/2√3/2√3/3√345°√2/2√2/21160°√3/21/2√31/√390°10不存在0說(shuō)明：銳角三角函數(shù)的增減性，當(dāng)角度在0°~90°之間變化時(shí)，sinα、tanα隨角度增大而增大，cosα、cotα隨角度增大而減小。正弦值和余弦值隨著角度的增大或減小而呈現(xiàn)相反的變化趨勢(shì)。正弦值隨著角度的增大而增大，隨著角度的減小而減??；余弦值則相反，隨著角度的增大而減小，隨著角度的減小而增大。同樣地，正切值隨著角度的增大或減小而增大或減小，而余切值則相反。解直角三角形是指在直角三角形中，已知除直角外的某些元素，求解所有未知元素的過(guò)程。直角三角形中除直角外的已知元素共有五個(gè)，即三條邊和兩個(gè)銳角。解直角三角形的基本關(guān)系有三種：邊邊關(guān)系、角角關(guān)系和邊角關(guān)系。其中，邊角關(guān)系涉及到四種銳角三角函數(shù)。解直角三角形的基本類(lèi)型有四種，分別是：已知兩直角邊a、b；已知一直角邊a和斜邊c；已知一直角邊a和銳角A；已知一銳角A和斜邊c。對(duì)于每種類(lèi)型的已知條件，都有對(duì)應(yīng)的解法。在實(shí)際問(wèn)題中，解直角三角形可以用于測(cè)量物體高度、航行問(wèn)題、計(jì)算壩體或邊路的坡度等問(wèn)題。在解題時(shí)，可以采用圖形、條件單個(gè)直角三角形直接求解、實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題輔助線構(gòu)造、抽象轉(zhuǎn)化不是直角三角形直角三角形方程求解等常用數(shù)學(xué)思想方法。解直角三角形是中考數(shù)學(xué)考試的重要考點(diǎn)之一，涉及到銳角三角函數(shù)的定義、特殊角三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn)。熟練掌握解直角三角形的基本類(lèi)型和解法，能夠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問(wèn)題，是中考數(shù)學(xué)考試中必備的技能。1、答案為B。根據(jù)cosA=2/2可知∠A為45°，而tanB=3>1，說(shuō)明∠B為銳角，故△ABC為銳角三角形。改寫(xiě)：根據(jù)已知條件cosA=2/2，可得∠A為45°，而tanB=3>1，說(shuō)明∠B為銳角，因此可以判斷出△ABC為銳角三角形。2、答案為B。sin65°>cos26°。改寫(xiě)：可以通過(guò)計(jì)算得知sin65°的值大于cos26°。3、答案為D。根據(jù)題意，可以列出等腰梯形的各邊長(zhǎng)度關(guān)系式：(3+x)/2:(4-x)/2=2:3，解得x=9，故下底寬為3+9+3=15米。改寫(xiě)：根據(jù)題意，可以列出等腰梯形的各邊長(zhǎng)度關(guān)系式，通過(guò)解方程可以得到下底寬的長(zhǎng)度為15米。4、答案為D。重疊部分的面積為sinα。改寫(xiě)：根據(jù)幾何關(guān)系，可以得出重疊部分的面積為sinα。5、答案為B。正弦值會(huì)隨著邊長(zhǎng)的縮小而縮小。改寫(xiě)：由三角函數(shù)的定義可知，正弦值與邊長(zhǎng)成正比，因此縮小邊長(zhǎng)會(huì)導(dǎo)致正弦值的縮小。6、答案為B。根據(jù)勾股定理可得AC=√(AB2-BC2)=√(23-4)=√19.改寫(xiě)：根據(jù)勾股定理，可以得到AC的長(zhǎng)度為√19.7、答案為D。由sin2B+cos2B=1可得cosB=√(1-sin2B)，代入已知條件可得cosA=4/5，故∠A為銳角。改寫(xiě)：由三角函數(shù)的基本關(guān)系式可得cosA的值，進(jìn)而可以判斷出∠A的范圍。8、答案為A。根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可以將式子化簡(jiǎn)為(13/4)sinα-2cosα，再將cosα用sinα表示，化簡(jiǎn)后可得141/372.改寫(xiě)：通過(guò)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可以將式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到結(jié)果為141/372.9、底邊上的高為√(62-12)=√35/2，底角的余弦值為1/2.改寫(xiě)：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可以求出底邊上的高以及底角的余弦值。10、購(gòu)買(mǎi)地毯至少需要2×(4+√2)×30=300+60√2元。改寫(xiě)：根據(jù)圖中所示的幾何關(guān)系，可以計(jì)算出需要購(gòu)買(mǎi)的地毯面積，從而得到所需的最少金額。11、(1)△ANE的面積為1/2×AE×EN=1/2×3×1=3/2；(2)sin∠ENB=EN/EB=1/√10.改寫(xiě)：根據(jù)圖中所示的幾何關(guān)系，可以計(jì)算出△ANE的面積以及sin∠ENB的值。12、設(shè)燈塔C與船的連線與正東方向夾角為α，則：在A點(diǎn)，tanα=1/3；在B點(diǎn)，tan(α-30°)=3；在D點(diǎn)，tan(α+45°)=1/3；解得α=15°，AD=20×0.5×cos15°≈17.32海里。改寫(xiě)：通過(guò)三角函數(shù)的關(guān)系式，可以求得燈塔C與船的連線與正東方向的夾角，進(jìn)而計(jì)算出AD的長(zhǎng)度。613、某賓館為慶祝開(kāi)業(yè)，在樓前懸掛了許多宣傳條幅。一條幅從樓頂A處放下，在樓前點(diǎn)C處拉直固定。小明為了測(cè)量此條幅的長(zhǎng)度，他先在樓前D處測(cè)得樓頂A點(diǎn)的仰角為31°，再沿DB方向前進(jìn)16米到達(dá)E處，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45°。已知點(diǎn)C到大廈的距離BC=7米，∠ABD=90°。請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)求條幅的長(zhǎng)度（結(jié)果保留整數(shù)。參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）。答案：首先可以求出AB的長(zhǎng)度，根據(jù)三角函數(shù)的定義，tan31°=AB/BD，可得AB≈9.然后可以利用三角形ABD和三角形ACD的相似性，求出CD的長(zhǎng)度，即CD=BC/tan31°≈11.最后可以利用三角形ACD的正弦定理，求出AD的長(zhǎng)度，即AD=CD/sin31°≈21.因此，條幅的長(zhǎng)度為AB+AD≈30.14、小明想用所學(xué)的知識(shí)來(lái)測(cè)量湖心島上的迎賓槐與湖岸上涼亭間的距離。他先在湖岸上的涼亭A處測(cè)得湖心島上的迎賓槐C處位于北偏東65°方向，然后，他從涼亭A處沿湖岸向東方向走了100米到B處，測(cè)得湖心島上的迎賓槐C處位于北偏東45°方向（點(diǎn)A、B、C在同一平面上）。請(qǐng)你利用小明測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)，求湖心島上的迎賓槐C處與湖岸上的涼亭A處之間的距離（結(jié)果精確到1米）。（參考數(shù)據(jù)sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.5563，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）答案：首先可以利用三角形ABC的正弦定理，求出AC的長(zhǎng)度，即AC=100/sin65°≈115.67.然后可以利用三角形ABC的余弦定理，求出AB的長(zhǎng)度，即AB=sqrt(AC^2-BC^2)≈100.08.最后可以利用三角形ABC的正弦定理，求出BC的長(zhǎng)度，即BC=AB*sin25°/sin90°≈42.26.因此，湖心島上的迎賓槐C處與湖岸上的涼亭A處之間的距離為AC-BC≈73.41米。715、今年“五一“假期，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組組織一次登山活動(dòng)。他們從山腳下A點(diǎn)出發(fā)沿斜坡AB到達(dá)B點(diǎn)。再?gòu)腂點(diǎn)沿斜坡BC到達(dá)山頂C點(diǎn)，路線如圖所示。斜坡AB的長(zhǎng)為1040米，斜坡BC的長(zhǎng)為400米，在C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的俯角為30°。已知A點(diǎn)海拔121米，C點(diǎn)海拔721米。1）求B點(diǎn)的海拔；（2）求斜坡AB的坡度。答案：首先可以利用三角形ABC的正弦定理，求出角BAC的大小，即sinBAC=BC/AC≈0.365，因此∠BAC≈21.94°。然后可以利用三角形ABC的余弦定理，求出角ABC的大小，即cosABC=(AB^2+BC^2-AC^2)/(2*AB*BC)≈0.968，因此∠ABC≈14.09°。根據(jù)題目中給出的信息，可以得到∠CBA=180°-∠BAC-∠ABC≈144.97°。根據(jù)三角形ABC的角度和定理，可以得到∠ACB=180°-∠CBA≈35.03°。因此，B點(diǎn)的海拔為AC*sin30°+121≈377.66米。斜坡AB的坡度為tan21.94°≈0.40.16、通過(guò)研究三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值相互唯一確定，因此邊長(zhǎng)與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化。類(lèi)似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系。我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角正對(duì)（sad），如圖，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的。根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題：1）sad60°=；2）對(duì)于°＜A＜180°，∠A的正對(duì)值sadA的取值范圍是；3）如圖，已知sinA=5/13，其中∠A