第05講 平面向量與復(fù)數(shù)（2022-2024高考真題）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

第05講平面向量與復(fù)數(shù)（2022-2024高考真題）（新高考專用）一、單項選擇題1．（2024·北京·高考真題）設(shè)a，b是向量，則“a+b·a?b=0A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知a+b?【解答過程】因?yàn)閍+b?a?可知a+b?若a=b或a=?b，可得若a+b?a?b=0例如a=1,0,b=0,1，滿足綜上所述，“a+b?a?故選：B.2．（2024·全國·高考真題）設(shè)向量a=x+1,x,A．“x=?3”是“a⊥b”的必要條件 B．“x=?3”是“C．“x=0”是“a⊥b”的充分條件 D．“x=?1+3【解題思路】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【解答過程】對A，當(dāng)a⊥b時，則所以x?(x+1)+2x=0，解得x=0或?3，即必要性不成立，故A錯誤；對C，當(dāng)x=0時，a=1,0,所以a⊥對B，當(dāng)a//b時，則2(x+1)=x對D，當(dāng)x=?1+3時，不滿足2(x+1)=x2故選：C.3．（2024·全國·高考真題）已知向量a,b滿足a=1,a+2b=2A．12 B．22 C．3【解題思路】由b?2a⊥b得b2【解答過程】因?yàn)閎?2a⊥b，所以又因?yàn)閍=1,所以1+4a從而b=故選：B.4．（2024·全國·高考真題）已知向量a=(0,1),b=(2,x)，若b⊥(bA．?2 B．?1 C．1 D．2【解題思路】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可求x的值.【解答過程】因?yàn)閎⊥b?4所以b2?4a?b故選：D.5．（2023·北京·高考真題）已知向量a，b滿足a+b=(2,3),A．?2 B．?1 C．0 D．1【解題思路】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.【解答過程】向量a,b滿足所以|a故選：B.6．（2024·北京·高考真題）已知zi=?1?i，則z=A．?1?i B．?1+i C．1?i【解題思路】直接根據(jù)復(fù)數(shù)乘法即可得到答案.【解答過程】由題意得z=i故選：C.7．（2024·全國·高考真題）設(shè)z=2i，則z?zA．?2 B．2 C．?2 【解題思路】先根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義寫出z，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計算.【解答過程】依題意得，z=?2i故選：D.8．（2024·全國·高考真題）若z=5+i，則iz+zA．10i B．2i C．10 【解題思路】結(jié)合共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算直接求解.【解答過程】由z=5+i?z故選：A.9．（2024·全國·高考真題）已知z=?1?i，則z=（A．0 B．1 C．2 D．2【解題思路】由復(fù)數(shù)模的計算公式直接計算即可.【解答過程】若z=?1?i，則z故選：C.10．（2024·全國·高考真題）若zz?1=1+i，則A．?1?i B．?1+i C．1?i【解題思路】由復(fù)數(shù)四則運(yùn)算法則直接運(yùn)算即可求解.【解答過程】因?yàn)閦z?1=z?1+1故選：C.11．（2023·北京·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(?1,3)，則z的共軛復(fù)數(shù)z=A．1+3i C．?1+3i 【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出復(fù)數(shù)z，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義計算.【解答過程】z在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)是(?1,3)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，由共軛復(fù)數(shù)的定義可知，z=?1?故選：D.12．（2023·全國·高考真題）已知向量a=3,1,b=A．117 B．1717 C．55【解題思路】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得a+【解答過程】因?yàn)閍=(3,1),b=(2,2)則a+b=所以cosa故選：B.13．（2023·全國·高考真題）已知向量a,b,c滿足a=b=1,A．?45 B．?25 C．【解題思路】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【解答過程】因?yàn)閍+b+即a2+b2+2如圖,設(shè)OA=由題知,OA=OB=1,OC=2AB邊上的高OD=2所以CD=CO+OD=2tan∠ACD=cos=2×3故選:D.14．（2023·全國·高考真題）已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，直線PB與⊙O交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若PO=2，則PA?A．1+22 C．1+2 D．【解題思路】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得PA?PD=12?22【解答過程】如圖所示，OA=1,OP=由勾股定理可得PA

當(dāng)點(diǎn)A,D位于直線PO異側(cè)時或PB為直徑時，設(shè)∠OPC=則：PA?PD=1×====0≤α<π4∴當(dāng)2α?π4=?π4

當(dāng)點(diǎn)A,D位于直線PO同側(cè)時，設(shè)∠OPCα,0則：PA?PD=1×====10≤α<π4∴當(dāng)2α+π4=π2綜上可得，PA?PD的最大值為故選：A.15．（2023·全國·高考真題）已知向量a=1,1,b=A．λ+μ=1 B．λ+μ=?1C．λμ=1 D．λμ=?1【解題思路】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出a+λb，【解答過程】因?yàn)閍=1,1,b=由a+λb⊥即1+λ1+μ+1?λ故選：D．16．（2023·全國·高考真題）2+i2+2A．1 B．2 C．5 D．5【解題思路】由題意首先化簡2+i【解答過程】由題意可得2+i則2+i故選：C.17．（2023·全國·高考真題）51+i3A．?1 B．1 C．1?i D．【解題思路】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.【解答過程】5故選：C.18．（2023·全國·高考真題）設(shè)a∈R,a+i1?aiA．-1 B．0

C．1 D．2【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算以及復(fù)數(shù)相等即可解出．【解答過程】因?yàn)閍+i所以2a=21?a2故選：C.19．（2023·全國·高考真題）設(shè)z=2+i1+i2A．1?2i B．1+2i C．2?i【解題思路】由題意首先計算復(fù)數(shù)z的值，然后利用共軛復(fù)數(shù)的定義確定其共軛復(fù)數(shù)即可.【解答過程】由題意可得z=2+則z=1+2故選：B.20．（2023·全國·高考真題）已知z=1?i2+2i，則A．?i B．i C．0 【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到z，從而解出．【解答過程】因?yàn)閦=1?i2+2i=故選：A．21．（2023·全國·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，1+3i3?iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.【解答過程】因?yàn)?+3i則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為6,8，位于第一象限.故選：A.22．（2022·全國·高考真題）已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tA．?6 B．?5 C．5 D．6【解題思路】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求得【解答過程】解：c=3+t,4,cosa→,故選：C.23．（2022·全國·高考真題）已知向量a=(2,1)，b=(?2,4)，則A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】先求得a?b，然后求得【解答過程】因?yàn)閍?b=故選：D.24．（2022·全國·高考真題）已知向量a,b滿足|a|=1,|bA．?2 B．?1 C．1 D．2【解題思路】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.【解答過程】解：∵|a又∵|∴9=1?4a∴a故選：C.25．（2022·全國·高考真題）在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA．記CA=m，CD=A．3m?2n B．?2m+3n【解題思路】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出．【解答過程】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA，所以BD=2DA，即所以CB=3CD?2故選：B．26．（2022·浙江·高考真題）已知a,b∈R,a+3i=(b+i)iA．a(chǎn)=1,b=?3 B．a(chǎn)=?1,b=3 C．a(chǎn)=?1,b=?3 D．a(chǎn)=1,b=3【解題思路】利用復(fù)數(shù)相等的條件可求a,b.【解答過程】a+3i=?1+bi，而a,b故選：B.27．（2022·全國·高考真題）(2+2i)(1?2iA．?2+4i B．?2?4i C．6+2i【解題思路】利用復(fù)數(shù)的乘法可求2+2i【解答過程】2+2i故選：D.28．（2022·全國·高考真題）設(shè)(1+2i)a+b=2i，其中a,bA．a(chǎn)=1,b=?1 B．a(chǎn)=1,b=1 C．a(chǎn)=?1,b=1 D．a(chǎn)=?1,b=?1【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則以及復(fù)數(shù)相等的概念即可解出．【解答過程】因?yàn)閍,b∈R，a+b+2ai=2i，所以故選：A.29．（2022·全國·高考真題）若z=1+i．則|iz+3A．45 B．42 C．25【解題思路】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)模的計算公式即可求出．【解答過程】因?yàn)閦=1+i，所以iz+3z故選：D.30．（2022·全國·高考真題）若z=?1+3i，則zzA．?1+3i B．?1?3i C．【解題思路】由共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可得解.【解答過程】zz故選：C.31．（2022·北京·高考真題）若復(fù)數(shù)z滿足i?z=3?4i，則z=A．1 B．5 C．7 D．25【解題思路】利用復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，先求出z，再計算復(fù)數(shù)的模．【解答過程】由題意有z=3?4ii故選：B．32．（2022·全國·高考真題）若i(1?z)=1，則z+z=A．?2 B．?1 C．1 D．2【解題思路】利用復(fù)數(shù)的除法可求z，從而可求z+z【解答過程】由題設(shè)有1?z=1i=ii故選：D.二、填空題33．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知k∈R,a=2,5,b=6,k，且a【解題思路】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解出即可.【解答過程】∵a//b，∴2k=5×6故答案為：15．34．（2024·天津·高考真題）在邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為線段CD的三等分點(diǎn)，CE=12DE,BE=λBA+μBC，則λ+μ=43；F為線段BE上的動點(diǎn)，G【解題思路】解法一：以BA,BC為基底向量，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求BE，即可得λ+μ，設(shè)BF=kBE，求AF,DG，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求AF?DG的最小值；解法二：建系標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求BE，即可得【解答過程】解法一：因?yàn)镃E=12DE，即CE可得λ=13,μ=1由題意可知：BC=因?yàn)镕為線段BE上的動點(diǎn)，設(shè)BF=k則AF=又因?yàn)镚為AF中點(diǎn)，則DG=可得AF=1又因?yàn)閗∈0,1，可知：當(dāng)k=1時，AF?DG解法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A?1,0可得BA=因?yàn)锽E=λBA+μBC=因?yàn)辄c(diǎn)F在線段BE:y=?3x,x∈?13且G為AF中點(diǎn)，則Ga?1可得AF=則AF?且a∈?13,0，所以當(dāng)a=?1故答案為：43；?35．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知虛數(shù)z，其實(shí)部為1，且z+2z=mm∈R，則實(shí)數(shù)m為【解題思路】設(shè)z=1+bi,b∈R【解答過程】設(shè)z=1+bi，b∈R且b≠0則z+2∵m∈R，∴b2+3故答案為：2.36．（2024·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)5+i?5【解題思路】借助復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則計算即可得.【解答過程】5+故答案為：7?537．（2023·全國·高考真題）已知向量a，b滿足a?b=3，a+b【解題思路】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令c=【解答過程】法一：因?yàn)閍+b=則a2+2a又因?yàn)閍?b=則a2?2a法二：設(shè)c=a?由題意可得：c+2b2整理得：c2=b故答案為：3.38．（2023·天津·高考真題）已知i是虛數(shù)單位，化簡5+14i2+3i的結(jié)果為【解題思路】由題意利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，分子分母同時乘以2?3i【解答過程】由題意可得5+14i故答案為：4+i39．（2022·天津·高考真題）在△ABC中，CA=a,CB=b，D是AC中點(diǎn)，CB=2BE，試用a,b表示DE為3【解題思路】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出DE，以a,b為基底，表示出AB,DE，由法二：以點(diǎn)E為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，由AB⊥DE可得點(diǎn)A的軌跡為以M(?1,0)為圓心，以r=2為半徑的圓，方程為(x+1)2+y2=4，即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)CA【解答過程】方法一：DE=CE?3b2+a2=4a?b故答案為：32b?方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系：E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，DE=(?DE⊥AB?(x+32)(x?1)+y22=0?(x+1)2+y2故答案為：32b?40．（2022·浙江·高考真題）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形A1A2?A8的邊A1【解題思路】根據(jù)正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，分別以圓心為原點(diǎn)，A7A3所在直線為x軸，A5A1所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，即可求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)【解答過程】以圓心為原點(diǎn)，A7A3所在直線為x軸，A則A1(0,1),A222,因?yàn)閏os22.5°≤|OP|≤1，所以1+cos45故答案為：[12+2241．（2022·全國·高考真題）已知向量a=(m,3),b=(1,m+1)．若a⊥b