第三章 一元函數(shù)的導數(shù)及其應用綜合測試卷（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

第三章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用綜合測試卷（新高考專用）（考試時間：120分鐘；滿分：150分）注意事項：1.本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．（5分）（2024·湖北襄陽·二模）已知函數(shù)f(x)=x2+1xA．1 B．12 C．2 【解題思路】由題意，根據(jù)求導公式和運算法則可得f′【解答過程】由題意知，f′(x)=2x?1所以limΔ故選：B.2．（5分）（2024·全國·模擬預測）函數(shù)fx=exxA．x+ey?4=0 B．x?ey+6=0 C．【解題思路】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，即可求解.【解答過程】由fx=e則f′?1=則所求切線方程為y?5e=故選：B．3．（5分）（2023·上海閔行·二模）某環(huán)保部門要求相關企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改、設企業(yè)的污水排放量W與時間t的關系為W=ft，用?fb?fab?a

A．在t1B．在t2C．在t3D．甲企業(yè)在0,t1，t1,t【解題思路】根據(jù)題目中的數(shù)學模型建立關系，比較甲乙企業(yè)的污水治理能力.【解答過程】設甲企業(yè)的污水排放量W與時間t的關系為W=?t，乙企業(yè)的污水排放量W與時間t的關系為W=g對于A選項，在t1,t乙企業(yè)的污水治理能力g(t)=?gt2所以?(t)>g(t),即甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強，故A選項錯誤；對于B選項，由圖可知，?(t)在t2時刻的切線斜率小于g(t)在t但兩切線斜率均為負值，故在t2對于C選項，在t3故甲、乙兩企業(yè)的污水排放都達標，故C選項錯誤；對于D選項，由圖可知，甲企業(yè)在0,t1，t1在t1,t2時故選：D.4．（5分）（2024·江西宜春·三模）已知a=12e，b=ln222A．b<a<c B．b<c<a C．a(chǎn)<b<c D．c<b<a【解題思路】首先將a,b,c化成統(tǒng)一形式，構(gòu)造函數(shù)fx=ln【解答過程】由題意得a=12e=ln設fx=ln當0<x<e時，f′(x)>0，所以f(x)所以f(2)<f(e)<f(2)，即故選：A.5．（5分）（2024·廣東深圳·模擬預測）已知函數(shù)fx=asinx+A．0,eπ22 B．0,22【解題思路】根據(jù)函數(shù)有兩個極值點的個數(shù)，轉(zhuǎn)化為導數(shù)在0,π上有兩個變號零點，再進行參數(shù)a【解答過程】由題意得f′因為函數(shù)fx在0,π上恰有兩個極值點，則f′當a≤0時，f′x>0當a>0時，令?x=?2a當x∈π4,π時，?′當x∈0,π4時，?′x又?0=?π所以?π4=1?2aeπ故選：D．6．（5分）（2024·四川·模擬預測）已知函數(shù)f′(x)為定義在R上的函數(shù)fx的導函數(shù)，fx?1為奇函數(shù)，fx+1A．f0=f2 C．f′(4)=2 【解題思路】由奇函數(shù)、偶函數(shù)性質(zhì)可得f(?x?1)=?f(x?1)與f(?x+1)=f(x+1)，分別對兩式兩邊求導可得f′(?x?1)=f′(x?1)【解答過程】因為fx?1為奇函數(shù)，所以f(?x?1)=?f(x?1)因為fx+1為偶函數(shù)，所以f(?x+1)=f(x+1)對①兩邊求導可得?f′(?x?1)=?對②兩邊求導可得?f′(?x+1)=對于A項，將x=1代入②可得f(0)=f(2)，故A項正確；對于B項，將x=2代入④可得f′對于C項，將x=3代入④可得f′(?2)+f′(4)=0，將x=1對于D項，由③可得f′(?(x?2)?1)=f所以由④⑤可得f′所以由⑥可得f′((x+3)?3)=?f由⑦可得f′所以由⑦⑧可得f′(x)=f所以f′將x=1代入④可得f′(0)+f由C項知，f′將x=2代入⑦可得f′(2)=?f所以i=110if′2i故選：C.7．（5分）（2024·江蘇南通·模擬預測）設定義域為R的偶函數(shù)y=fx的導函數(shù)為y=f′x，若f′x+A．?∞,?1∪C．?3,1 D．?1,3【解題思路】先令g(x)=f′(x)+【解答過程】因為y=f(x)為偶函數(shù)，所以f(?x)=f(x)，所以?f令g(x)=f因為f′則g(?x)=g(x)，即f′即?f所以f′當x>0時，f′(x)=?2x<0，即f(x)在0,+∞上單調(diào)遞減，則f(x)由f(2a+4)>f(a2+1)所以2a+4<a2+1，即?a即實數(shù)a的取值范圍是?∞故選：A．8．（5分）（2024·四川·三模）已知關于x的方程e2x?axex+9e2A．(0,16e4) B．(0,12e4)【解題思路】變形給定方程，構(gòu)造函數(shù)f(x)=exx，利用導數(shù)探討方程t=【解答過程】顯然x=0不是方程e2x則方程e2x?axe令t=exx，得t2?at+9由f′(x)<0，得x<0或0<x<1，由f′即函數(shù)f(x)在(?∞,0)和(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞作出f(x)的大致圖象，如圖，依題意，方程t2?at+9e2=0觀察圖象知，方程t2?at+9e2=0于是t1+t2=a,t1不妨設t1則(ex1由6e<a<10e所以(ex1故選：A．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．（6分）（2023·河南·模擬預測）已知定義在R上的函數(shù)fx,gx,g′x是gx的導函數(shù)且定義域也是R，若A．f8=3 B．g′?6=1 【解題思路】先根據(jù)已知條件判斷g'【解答過程】由gx為偶函數(shù)，得g?x=gx，兩邊求導，得?g′?x=g′x，所以g'x所以g'8=g'由fx+g′x=3，得f?1由fx+g′x故選：AC.10．（6分）（2024·山東泰安·模擬預測）已知函數(shù)fx=3A．fx是R上的增函數(shù) B．函數(shù)?C．函數(shù)fx的最小值為?1 D．f【解題思路】對于A：求導，代特值檢驗即可；對于B：分x=0、x>0和x<0三種情況，結(jié)合函數(shù)值的符號分析判斷零點；對于C：分x=0、x>0和x<0三種情況，可得fx>?1，即可判斷；對于D：根據(jù)f′x的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理分析可知?x【解答過程】對于選項A：因為fx=3當x=log3212即f′x=3x對于選項B：因為?x當x=0時，?0=f0+0=0，可知當x>0時，?x=fx+x=3當x<0時，0<32x可得?x=fx+x<0，可知綜上所述：函數(shù)?x對于選項C：當x>0時，fx當x=0時，f0當x<0時，則0<3x<1，0<綜上所述：fx>?1，所以?1不是函數(shù)對于選項D：因為f′x=所以f′x的符號決定于顯然y=32x又因為當x=0時，32當x=log32所以?x0∈R所以fx在?∞,所以fx有唯一極小值點.

故D正確.故選：BD.11．（6分）（2024·福建福州·模擬預測）已知函數(shù)fx=axex+e?x?ex+A．x1+x2+C．a(chǎn)x1+1>0【解題思路】利用fx的奇偶性可判斷A選項；將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點問題，再利用導數(shù)和基本不等式確定切線斜率的取值范圍，進而得實數(shù)a的取值范圍，即可判斷B選項；由ax1+1=2e2x1e2x1【解答過程】函數(shù)fx=axef?x所以fx是奇函數(shù)，則f又因為fx有三個零點且x1<所以x1=?x3，fx=axe令gx=1?2e2x+1，則要使函數(shù)fx有3個零點，y=ax與y=g

又g′當且僅當x=0時取等號，即0<g所以0<a<1，故B錯誤；ax由ax3=1?2e要使ax3+a=1?令?x=e2x所以?x在0,+∞單調(diào)遞增，則于是e2x3故選：ACD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）（2024·四川成都·模擬預測）已知函數(shù)y=x的圖象與函數(shù)y=alnx的圖象在公共點處有相同的切線，則公共點坐標為【解題思路】設公共點為(x0,y0)，由【解答過程】函數(shù)y=alnx的定義域為(0,+∞)，可得設曲線f(x)=alnx與曲線g(x)=x由于在公共點處有共同的切線，所以12x0由f(x0)=g(x0解得x0=e2，所以故答案為：(e213．（5分）（2024·四川成都·三模）若不等式emxmx?ln2?xlnx2≥0【解題思路】將已知變形為通過不等式emx2lnemx2≥x【解答過程】若不等式emxmx?ln2?x而m>0，所以emx設gt=tln所以gt在1e,+即m≥ln2xx設fx=ln當1e<x<e2時，f′當x>e2時，f′x<0所以當x=e2時，綜上，正實數(shù)m的取值范圍是2e故答案為：2e14．（5分）（2024·天津·一模）已知定義在0,+∞上的函數(shù)fx滿足fx=f5x，當x∈1,5時，fx=lnx.若在區(qū)間【解題思路】根據(jù)題意得到fx=lnx,1≤x<5ln【解答過程】函數(shù)fx滿足fx=f所以當x∈5,25故fx=ln畫出函數(shù)圖像，如圖所示，觀察圖像可知，要使函數(shù)g(x)=f(x)?ax有三個不同零點，則直線y=ax應在圖中的兩條虛線之間，上方的虛線為直線與fx下方的虛線是直線y=ax經(jīng)過點25,ln

當直線y=ax與fxf′x=則斜率a=1x0當直線y=ax經(jīng)過點25,ln5時，故答案為：ln5四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）（23-24高二下·上海閔行·階段練習）遙控飛機上升后一段時間內(nèi)，第ts時的高度為ft=5t2(1)求飛機在[1,2]時間段內(nèi)的平均速度；(2)求飛機在t=2s【解題思路】（1）根據(jù)平均變化率計算；（2）根據(jù)瞬時變化率計算．【解答過程】（1）v=f(2)?f(1)2?1（2）第2s末的瞬時速度為lim==lim因此，第2s末的瞬時速度為6516．（15分）（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)f(x)=xlnx，(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當x>0時，mx2?【解題思路】（1）求出函數(shù)g(x)，再利用導數(shù)求出g(x)的單調(diào)區(qū)間.（2）等價變形給定不等式得m(x?lnx)≤e【解答過程】（1）依題意，函數(shù)g(x)=2lnx?x+1求導得g′(x)=2即g(x)在(0,+∞所以函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間為(0,+∞（2）當x>0時，mx令?(x)=x?lnx,x>0，求導得當0<x<1時，?′(x)<0，當x>1時，即函數(shù)?(x)在(0,1)上遞減，在(1,+∞)上遞增，則當x>0時，令t=x?lnx，依題意，?t∈[1,+∞令φ(t)=ett,t≥1，求導得φ′當t=1時，φ(t)min=φ(1)=所以實數(shù)m的取值范圍(?∞17．（15分）（2024·北京·三模）已知fx(1)若a=?1，求曲線y=fx在點P(2)若函數(shù)y=fx存在兩個不同的極值點x1,【解題思路】（1）先對函數(shù)求導，結(jié)合導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進而可求切線方程；（2）由已知結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性及極值關系先表示fx【解答過程】（1）當a=?1時，fxf′所以曲線y=fx在點P1,2處的切線方程為y?2=3x?1（2）f′令f′(x)=0，得1x?a原方程可化為at2?t+a=0所以Δ=1?4a2由韋達定理得t1+t所以f(=2(t令?a=2a+1所以函數(shù)?a在0,所以?a所以f(x18．（17分）（2023·山東濰坊·模擬預測）已知函數(shù)fx(1)若曲線y=fx在點1,f1處與x軸相切，求(2)求函數(shù)fx在區(qū)間1,【解題思路】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求得答案；（2）由f′x=0，求得x=a，分類討論x=a【解答過程】（1）由題意得fx=lnf′因為y=fx在點1,f1處與x軸相切，且所以f′1=1?a=0，解得a=1（2）由（1）知f′x=x?ax當x<a時，f′x<0，當x>a（i）當0<a≤1時，x∈1,e，f′x>0所以fx>f1=0，所以函數(shù)（ii）當1<a<e時，若1<x<a，則f′x<0，若函數(shù)fx在區(qū)間1,a上單調(diào)遞減，在區(qū)間a,且f1=0，則fa當fe=1?a+ae>0，即1<a<當fe=1?a+ae≤0時，即當e（iii）當a≥e時，x∈1,e，f′x所以fx<f1=0，所以函數(shù)綜上：當0<a≤1或a≥ee?1時，函數(shù)f當1<a<ee?1時，函數(shù)f19．（17分）（2024·福建南平·模擬預測）已知函數(shù)fx=ln(1)討論fx(2)若方程fx=1有兩個不同的根(i)求a的取值范圍；(ii)證明：x1【解題思路】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，再分a>0、a<0（2）(i)參變分離可得1+lnxx=a，令gx=1+lnxx，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，即可求出a的取值范圍；(ii)不妨設x1<x2，則【解答過程】（1）由題意得fx=lnex由f′x=0顯然a≠0，若a>0，則當0<x<1時，f′x>0,fx單調(diào)遞增，當若a<0，則當0<x<1時，f′x