第2章-控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(他勵(lì)直流電機(jī))

2.1.2控制系統(tǒng)微分方程的建立找到控制系統(tǒng)的總輸入量和最終的輸出量，明確系統(tǒng)中各元件的連接方式和各自的工作原理;分別列寫(xiě)出各個(gè)典型元件的微分方程，組成方程組;消去所有中間變量，得到系統(tǒng)最終輸入量和輸出量的關(guān)系式,即為控制系統(tǒng)的微分方程。

測(cè)速發(fā)電機(jī)tacho-generator直流調(diào)速系統(tǒng)DCspeedcontrolsystem直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)DCseparatelyexcitedmotor直流他勵(lì)發(fā)電機(jī)DCseparatelyexcitedgenerator常用詞匯

例2-5直流調(diào)速系統(tǒng)(DCspeedcontrolsystem)當(dāng)電動(dòng)機(jī)的負(fù)載或電網(wǎng)電壓變化時(shí)，由于系統(tǒng)的自動(dòng)控制作用，電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速能近似的維持不變。

解系統(tǒng)框圖在列寫(xiě)元件和系統(tǒng)方程式前，首先要確定輸入量和輸出量。通常把與輸出量有關(guān)的項(xiàng)寫(xiě)在方程式的左方，與輸入量有關(guān)的項(xiàng)寫(xiě)在右方。

(1)放大器(amplifier)

假設(shè)無(wú)慣性

（2）直流他勵(lì)發(fā)電機(jī)(DCseparatelyexcitedgenerator)

為分析簡(jiǎn)化起見(jiàn)，假設(shè)拖動(dòng)發(fā)電機(jī)的原動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速恒定不變，發(fā)電機(jī)沒(méi)有磁滯回線和剩磁。此外，還設(shè)發(fā)電機(jī)的磁化曲線為一直線，即

。

由電機(jī)學(xué)的原理得其中。把式(2-6)代入式(2-5)，于是得式中，（2-5）（2-6）（2-7）(3)直流他勵(lì)電動(dòng)機(jī)(DCseparatelyexcitedmotor)由基爾霍夫定律和牛頓第二定律得由上述三式中消去中間變量后，得式中,稱為電動(dòng)機(jī)的機(jī)電時(shí)間常數(shù)；稱為電動(dòng)機(jī)的電氣時(shí)間常數(shù)；的量綱與時(shí)間的量綱相同。

(2-8)（4）測(cè)速發(fā)電機(jī)

測(cè)速發(fā)電機(jī)的磁場(chǎng)恒定不變。測(cè)速發(fā)電機(jī)發(fā)出的電壓與轉(zhuǎn)速成正比

(5)比較環(huán)節(jié)

(2-11)

(2-10)

系統(tǒng)方程:對(duì)整個(gè)系統(tǒng)而言，引起系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的外部因素是給定電壓和負(fù)載轉(zhuǎn)矩。其余的物理量均為中間變量，經(jīng)消元后得

(2-12)END2.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化modeling建模mathematicalmodel數(shù)學(xué)模型differentialequation微分方程式nonlinear非線性的nonlinearity非線性linearization線性化Taylorseries泰勒級(jí)數(shù)常用詞匯

?絕對(duì)的線性元件和線性系統(tǒng)不存在

非本質(zhì)非線性

本質(zhì)非線性

線性化:在滿足一定條件的前提下，用近似的線性系統(tǒng)代替非線性方程。線性化的基本條件:非線性特性必須是非本質(zhì)的，系統(tǒng)各變量對(duì)于工作點(diǎn)僅有微小的偏離。

微偏法:若非線性函數(shù)不僅連續(xù)，而且其各階導(dǎo)數(shù)均存在，則由級(jí)數(shù)理論可知，可在給定工作點(diǎn)鄰域?qū)⒋朔蔷€性函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，并略去二階及二階以上的各項(xiàng)，用所得的線性化方程代替原有的非線性方程。線性化的方法:設(shè)一非線性元件的輸入為x、輸出為y，它們間的關(guān)系如圖所示，相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(2-13)

在給定工作點(diǎn)附近，將式（2-13）展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)若在工作點(diǎn)附近增量的變化很小，則可略去式中項(xiàng)及其后面所有的高階項(xiàng)，這樣，上式近似表示為

(2-14)或?qū)憺槭街?，式?-14）就是式（2-13）的線性化方程。

（2-14）

例子：直流他勵(lì)發(fā)電機(jī)磁化曲線的線性化設(shè)發(fā)電機(jī)原工作于磁化曲線的A點(diǎn)。若令發(fā)電機(jī)的勵(lì)磁電壓增加，求其增量電動(dòng)勢(shì)的變化規(guī)律。若發(fā)電機(jī)在?。ㄔ隽浚┬盘?hào)勵(lì)磁電壓的作用下，工作點(diǎn)A的偏離范圍便較小，從而可以通過(guò)A點(diǎn)作一切線CD，且依此切線CD近似地代替原有的曲線EAF。在平衡點(diǎn)A處，發(fā)電機(jī)的方程為當(dāng)勵(lì)磁電壓增加后，則有（2-15）（2-16）（2-17）（2-18）

由式（2-17）減式（2-15），式（2-18）減去式（2-16）后得作上述相減的運(yùn)算，消去了原平衡工作點(diǎn)A處各變量間的關(guān)系，使所求的式（2-19）、（2-20）中的變量均為增量，因而稱這兩個(gè)方程式為增量方程式。（2-19）（2-20）

增量方程只描述了發(fā)電機(jī)在平衡工作點(diǎn)A處受到增量勵(lì)磁電壓作用下的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。對(duì)于式（2-19）、（2-20）而言，發(fā)電機(jī)勵(lì)磁曲線的坐標(biāo)原點(diǎn)不是在O點(diǎn)而是移至原平衡點(diǎn)A處。因此，發(fā)電機(jī)的初始條件變?yōu)榱懔?。這樣，不僅便于求解方程，而且也是我們以后研究控制系統(tǒng)時(shí)假設(shè)零初始條件的依據(jù)。需要注意的是，在式（2-19）中之所以不寫(xiě)作，而用表示，原因是那一段磁化曲線不是一直線，即，表示電感L不是一個(gè)常數(shù)，因而用反電動(dòng)勢(shì)來(lái)表示。

把磁化曲線在平衡工作點(diǎn)處展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)略去上式中項(xiàng)及其后面所有的高階項(xiàng)，并令 則式（2-21）便簡(jiǎn)化為（2-21）或?qū)懽魇街袨槠胶夤ぷ鼽c(diǎn)A處的正切值。根據(jù)式（2-22），式（2-19）和式（2-20）可改寫(xiě)為其中，。（2-22）（2-23）（2-24）

描述自動(dòng)控制系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的方程式實(shí)際上是增量方程式。為了書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)單起見(jiàn)，在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中常把表示增量的符號(hào)“Δ”省去。去掉增量符號(hào)“Δ”后的上述兩式，顯然和式（2-5）、（2-6）具有完全相同的形式。

不難看出，隨著發(fā)電機(jī)平衡工作點(diǎn)的不同，其時(shí)間常數(shù)和放大倍數(shù)也不同。由線性化引起的誤差的大小與非線性的程度和工作點(diǎn)偏移的大小有關(guān)。

嚴(yán)格地說(shuō)，經(jīng)過(guò)線性化后的所得的系統(tǒng)微分方程式，只是近似地表征系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況。實(shí)踐證明，對(duì)于絕大多數(shù)的控制系統(tǒng)，經(jīng)過(guò)線性化后所得的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，能以較高的精度反映系統(tǒng)的實(shí)際運(yùn)動(dòng)過(guò)程，所以線性化方法是很有實(shí)際意義的。

疊加原理：可疊加性和均勻性線性系統(tǒng)的基本特性當(dāng)f(t)=f1(t)時(shí)，上述方程的解為x