3.9 切線長(zhǎng)定理（A卷基礎(chǔ)鞏固） -2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步分層練習(xí)（基礎(chǔ)鞏固＋能力拓展北師大版）（解析版）

3.9切線長(zhǎng)定理學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________A卷（基礎(chǔ)鞏固）一、選擇題1．（2021—2022廣西柳江九年級(jí)期中）如圖，P為⊙外一點(diǎn)，PA、PB分別切⊙于A、B兩點(diǎn)，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理即可得到答案.【詳解】因?yàn)镻A和PB與⊙相切，根據(jù)切線長(zhǎng)定理，所以PA＝PB＝3，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查切線長(zhǎng)定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線長(zhǎng)定理.2．如圖，從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，如果，，那么弦AB的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用切線長(zhǎng)定理得到，再利用可判斷為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解．【詳解】解：，PB為的切線，，，為等邊三角形，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查切線長(zhǎng)定理，掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．3．如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為8，以上一點(diǎn)為圓心的圓分別與邊，相切，則的半徑為（）A． B．3 C．4 D．【答案】A【分析】連接，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及含30°的直角三角形的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)與的切點(diǎn)為，連接，，∵等邊三角形的邊長(zhǎng)為8，∴，，∵圓分別與邊，相切，∴，∴，∴，∵，∴，∴的半徑為，故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查圓的半徑，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線進(jìn)行求解.4．如圖，.分別與相切于.兩點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接.，若，則的度數(shù)為（）.A．； B．； C．； D．.【答案】D【分析】連接.，由切線的性質(zhì)可知，由四邊形內(nèi)角和可求出的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理（一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半）可知的度數(shù).【詳解】解：連接.，∵.分別與相切于.兩點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線性質(zhì)及圓周角定理，靈活應(yīng)用切線性質(zhì)及圓周角定理是解題的關(guān)鍵.5．（2022·海南文昌·九年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝10，CD＝12，則四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．44 B．42 C．46 D．47【答案】A【分析】根據(jù)圓的切線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝AD+BC+AB+CD＝44，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的外切四邊形的周長(zhǎng)問題，掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2021—2022山東東營(yíng)市九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，、、是的切線，切點(diǎn)分別為、、，若，，則的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理。可得到AP=AC，BP=BD，即可求解．【詳解】解：∵、、是的切線，∴AP=AC，BP=BD，∵，，∴AP=3，∴BD=BP=AB-AP=2．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線長(zhǎng)定理，熟練掌握從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角是解題的關(guān)鍵．7．（2021—2022山東青島九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，PA＝10，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA、PB于C、D兩點(diǎn)，則△PCD的周長(zhǎng)是（）A．10 B．18 C．20 D．22【答案】C【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得出PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，求出△PCD的周長(zhǎng)是PC+CD+PD＝PA+PB，代入求出即可．【詳解】解：∵PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，CD切⊙O于點(diǎn)E，∴PA＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周長(zhǎng)是PC+CD+PD＝PC+AC+DB+PD＝PA+PB＝10+10＝20．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出△PCD的周長(zhǎng)＝PA+PB．8．（2021—2022遼寧臺(tái)安九年級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，⊙O與△ABC的三邊相切于點(diǎn)D、E、F，則AD長(zhǎng)為（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】B【分析】根據(jù)題意，勾股定理求得的長(zhǎng)，設(shè)，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得則，，根據(jù)即列出一元一次方程即可求得的值，即的長(zhǎng)【詳解】解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝＝13，∵⊙O與Rt△ABC的三邊相切于點(diǎn)D、E、F，，設(shè)，則，即解得故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理，熟練掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．9．（2021—2022山東冠縣九年級(jí)期中）如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，線段PO交⊙O于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作⊙O的切線交PA于點(diǎn)B．若PC＝4，AB＝3，則⊙O的半徑等于（）A．4 B．5 C．6 D．12【答案】C【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到BC＝BA，根據(jù)勾股定理求出PB，根據(jù)切線的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)⊙O的半徑為r，由切線長(zhǎng)定理得，BC＝BA＝3，∵BC是⊙O的切線，∴∠BCP＝90°，∴PB＝＝5，∴AP＝PB+AB＝8，∵PA是⊙O的切線，∴∠OAP＝90°，∴AP2+OA2＝OP2，即82+r2＝（4+r）2，解得，r＝6，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線長(zhǎng)定理，勾股定理，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．二、填空題10．如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB分別和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一點(diǎn)，過C作⊙O的切線分別交PA、PB于D、E，若△PDE的周長(zhǎng)為20cm，則PA長(zhǎng)為__________．【答案】10cm【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理，可將△PDE的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為兩條切線長(zhǎng)的和，已知了△PDE的周長(zhǎng)，即可求出切線的長(zhǎng)．【詳解】解：根據(jù)切線長(zhǎng)定理得：AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，則△PDE的周長(zhǎng)＝2PA＝20，PA＝10．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是切線長(zhǎng)定理，三角形的周長(zhǎng)的計(jì)算，掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵11．（2021—2022四川自貢市九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，，，是的切線，，，為切點(diǎn)，如果，，則的長(zhǎng)為__________．【答案】2【分析】由是的切線，切點(diǎn)為證明，再利用線段的和差可得答案.【詳解】解：是的切線，切點(diǎn)為，，故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查的是切線長(zhǎng)定理，熟練的運(yùn)用切線長(zhǎng)定理證明是解本題的關(guān)鍵.12．（2021—2022北京九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，PA，PB是的切線，A，B為切點(diǎn)，AC是的直徑，，則的度數(shù)為______．【答案】40°【解析】【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得等腰△PAB，運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，∴PA=PB，∠PAC=90°，∵，∴∠PAB=90°﹣∠BAC=90°﹣20°=70°．∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA=70°，∴∠P=180°﹣70°×2=40°．故答案為40°．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理和切線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，求一個(gè)角的余角，利用切線長(zhǎng)得出PA=PB是解題的關(guān)鍵．13．（2021—2022山東九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，RtABC中，∠C=90°，若AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為5cm、4cm、3cm，則ABC的內(nèi)切圓半徑為_______．【答案】1【分析】因?yàn)椤袿為△ABC的內(nèi)切圓，所以AE=AD，CE=CF，BD=BF；易證四邊形OECF是正方形，則列方程即可求得⊙O的半徑r．【詳解】解：連接圓心O和各個(gè)切點(diǎn)．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，AC=3，∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F分別為切點(diǎn)，∴AE=AD，CE=CF，BD=BF，OE⊥AC，OF⊥BC，∴∠OFC=∠OEC=∠C=90°，∴四邊形OECF是矩形；∵OE=OF，∴四邊形OECF是正方形；∵⊙O的半徑為r，∴CE=CF=r，AE=AD=3-r，BD=BF=4-r，∴3-r+4-r=5，∴r=1，∴△ABC的內(nèi)切圓的半徑r=1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)．注意切線長(zhǎng)定理，還要注意直角三角形的內(nèi)切圓中，如果連接過切點(diǎn)的半徑，可以得到一個(gè)正方形，借助于方程即可求得半徑．14．（2021—2022江蘇淮安市九年級(jí)期中）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，∠OAB＝30°．則∠APB=________度；【答案】60【分析】先根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得，然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)即可得．【詳解】解：是的切線，，，，，是等邊三角形，，故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A的切線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、解答題15．（2022·天津西青·九年級(jí)期末）已知，，分別與相切于，，三點(diǎn)，，．（Ⅰ）如圖1，求的長(zhǎng)；（Ⅱ）如圖2，當(dāng)，時(shí)，連接，，求，的長(zhǎng)．【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ），．【分析】（Ⅰ）由切線長(zhǎng)定理可知BM=BA=1，CM=CD=3，則BC=BM+CM=4；（Ⅱ）如圖所示，連接OD，OM，OA，先證明Rt△OCD≌Rt△OCM得到∠OCD=∠OCM，同理可得∠OBA=∠OBM，即可求出∠OCM=30°，∠OBM=60°，OC=2OM，，由此即可求解．【詳解】解：（Ⅰ）∵AB，BC，CD都是圓O的切線，∴BM=BA=1，CM=CD=3，∴BC=BM+CM=4；（Ⅱ）如圖所示，連接OD，OM，OA，∵BC，DC都是圓O的切線，∴∠ODC=∠OMC=∠OMB=90°，CM=CD，又∵OC=OC，∴Rt△OCD≌Rt△OCM（HL），∴∠OCD=∠OCM，同理可得∠OBA=∠OBM，∵∠DCB=60°，AB∥CD，∴∠OCM=30°，∠ABM=120°∴OC=2OM，∠OBM=60°，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線長(zhǎng)定理，切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握切線長(zhǎng)定理和切線的性質(zhì)．16．（2021—2022浙江仙居縣九年級(jí)期中）如圖，AB，BC，CD分別與⊙O相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）求⊙O的半徑長(zhǎng)．【答案】（1）BC＝10cm；（2）⊙O的半徑為cm【分析】（1）根據(jù)切線長(zhǎng)定理，可得∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠DCB，再由AB∥CD，可得到∠OBC+∠OCB＝90°，從而得到∠BOC＝90°，即可求解；（2）連接OF，由BC是⊙O的切線，再由S△BOC＝OB?OC＝OF?BC，即可求解．【詳解】解：（1）∵AB，BC，CD分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠DCB，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠BOC＝90°，∵OB＝6cm，OC＝8cm，∴BC＝＝10cm；（2）如圖，連接OF，∵BC是⊙O的切線，∴OF⊥BC，∵S△BOC＝OB?OC＝OF?BC，∴6×8＝10×OF，解得：OF＝cm，即⊙O的半徑為cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線長(zhǎng)定理，勾股定理，切線的性質(zhì)，熟練掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．17．（2021—2022北京人大附中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，在AB上取一點(diǎn)E，以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點(diǎn)D，若AE＝2cm，AD＝4cm．（1）求⊙O的直徑BE的長(zhǎng)；（2）求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）BE=6cm（2）6cm【分析】（1）連接OD，設(shè)半徑為r，在Rt△AOD中，AO2=AD2+DO2，得到（2+r）2=42+r2故可求解；（2）根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到CD=BC，在Rt△ABC中，由勾股定理知，AB2＋BC2＝AC2得到82＋CD2＝（4＋CD）2，故可求解．【詳解】解：（1）連接OD，設(shè)半徑為r則BO=DO=EO=r∴AO=2+r在Rt△AOD中，AO2=AD2+DO2∴（2+r）2=42+r2解得r=3∴BE=6；（2）∵AC、BC都是⊙O的切線∴CD=BC∵AB=AE+BE=8，在Rt△ABC中，由勾股定理知，AB2＋BC2＝AC2即82＋CD2＝（4＋CD）2，解得CD＝6cm．【點(diǎn)睛】此題主要考查切線的性質(zhì)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知勾股定理、切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用．18．（2022·天津南開·九年級(jí)期末）如圖，AC是⊙O的直徑，PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)分別是點(diǎn)A、B．（1）如圖1，若∠BAC＝25°，求∠P的度數(shù)．（2）如圖2，若M是劣弧AB上一點(diǎn)，∠AMB＝∠AOB，BC＝2，求AP的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由題意先根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到PA=PB，則利用等腰三角形的性質(zhì)得∠PAB=∠PBA，再根據(jù)切線的性質(zhì)得，于是利