4.1平方根（原卷版）

4.1平方根【推本溯源】1.如圖，網(wǎng)格邊長(zhǎng)為1，可以算出下面線段長(zhǎng)度嗎？2.在初一的時(shí)候我們有學(xué)過(guò)無(wú)理數(shù)，我們用數(shù)軸來(lái)表示出正方形的斜邊長(zhǎng)度。正方形的邊長(zhǎng)為1時(shí)，斜邊為多少？設(shè)斜邊為a，所以a2=2，那a等于多少呢？帶著疑問(wèn)，我們看下面題目：當(dāng)x2=4時(shí)，因?yàn)?2=4，（-2）2=4，所以x=±2；當(dāng)x2=100時(shí)，因?yàn)?02=100，（-10）2=100，所以x=±10；當(dāng)x2=169時(shí)，因?yàn)?32=169，（-13）2=169，所以x=±13；因此，x2=a（a＞0）成立的數(shù)，它們互為。如果x2=a（a≥0），那么x叫做a的，也稱(chēng)為。一個(gè)正數(shù)a的正的平方根，記作“EQ\R(,a)”，；正數(shù)a的負(fù)的平方根記作“－EQ\R(,a)”．這兩個(gè)平方根合起來(lái)記作“±EQ\R(,a)”，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”。所以當(dāng)a2=2時(shí)，a＝，∵a為邊長(zhǎng)，為正數(shù)∴a=。3.填寫(xiě)括號(hào)里面的正確數(shù)字（）2＝9，（）2＝16，（）2＝EQ\F(9,25)；（）2＝0，（）2＝－EQ\F(4,9)，（）2＝－4．有什么發(fā)現(xiàn)？求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做。4.我們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)正數(shù)的平方根有個(gè)，它們互為，我們把正的平方根叫做這個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根。比如：叫做100的算術(shù)平方根，叫做169的算術(shù)平方根。填寫(xiě)下面橫線上面的內(nèi)容。（1）叫做a的平方根，也稱(chēng)為（2）.一般地，正數(shù)a的正的平方根記作，負(fù)的平方根記作，正數(shù)a的平方根記作讀作。（3）一個(gè)正數(shù)有個(gè)平方根，它們；0的平方根；數(shù)沒(méi)有平方根。（4）求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做；開(kāi)平方運(yùn)算與平方運(yùn)算是互逆的運(yùn)算.（5）的算術(shù)平方根為5.填空（1）=（2）（3）（4）（5）（6）因此，可以得到(a≧0)=(a≦0)同時(shí)具有性，即：（1）a≥0（2）≥0【解惑】例1：這7個(gè)數(shù)中，無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例2：若，則的值等于(

)A．2 B．0 C．1 D．例3：實(shí)數(shù)的算術(shù)平方根是（）A． B． C． D．例4：已知和是一個(gè)數(shù)的平方根，則這個(gè)數(shù)是_____．例5：利用平方根求下列x的值：(1)(2)【摩拳擦掌】1．（2023春·廣東肇慶·七年級(jí)肇慶市第一中學(xué)?？计谥校┤?，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．22．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）在《九章算術(shù)》一書(shū)中，對(duì)開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)起了一個(gè)名字，叫做“面”．這是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)對(duì)無(wú)理數(shù)的最早記載．下面符合“面”的描述的數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2023春·福建莆田·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，小明將一張長(zhǎng)方形紙片沿著虛線折疊，得到兩個(gè)面積分別為25和9的小正方形，則陰影部分的面積為（

）

A．6 B．8 C．10 D．124．（2023春·廣東梅州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若，則_______．5．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）已知的平方根是，則__，已知，則__．6．（2023春·福建龍巖·七年級(jí)統(tǒng)考期中）根據(jù)下表回答：的算術(shù)平方根是___________．x162567．（2023春·廣東東莞·八年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：__________．8．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，由一個(gè)大正方形和一個(gè)小正方形再加上一個(gè)小長(zhǎng)方形（陰影部分）拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形．已知大正方形的面積為9，小正方形的面積為4，求圖中小長(zhǎng)方形（陰影部分）的面積．

9.（2023春·廣東東莞·七年級(jí)?？计谥校┤簦?1)求x，y的值；(2)求的平方根．10．（2023·河北·統(tǒng)考二模）在數(shù)學(xué)夏令營(yíng)活動(dòng)中，李老師設(shè)計(jì)了一款游戲：四名同學(xué)分別代表一種運(yùn)算，這四名同學(xué)可任意排列；每次排列代表一種運(yùn)算順序，一名同學(xué)負(fù)責(zé)說(shuō)數(shù)，其他同學(xué)進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果既對(duì)又快者獲勝．下面我們用四張卡片分別代表四名同學(xué)（如下），每張卡片上寫(xiě)有他們代表的運(yùn)算．

比如，說(shuō)的數(shù)是1，這四名同學(xué)從左到右的排列順序（后面簡(jiǎn)稱(chēng)為排列順序）為A、B、C、D，那么經(jīng)過(guò)A、B、C、D的順序運(yùn)算后，結(jié)果分別為2，3，9，11，所以結(jié)果為11．【體驗(yàn)】先列式，再計(jì)算：(1)如果說(shuō)的數(shù)是，四名同學(xué)的排列順序?yàn)锽，C，A，D，運(yùn)算的結(jié)果是多少？(2)如果說(shuō)的數(shù)是，四名同學(xué)的排列順序?yàn)镈，C，A，B，運(yùn)算結(jié)果是9，是多少？(3)如果甲乙兩同學(xué)說(shuō)的數(shù)分別為，，按照的順序運(yùn)算后，要使乙同學(xué)的結(jié)果大，求的取值范圍．【知不足】1．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，第個(gè)單項(xiàng)式是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)?？计谀┫铝懈鲾?shù)中沒(méi)有平方根的數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，已知的度數(shù)之比是，，則為（）A． B． C． D．4．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）若a，b滿(mǎn)足等式，則___________．5．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)統(tǒng)考期中）若一個(gè)正數(shù)的平方根分別為和，則的值為_(kāi)_______.6．（2023秋·廣東梅州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）若與互為相反數(shù)，則的值是_____．7．（2023春·廣東肇慶·七年級(jí)?？计谥校┮阎?，則的值是_________．8．（2022秋·山東威海·七年級(jí)校聯(lián)考期中）（1）計(jì)算：（2）已知，求的平方根9．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）(1)計(jì)算：；

(2)化簡(jiǎn)：．10．（2022春·廣東江門(mén)·七年級(jí)江門(mén)市第一中學(xué)?？计谥校┯^察下列等式.并回答下列問(wèn)題：①；②；③；④；……(1)請(qǐng)寫(xiě)出第⑤個(gè)等式：_______；(2)寫(xiě)出你猜想的第個(gè)等式：_________；（用含的式子表示）(3)計(jì)算．【一覽眾山小】1．（2023春·廣東湛江·七年級(jí)?？计谥校┤?，則的值為(

)A． B． C．2 D．12．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記，則其面積，這個(gè)公式也被稱(chēng)為海倫—秦九韶公式．若一個(gè)三角形的a、b、c、p為四個(gè)連續(xù)正整數(shù)，則此三角形的面積為_(kāi)_______．3．（2023春·湖北咸寧·七年級(jí)咸寧市溫泉中學(xué)?？计谥校┰诓莞寮埳嫌?jì)算：①；③；③；④，觀察你計(jì)算的結(jié)果，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫(xiě)出下面式子的值：______．4．（2023春·廣東肇慶·七年級(jí)?？计谥校┮阎?，則的算術(shù)平方根是_____．5．（2023春·廣東廣州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，求的值．6．（2023春·廣東珠?！て吣昙?jí)珠海市紫荊中學(xué)桃園校區(qū)?？计谥校├糜?jì)算器計(jì)算出的下表中各數(shù)的算術(shù)平方根如下：…………(1)分析發(fā)現(xiàn)：被開(kāi)方數(shù)擴(kuò)大倍，它的算術(shù)平方根擴(kuò)大倍；(2)若一塊長(zhǎng)方形紙片的面積是400cm2，長(zhǎng)與寬之比為2：1，求這塊長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)與寬（精確到，，．7．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校?？计谥校┮阎?，且，求的值．8．（2023春·廣東東莞·七年級(jí)校考階段練習(xí)）已知的平方根是，的算術(shù)平方根是4，(1)求，的值．(2)求的平方根．9．（2023春·廣東東莞·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）求x的值10．（2022春·廣東肇慶·八年級(jí)期中）已知a、b、c滿(mǎn)足．(1)求a、b、c的值；(2)以a、b、c為邊能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，此三角形是什么形狀？并求出三角形的面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)x的平方根分別為a和(1)若，則的值為_(kāi)________，x的值為_(kāi)_________；(2)當(dāng)時(shí)，求a；(3)若，求x的值．12．（2023春·廣東東莞·七年級(jí)校考期中）先觀察下列各式：；；；；(1)計(jì)算：；(2)n為正整數(shù)，觀察并歸納，請(qǐng)寫(xiě)出：；(3)應(yīng)用上述結(jié)論，請(qǐng)計(jì)算：的值．13．（2023春·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，數(shù)學(xué)興趣小組的幾名同學(xué)探究用n個(gè)面積為的小正方形紙片剪拼成一個(gè)面積為的大正方形．下面是他們探究的部分結(jié)果：

(1)如圖1，