江西省南昌市江西師大附中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁江西省南昌市江西師大附中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．橢圓的焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的2倍，則的值為（

）A． B．C．2 D．42．設(shè)圓，圓，則圓的位置關(guān)系（）A．內(nèi)含 B．外切 C．相交 D．相離3．用1，2，3，4可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．24 C．36 D．484．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線l交C于A、B兩點(diǎn)，則的周長為（

）A．2 B．4 C． D．5．直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，則斜率的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知?jiǎng)訄AC與圓外切，與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．雙曲線一支7．一個(gè)工業(yè)凹槽的截面是一條拋物線的一部分，它的方程是，在凹槽內(nèi)放入一個(gè)清潔鋼球（規(guī)則的球體），要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部，則清潔鋼球的最大半徑為（

）A． B．1 C．2 D．8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，傾斜角為的直線l過右焦點(diǎn)且與雙曲線的左支交于M點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知點(diǎn)P在圓上，點(diǎn).則（

）A．點(diǎn)P到直線AB的距離小于10 B．圓上到直線AB的距離等于1的點(diǎn)只有1個(gè)C．當(dāng)最小時(shí)， D．當(dāng)最大時(shí)，10．已知橢圓，分別為它的左右焦點(diǎn)，A，B分別為它的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的有（

）A．存在P使得 B．橢圓C的弦MN被點(diǎn)平分，則C．，則的面積為9 D．直線PA與直線PB斜率乘積為定值11．設(shè)M為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，為上下焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則或6B．雙曲線C與雙曲線的離心率相同C．若點(diǎn)，M在雙曲線C的上支，則最小值為D．過的直線l交C于G、H不同兩點(diǎn)，若，則l有2條12．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則點(diǎn)到軸的距離為B．過點(diǎn)與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有條C．是準(zhǔn)線上一點(diǎn)，是直線與的一個(gè)交點(diǎn)，若，則D．三、填空題13．以拋物線的焦點(diǎn)為圓心，且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為.14．現(xiàn)有4名同學(xué)報(bào)名參加3個(gè)不同的課后服務(wù)小組，每人只能報(bào)一個(gè)小組，若每個(gè)小組至少要有1人參加，則共有種不同的安排方法.15．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，AB是橢圓C的任意兩點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，且，則橢圓C的離心率的最大值是.16．已知F是拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則的最小值是.四、解答題17．三角形三個(gè)頂點(diǎn)是(1)求AB邊上的高所在直線的方程；(2)直線l過點(diǎn)A，且B，C兩點(diǎn)到直線l的距離相等，求直線l的方程.18．已知以為圓心的圓，過直線上一點(diǎn)作圓的切線，切線段（為切點(diǎn)）長的最小值為.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若圓與圓相交于，兩點(diǎn)，求兩個(gè)圓公共弦AB的長.19．如圖，在四棱錐中，平面，，，是棱上一點(diǎn)，且，.

(1)若，求證：平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長.20．已知橢圓焦距為，離心率為.(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)作直線交曲線于、兩個(gè)不同的點(diǎn)，記的面積為，求的最大值.21．已知拋物線上有兩點(diǎn)，且直線過點(diǎn)．(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若拋物線上有一點(diǎn)，縱坐標(biāo)為4，拋物線上另有兩點(diǎn)，且直線與的斜率滿足重心的橫坐標(biāo)為4，求直線的方程．22．已知雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，兩條漸近線的夾角為，直線交雙曲線于兩點(diǎn).(1)求雙曲線的方程.(2)若動(dòng)直線經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，是否存在軸上的定點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．B2．C3．B4．D5．C6．D7．B8．A9．ACD10．ABC11．ABC12．CD13．14．15．

16．17．(1)(2)或【分析】（1）先根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式求解斜率，再利用垂直關(guān)系求出高的斜率，代入點(diǎn)斜式化為一般式方程即可；（2）設(shè)出直線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式建立方程求解即可.【詳解】（1）直線的斜率，邊上的高與垂直，所以高所在的直線斜率為，故AB邊上的高所在直線的方程為，即.（2）易知直線斜率存在，設(shè)直線：，即.因?yàn)锽，C兩點(diǎn)到直線l的距離相等，所以，化簡得，平方得，解得或，所以直線的方程為或，即或.18．(1)(2)【分析】（1）求出圓心到直線，即可求出圓的半徑，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）首先判斷兩圓相交，兩圓方程相減即可得到公共弦方程，再求出弦長.【詳解】（1）因?yàn)閳A心到直線的距離，設(shè)圓的半徑為，又過直線上一點(diǎn)作圓的切線，切線段（為切點(diǎn)）長的最小值為，所以，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）圓：的圓心，半徑，圓的圓心為，半徑，所以，則，所以兩圓相交，則相交弦：，則圓心到距離，所以.

19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，證明出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，結(jié)合求出的值，即可得解.【詳解】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，且，所以，，又因?yàn)?，則，所以，，因?yàn)槠矫?，平面，故平?（2）解：因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?，，則、、、，設(shè)，其中，則，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，由題意可得，整理可得，解得，此時(shí)點(diǎn)為的中點(diǎn)，故.20．(1)(2)【分析】（1）由已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，求出這三個(gè)量的值，即可得出橢圓的方程；（2）分析可知，直線直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將該直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用基本不等式可求出的最大值.【詳解】（1）解：由題意可得，解得，所以，橢圓的方程為.（2）解：當(dāng)直線與軸重合時(shí)，、、三點(diǎn)重合，不符合題意，易知點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，則，

由韋達(dá)定理可得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．21．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，再由，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由三角形重心坐標(biāo)公式結(jié)合，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）

由題意知直線的斜率不可能為0，設(shè)，直線的方程為，由得，，即，即，即，將代入，得，則，則，則，由，解得，故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）

由拋物線方程可得點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，則，則，且，則，故．又，則，又，可得直線的中點(diǎn)坐標(biāo)為，故由點(diǎn)斜式得直線的方程為5），即．22．(1)(2)存在，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)【分析】（1）由漸近線夾角得或，結(jié)合雙曲線所過點(diǎn)可求得，由此可得雙曲線方程；（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，可知；假設(shè)直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可化簡整理，根據(jù)等式恒成立的求解方法可得的值.【詳解】（1）兩條漸近線的夾角為，漸近線的斜率或，即或；當(dāng)時(shí)，由得：，，雙曲線的方程為：；當(dāng)時(shí)，方程無解；綜上所述：雙曲線的方程為：.（2）由題意得：，假設(shè)存在定點(diǎn)滿足題意，則恒成立；方法一：①當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，由得：，，，，，，整理可得：，由得：；當(dāng)時(shí)，恒成立；②當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，則，，當(dāng)時(shí)，，，成立；綜上所述：存在，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).方法二：①當(dāng)直線斜率為時(shí)，，則，，，，，，解得：；②當(dāng)直線斜率不為時(shí)，設(shè)，，，由得：，，，，；當(dāng)