江蘇省南京市南京師大附中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁江蘇省南京市南京師大附中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．若連續(xù)拋兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別是，，則點(diǎn)在直線上的概率是（

）A． B． C． D．2．設(shè)為實(shí)數(shù)，已知直線：，：，若，則（

）A． B．2 C．2或 D．5或3．若雙曲線（，）的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，則（

）A． B． C． D．4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡與圓的位置關(guān)系是（

）A．外離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切5．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B．4 C． D．6．已知拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，經(jīng)過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若,則拋物線C的方程為（

）A．x2＝8y B．x2＝4yC．y2＝8x D．y2＝4x7．設(shè)為正實(shí)數(shù)，橢圓：長軸的兩個端點(diǎn)是，，若橢圓上存在點(diǎn)滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作，滿足且，，若的“歐拉線”與圓：（）相切，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓上點(diǎn)到直線的最小距離為B．圓上點(diǎn)到直線的最大距離為C．點(diǎn)在圓上，當(dāng)最小時，D．點(diǎn)在圓上，當(dāng)最大時，二、多選題9．已知一組樣本數(shù)據(jù)2，4，4，5，7，8，則這組數(shù)據(jù)的（

）A．極差為6 B．眾數(shù)為4 C．方差為4 D．中位數(shù)為510．下列化簡正確的是（

）A． B．C． D．11．若拋物線（）的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn).過點(diǎn)作直線與拋物線交于點(diǎn)，且（），直線與拋物線的另一交點(diǎn)為（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊）.下列結(jié)論正確的是（

）A．直線的斜率為 B．C． D．12．已知曲線：是雙曲線，下列說法正確的是（

）A．直線是曲線的一條漸近線B．曲線的實(shí)軸長為C．為曲線的其中一個焦點(diǎn)D．當(dāng)為任意實(shí)數(shù)時，直線：與曲線恒有兩個交點(diǎn)三、填空題13．過直線與的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程是.14．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在橢圓上且在x軸上方．若線段的中點(diǎn)M在以原點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是．15．設(shè)是正實(shí)數(shù)，已知函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是.16．雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點(diǎn).已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過雙曲線右支上任意一點(diǎn)作其切線，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則點(diǎn)的軌跡方程為.四、解答題17．某中學(xué)舉辦科技文化節(jié)活動，報名參加數(shù)學(xué)史知識競賽的同學(xué)需要通過兩輪選拔.第一輪為筆試，若筆試不合格則不能進(jìn)入下一輪選拔；若筆試合格，則進(jìn)入第二輪現(xiàn)場面試.最終由面試合格者代表年級組參加全校的決賽，兩輪選拔之間相互獨(dú)立.現(xiàn)有甲、乙、丙三名學(xué)生報名參加本次知識競賽，假設(shè)甲、乙、丙三名考生筆試合格的概率分別是，，，面試合格的概率分別是，，.(1)求甲、乙兩位考生中有且只有一位學(xué)生獲得決賽資格的概率；(2)求三人中至少有一人獲得決賽資格的概率.18．設(shè)等差數(shù)列的前項和為.已知，.(1)求；(2)當(dāng)為何值時，最?。坎⑶蟠俗钚≈?19．在中，角，，所對的邊分別為，，且滿足.(1)求角的值；(2)若，且的面積為，求的周長.20．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，且.(1)求拋物線的方程，并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，求直線的方程.21．已知橢圓：和圓：，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的切線，交圓于，.

(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，證明：直線；(2)求線段的長.22．已知點(diǎn)，在雙曲線：上，過點(diǎn)作直線交雙曲線于點(diǎn)，（不與點(diǎn)，重合）.證明：(1)記點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸，且與雙曲線的右支交點(diǎn)為時，，，三點(diǎn)共線；(2)直線與直線的交點(diǎn)在定圓上，并求出該圓的方程.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C2．D3．A4．C5．C6．C7．B8．C9．ABC10．ACD11．CD12．ACD13．14．.15．16．其中17．(1).(2).【詳解】（1）設(shè)事件A表示“甲考生獲得決賽資格”，設(shè)事件B表示“乙考生獲得決賽資格”，由題意可知事件A、B相互獨(dú)立.因?yàn)閮奢嗊x拔之間相互獨(dú)立所以，.則甲、乙兩位考生中有且只有一位學(xué)生獲得決賽資格的概率為：所以甲、乙兩位考生中有且只有一位學(xué)生獲得決賽資格的概率.（2）設(shè)事件C表示“丙考生獲得決賽資格”，由題意可知事件A、B、C相互獨(dú)立.則.因?yàn)槭录叭酥兄辽儆幸蝗双@得決賽資格”的對立事件是“三人都沒有獲得決賽資格”所以三人中至少有一人獲得決賽資格的概率為所以三人中至少有一人獲得決賽資格的概率.18．(1)(2)8，4【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，又，，所以，解得，所以；（2）由（1）得，當(dāng)時，，當(dāng)時，遞增，當(dāng)時，遞減，又，所以的最小值為7；當(dāng)時，，在上遞增，又，所以的最小值為4，綜上：的最小值為4.19．(1)(2)【詳解】（1）由正弦定理得，整理得，所以，因?yàn)椋?（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，則，由余弦定理得，則，所以，則，所以的周長為.20．(1)，焦點(diǎn)為(2)【詳解】（1）拋物線：的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，且，所以，解得，所以拋物線方程為，焦點(diǎn)為.（2）由（1）可知拋物線的焦點(diǎn)，顯然直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，、，由，消去整理得，所以，則，，所以，，又，所以、，因?yàn)?，所以，即，即，解得，所以直線的方程為，即.21．(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題意切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，聯(lián)立，消得，則，所以，即，所以；（2）設(shè)，則，橢圓：得長半軸長為，短半軸長為，當(dāng)過點(diǎn)的一條切線斜率不存在時，不妨取這條切線方程為，此時，則，解得，而直線與橢圓相切，所以當(dāng)過點(diǎn)的一條切線斜率不存在時，，當(dāng)過點(diǎn)的切線斜率存在時，則，設(shè)切線方程為，聯(lián)立，消得，則，化簡得，所以，所以，綜上所述，，所以線段為圓的直徑，所以.22．(1)證明見解析.(2)證明見解析；.【詳解】（1）由題意，當(dāng)直線平行于軸時，方程為，且與雙曲線的右支交點(diǎn)為，則