湖北省黃石市大冶一中2025屆數學高一上期末學業(yè)水平測試試題含解析

湖北省黃石市大冶一中2025屆數學高一上期末學業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知集合，且，則的值可能為（）A. B.C.0 D.12．函數的大致圖象是（）A. B.C. D.3．已知指數函數，將函數的圖象上的每個點的橫坐標不變，縱坐標擴大為原來的倍，得到函數的圖象，再將的圖象向右平移個單位長度，所得圖象恰好與函數的圖象重合，則a的值是（）A. B.C. D.4．已知函數與的圖像關于對稱，則（）A.3 B.C.1 D.5．下列關于函數，的單調性敘述正確的是（）A.在上單調遞增，在上單調遞減B.在上單調遞增，在上單調遞減C.在及上單調遞增，在上單調遞減D.在上單調遞增，在及上單調遞減6．若某商店將進貨單價為6元的商品按每件10元出售，則每天可銷售100件.現準備采用提高售價、減少進貨量的方法來增加利潤.已知這種商品的售價每提高1元，銷售量就要減少10件，那么要保證該商品每天的利潤在450元以上，售價的取值范圍是（）A. B.C. D.7．設a是方程的解,則a在下列哪個區(qū)間內()A.(0,1) B.(3,4)C.(2,3) D.(1,2)8．若，則的最小值為（）A. B.C. D.9．函數在區(qū)間（0,1）內的零點個數是A.0 B.1C.2 D.310．已知向量和的夾角為，且，則A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數的圖象一定過定點，則點的坐標是________.12．已知函數在區(qū)間上是增函數，則下列結論正確是__________（將所有符合題意的序號填在橫線上）①函數在區(qū)間上是增函數；②滿足條件的正整數的最大值為3；③.13．已知=，則=_____.14．冪函數的圖象經過點，則=____.15．函數一段圖象如圖所示，這個函數的解析式為______________.16．從2008年京津城際鐵路通車運營開始，高鐵在過去幾年里快速發(fā)展，并在國民經濟和日常生活中扮演著日益重要的角色.下圖是2009年至2016年高鐵運營總里程數的折線圖圖（圖中的數據均是每年12月31日的統(tǒng)計結果).根據上述信息下列結論中，所有正確結論的序號是____①2015年這一年,高鐵運營里程數超過0.5萬公里;②2013年到2016年高鐵運營里程平均增長率大于2010到2013高鐵運營里程平均增長率;③從2010年至2016年，新增高鐵運營里程數最多的一年是2014年;④從2010年至2016年，新增高鐵運營里程數逐年遞增;三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．求函數的最小正周期18．汽車智能輔助駕駛已開始得到應用，其自動剎車的工作原理是用雷達測出車輛與前方障礙物之間的距離（并集合車速轉化為所需時間），當此距離等于報警距離時就開始報警提醒，等于危險距離時就自動剎車．若將報警時間劃分為4段，分別為準備時間、人的反應時間、系統(tǒng)反應時間、制動時間，相應的距離分別為，，，，如下圖所示．當車速為（米/秒），且時，通過大數據統(tǒng)計分析得到下表給出的數據（其中系數隨地面濕滑程度等路面情況而變化，）階段0.準備1.人的反應2.系統(tǒng)反應3.制動時間秒秒距離米米（1）請寫出報警距離（米）與車速（米/秒）之間的函數關系式；并求當，在汽車達到報警距離時，若人和系統(tǒng)均未采取任何制動措施，仍以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障礙物的最短時間（精確到0.1秒）；（2）若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報警距離均小于50米，則汽車的行駛速度應限制在多少千米/小時？19．已知函數（，且）.（1）求的值，并證明不是奇函數；（2）若，其中e是自然對數的底數，證明：存在不為0的零點，并求.注：設x為實數，表示不超過x的最大整數.參考數據：，，，.20．已知函數（1）根據函數單調性的定義，證明在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增；（2）令，若對，，都有成立，求實數取值范圍21．如圖，在中，，，點在的延長線上，點是邊上的一點，且存在非零實數，使.（Ⅰ）求與的數量積；（Ⅱ）求與的數量積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】化簡集合得范圍，結合判斷四個選項即可【詳解】集合，四個選項中，只有，故選：C【點睛】本題考查元素與集合的關系，屬于基礎題2、A【解析】利用奇偶性定義可知為偶函數，排除；由排除，從而得到結果.【詳解】為偶函數，圖象關于軸對稱，排除又，排除故選：【點睛】本題考查函數圖象的識別，對于此類問題通常采用排除法來進行排除，考慮的因素通常為：奇偶性、特殊值和單調性，屬于?？碱}型.3、D【解析】根據函數圖象變換求出變換后的函數解析式，結合已知條件可得出關于實數的等式，進而可求得實數的值.【詳解】由題意可得，再將的圖象向右平移個單位長度，得到函數，又因為，所以，，整理可得，因為且，解得.故選：D.4、B【解析】根據同底的指數函數和對數函數互為反函數可解.【詳解】由題知是的反函數，所以，所以.故選：B.5、C【解析】先求出函數的一般性單調區(qū)間，再結合選項判斷即可.【詳解】的單調增區(qū)間滿足：，即，所以其單調增區(qū)間為：，同理可得其單調減區(qū)間為：.由于，令中的，有，，所以在上的增區(qū)間為及.令中的，有，所以在上的減區(qū)間為.故選：C6、B【解析】根據題意列出函數關系式，建立不等式求解即可.【詳解】設售價為，利潤為，則，由題意，即，解得，即售價應定為元到元之間，故選：B.7、C【解析】設，再分析得到即得解.【詳解】由題得設，由零點定理得a∈(2,3).故答案為C【點睛】本題主要考查函數的零點和零點定理，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.8、B【解析】由，根據基本不等式，即可求出結果.【詳解】因為，所以，，因此，當且僅當，即時，等號成立.故選：B.9、B【解析】,在范圍內，函數為單調遞增函數．又，，，故在區(qū)間存在零點，又函數為單調函數，故零點只有一個考點：導函數，函數零點10、D【解析】根據數量積的運算律直接展開，將向量的夾角與模代入數據，得到結果【詳解】＝8+3－18＝8+3×2×3×－18＝－1，故選D.【點睛】本題考查數量積的運算，屬于基礎題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】令，得，再求出即可得解.【詳解】令，得，，所以點的坐標是.故答案：12、①②③【解析】!由題函數在區(qū)間上是增函數，則由可得為奇函數，則①函數在區(qū)間(,0)上是增函數，正確；由可得，即有滿足條件的正整數的最大值為3，故②正確；由于由題意可得對稱軸，即有.，故③正確故答案為①②③【點睛】本題考查正弦函數的圖象和性質，重點是對稱性和單調性的運用，考查運算能力，屬于中檔題13、##0.6【解析】尋找角之間的聯系，利用誘導公式計算即可【詳解】故答案為：14、2【解析】根據冪函數過點，求出解析式，再有解析式求值即可.【詳解】設，則，所以，故，所以.故答案為：15、【解析】由圖象的最大值求出A，由周期求出ω，通過圖象經過（，0），求出φ，從而得到函數的解析式【詳解】由函數的圖象可得A＝2，T＝＝4π，∴解得ω＝∵圖象經過（，0），∴可得：φ＝2kπ，k∈Z，解得：φ＝2kπ，k∈Z，取k=0∴φ，故答案為：y＝2sin（x）16、②③【解析】根據數據折線圖，分別進行判斷即可.【詳解】①看2014，2015年對應的縱坐標之差小于2-1.5=0.5，故①錯誤；②連線觀察2013年到2016年兩點連線斜率更大，故②正確；③2013年到2014年兩點縱坐標之差最大，故③正確；④看相鄰縱坐標之差是否逐年增加，顯然不是，有增有減，故④錯誤；故答案為：②③.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】利用三角函數恒等變換的應用化簡函數解析式為，利用余弦函數的周期公式即可計算得解【詳解】先證明出，.因為，同理可證.，，因此，原函數的最小正周期【點睛】關鍵點點睛：本題考查余弦型函數最小正周期的求解，求解的關鍵就是利用三角恒等變換思想化簡函數解析式，本題中用到了積化和差公式，，在解題時應先給與證明.18、（1）；2.4秒；（2）72（千米/小時）【解析】（1）由圖，分別計算出報警時間、人的反應時間、系統(tǒng)反應時間、制動時間，相應的距離，，，，代入中即可，，利用基本不等式求最值；（2）將問題轉化為對于任意，恒成立，利用分離參數求范圍即可.【詳解】（1）由題意得，所以當時，，（秒）即此種情況下汽車撞上固定障礙物的最短時間約為2.4秒（2）根據題意要求對于任意，恒成立，即對于任意，，即恒成立，由，得所以，即，解得所以，（千米/小時）19、（1），證明見解析（2）證明見解析，【解析】（1）利用，可證明；（2）利用零點的判定方法證明（5），可求得【小問1詳解】證明：，，，，不是奇函數；【小問2詳解】，，（5），（5），存在不為0的零點20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由單調性定義證明；（2）換元，設，，由（1）求得的范圍，然后由二次函數性質求得最大值和最小值，由最大值減去最小值不大于可得的范圍【小問1詳解】證明：設，，且，則，當時，∴，，∴，∴，即，∴函數在上單調遞減當時，∴，，∴，∴，即，∴函數在上單調遞增綜上，函數在上單調遞減，在上單調遞增【小問2詳解】解：由題意知，令，，由（1）可知函數在上單調遞減，在上單調遞增，∴，∵函數的對稱軸方程為，∴函數在上單調遞減，當時，取得最大值，，當時，取得最小值，，所以，，又∵對，，都有恒成立，∴，即，解得,又∵，∴k的取值范圍是21、(Ⅰ)-18；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)在中由余弦定理得，從而得到三角形為等腰三角形，可得，由數量積的定義可得．(Ⅱ)根據所給的向量式可得點在的角平分線上，故可得，所以，因為，所以得到．設設，則得到，，根據數量積的定義