山東省日照市莒縣第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

山東省日照市莒縣第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在四面體中，，，，，為線段的中點(diǎn)，則等于（）A B.C. D.2．如圖，兩個(gè)半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個(gè)半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切.已知時(shí)，在兩相交大圓的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自兩大圓公共部分的概率為（）A. B.C. D.3．函數(shù)f（x）＝的圖象大致形狀是（）A. B.C. D.4．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B.C. D.5．若點(diǎn)在橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.6．和的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)分別為（）A.， B.2，C.， D.1，7．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn).則C的方程為（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)，若，則（）A. B.0C.1 D.29．如圖，在直三棱柱中，且，點(diǎn)E為中點(diǎn)．若平面過(guò)點(diǎn)E，且平面與直線AB所成角和平面與平面所成銳二面角的大小均為30°，則這樣的平面有（）A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)10．以，為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.11．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于PQ兩點(diǎn)，若以線段PQ為直徑的圓與直線相切，則（）A.8 B.7C.6 D.512．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓的離心率是______14．定義在上的函數(shù)滿足：有成立且，則不等式的解集為_(kāi)_________15．過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作一條與其漸近線平行的直線，交于點(diǎn).若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則的離心率為-.16．不等式的解集是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且（1）求C；（2）若，求的最大值18．（12分）已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，求邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在直線的方程19．（12分）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的內(nèi)側(cè)，且的最小值為（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，直線，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）分別交直線于點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，若，求的值20．（12分）如圖長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的余弦值.21．（12分）已知，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍22．（10分）如圖，在直三棱柱中，，，.M為側(cè)棱的中點(diǎn)，連接，，CM.（1）證明：AC平面；（2）證明：平面；（3）求二面角的大小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解【詳解】由已知，故選：D2、C【解析】設(shè)D為線段AB的中點(diǎn)，求得,在中，可得.進(jìn)而求得兩大圓公共部分的面積為：,利用幾何概型計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)D為線段AB的中點(diǎn)，,在中，.兩大圓公共部分的面積為：,則該點(diǎn)取自兩大圓公共部分的概率為.故選：C.3、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A,C，然后利用特殊值判斷即可【詳解】解：由題得函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.所以函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A,C.當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)D，故選：B4、D【解析】求導(dǎo)后，利用求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：，則，由得，故選：D.5、C【解析】根據(jù)給定條件求出即可計(jì)算橢圓的離心率.【詳解】因點(diǎn)在橢圓，則，解得，而橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，所以橢圓離心率.故選：C6、C【解析】根據(jù)等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的概念分別求值即可.【詳解】和的等差中項(xiàng)為，和的等比中項(xiàng)為.故選：C.7、B【解析】根據(jù)已知和漸近線方程可得，雙曲線焦距，結(jié)合的關(guān)系，即可求出結(jié)論.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，則①.又因?yàn)闄E圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，雙曲線的焦距，即c＝3，則a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝，則雙曲線C的方程為.故選：B.8、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，直接代入即可求值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：D.9、B【解析】構(gòu)造出長(zhǎng)方體，取中點(diǎn)連接然后利用臨界位置分情況討論即可.【詳解】如圖，構(gòu)造出長(zhǎng)方體，取中點(diǎn)，連接則所有過(guò)點(diǎn)與成角的平面，均與以為軸的圓錐相切，過(guò)點(diǎn)繞且與成角，當(dāng)與水平面垂直且在面的左側(cè)（在長(zhǎng)方體的外面）時(shí)，與面所成角為75°（與面成45°，與成30°），過(guò)點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一周，90°顯然最大，到了另一個(gè)邊界（在面與之間）為15度，即與面所成角從75°→90°→15°→90°→75°變化，此過(guò)程中，有兩次角為30

，綜上，這樣的平面α有2個(gè)，故選：B.10、B【解析】根據(jù)焦點(diǎn)在x軸上，c=1，且過(guò)點(diǎn)，用排除法可得.也可待定系數(shù)法求解，或根據(jù)橢圓定義求2a可得.【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以C不正確；又因?yàn)閏=1，故排除D；將代入得，故A錯(cuò)誤，所以選B.故選：B11、C【解析】依據(jù)拋物線定義可以證明：以過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的弦PQ為直徑的圓與其準(zhǔn)線相切，則可以順利求得線段的長(zhǎng).【詳解】拋物線的焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線取PQ中點(diǎn)H，分別過(guò)P、Q、H作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為N、M、E則四邊形為直角梯形，為梯形中位線，由拋物線定義可知，,，則故，即點(diǎn)H到拋物線準(zhǔn)線的距離為的一半，則以線段PQ為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.又以線段PQ為直徑的圓與直線相切，則以線段PQ為直徑的圓的直徑等于直線與直線間的距離.即故選：C12、C【解析】利用導(dǎo)函數(shù)的圖象，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值點(diǎn)，然后判斷選項(xiàng)即可【詳解】解：由題意可知：和時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)，時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)；是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)；所以函數(shù)的圖象只能是故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求出、、的值，即可得出橢圓的離心率.【詳解】在橢圓中，，，，因此，橢圓的離心率是.故答案為：.14、【解析】由，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解即可【詳解】設(shè),又有成立，函數(shù)，即是上的增函數(shù)，，即,，故答案為：15、【解析】雙曲線的右焦點(diǎn)為.不妨設(shè)所作直線與雙曲線的漸近線平行，其方程為，代入求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由，得，解之得，（舍去，因?yàn)殡x心率），故雙曲線的離心率為.考點(diǎn)：1.雙曲線的幾何性質(zhì)；2.直線方程.16、##【解析】將分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式組，求解即得.【詳解】原不等式等價(jià)于，解得,故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）將題設(shè)條件化為，結(jié)合余弦定理即可知C的大小.（2）由（1）及正弦定理邊角關(guān)系可得，再應(yīng)用輔助角公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求最大值.【小問(wèn)1詳解】由，得，即，由余弦定理得：，又，所以【小問(wèn)2詳解】由（1）知：，則，設(shè)△ABC外接圓半徑為R，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值為18、；【解析】根據(jù)兩點(diǎn)式方程和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解，并化為一般式方程即可.【詳解】解：過(guò)的兩點(diǎn)式方程為，整理得即邊所在直線的方程為，邊上的中線是頂點(diǎn)A與邊中點(diǎn)M所連線段，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，即過(guò)，的直線的方程為，即整理得所以邊上中線所在直線的方程為19、（1）（2）【解析】（1）先求出拋物線的準(zhǔn)線，作于由拋物線的定義，可得，從而當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小，得出答案.（2）設(shè)，，設(shè)：與拋物線方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，設(shè)出直線的方程分別與直線的方程聯(lián)立得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到，的表達(dá)式，由條件可得答案.【小問(wèn)1詳解】的準(zhǔn)線為：，作于，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在的內(nèi)側(cè)，所以當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，所以，解得，所以的方程為【小問(wèn)2詳解】由題意可知的斜率一定存在，且不為0，設(shè)：（），聯(lián)立消去得，由，即，得，結(jié)合，知記，，則直線的方程為由得易知，所以同理可得由，可得，即，化簡(jiǎn)得，結(jié)合，解得20、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）【解析】（1）作輔助線，由中位線定理證明，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）連接，由勾股定理證明，，再結(jié)合線面垂直的判定定理證明即可；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求面面角的余弦值即可.【詳解】（1）連接交與點(diǎn)，連接四邊形為正方形，點(diǎn)為的中點(diǎn)又點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面，平面平面（2）連接由勾股定理可知，，則同理可證，平面平面（3）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系顯然平面的法向量即為平面的法向量，不妨設(shè)為由（2）可知平面，即平面的法向量為又二面角是鈍角二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在第一問(wèn)中，關(guān)鍵是利用中位線定理找到線線平行，再由定義證明線面平行；在第二問(wèn)中，關(guān)鍵是利用勾股定理證明線線垂直，從而得出線面垂直；在第三問(wèn)中，關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，利用向量法求面面角的余弦值.21、（1）（2）【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）依題意可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)只需，參變分離得到，令，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出參數(shù)的取值范圍；【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)定義域?yàn)?，所以，令，解得或，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】解：由，即，即，當(dāng)時(shí)顯然成立，當(dāng)時(shí)，只需，即，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.22、（1）證明見(jiàn)詳解；（2）證明見(jiàn)詳解；