江蘇省蘇州市常熟市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

江蘇省蘇州市常熟市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)，且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)m的值可以為（）A.2 B.C. D.02．在一個(gè)正方體中，為正方形四邊上的動(dòng)點(diǎn)，為底面正方形的中心，分別為中點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，線段與互相平分，則滿足的實(shí)數(shù)的值有A.0個(gè) B.1個(gè)C.2個(gè) D.3個(gè)3．在平形六面體中，其中，，，，，則的長為（）A. B.C. D.4．設(shè)A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，則A－B的值為()A.128 B.129C.47 D.05．對任意實(shí)數(shù)k，直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.與k有關(guān)6．若函數(shù)，滿足且，則（）A.1 B.2C.3 D.47．已知定義在上的函數(shù)滿足：，且，則的解集為（）A. B.C. D.8．已知雙曲線上的點(diǎn)到的距離為15，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（）A.7 B.23C.5或25 D.7或239．若雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為A.y=±2x B.y=C. D.10．已知等差數(shù)列，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A. B.C. D.11．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)，其中e是自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是，則__________14．已知直線與之間的距離為，則__________15．某部門計(jì)劃對某路段進(jìn)行限速，為調(diào)查限速60km/h是否合理，對通過該路段的300輛汽車的車速進(jìn)行檢測，將所得數(shù)據(jù)按，，，分組，繪制成如圖所示頻率分布直方圖.則________；這300輛汽車中車速低于限速60km/h的汽車有______輛.16．如圖，棱長為1的正方體，點(diǎn)沿正方形按的方向作勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)沿正方形按的方向以同樣的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)分別從點(diǎn)A與點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，則的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積大小是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且，直線過與交于兩點(diǎn)，的周長為8（1）求的方程；（2）過作直線交于兩點(diǎn)，且向量與方向相同，求四邊形面積的取值范圍18．（12分）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程.19．（12分）如圖，三棱錐中，，，，，，點(diǎn)是PA的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在PB上，且.（1）證明：平面CMN；（2）求平面MNC與平面ABC所成角的余弦值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）設(shè)為棱上的點(diǎn)(不與，重合)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.21．（12分）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且__________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）（1）求過點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程；（2）甲，乙，丙等7名同學(xué)站成一排，若甲和乙相鄰，但甲乙二人都不和丙相鄰，則共有多少種不同排法？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出的范圍，即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限時(shí)，則有，可得，結(jié)合選項(xiàng)可知，B正確故選：B2、C【解析】因?yàn)榫€段D1Q與OP互相平分，所以四點(diǎn)O，Q，P，D1共面，且四邊形OQPD1為平行四邊形．若P在線段C1D1上時(shí)，Q一定在線段ON上運(yùn)動(dòng)，只有當(dāng)P為C1D1的中點(diǎn)時(shí)，Q與點(diǎn)M重合，此時(shí)λ＝1，符合題意若P在線段C1B1與線段B1A1上時(shí)，在平面ABCD找不到符合條件Q；在P在線段D1A1上時(shí)，點(diǎn)Q在直線OM上運(yùn)動(dòng)，只有當(dāng)P為線段D1A1的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合，此時(shí)λ＝0符合題意，所以符合條件的λ值有兩個(gè)故選C.3、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理、加法的運(yùn)算法則，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭瞧叫辛骟w，所以，所以有：，因此有：，因?yàn)椋?，，，，所以，所以，故選：B4、A【解析】先化簡A－B，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果為二項(xiàng)式展開式，然后計(jì)算即可【詳解】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是通過化簡能夠發(fā)現(xiàn)其結(jié)果在形式上滿足二項(xiàng)式展開式，然后計(jì)算出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題5、A【解析】判斷直線恒過定點(diǎn)，可知定點(diǎn)在圓內(nèi)，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.【詳解】由可知，即該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為,由可知，則該直線恒過定點(diǎn)，將點(diǎn)代入圓的方程可得，則點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓的位置關(guān)系為相交.故選：.6、C【解析】先取，得與之間的關(guān)系，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算直接求導(dǎo)，代值可得.【詳解】取，則有，即，又因?yàn)樗?，所以，所?故選：C7、A【解析】令，利用導(dǎo)數(shù)可判斷其單調(diào)性，從而可解不等式.【詳解】設(shè)，則，故為上的增函數(shù)，而可化為即，故即，所以不等式的解集為，故選：A.8、D【解析】根據(jù)雙曲線的定義知，，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線的定義知，，而，所以或故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的定義及其應(yīng)用，其中解答中熟記雙曲線的定義，列出方程是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】雙曲線的離心率為，漸進(jìn)性方程為，計(jì)算得，故漸進(jìn)性方程為.【考點(diǎn)定位】本小題考查了離心率和漸近線等雙曲線的性質(zhì).10、A【解析】求出通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，，，所以，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.11、C【解析】利用已知條件求得，由此求得.【詳解】依題意，解得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】利用函數(shù)的奇偶性將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（M）≤f（N）的形式，再利用單調(diào)性脫去對應(yīng)法則f，轉(zhuǎn)化為一般的二次不等式求解即可【詳解】由于，，則f（﹣x）＝﹣x3+e﹣x﹣ex＝﹣f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)故原不等式f（a﹣1）+f（2a2）≤0，可轉(zhuǎn)化為f（2a2）≤﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），即f（2a2）≤f（1﹣a）；又f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x，由于ex+e﹣x≥2，故ex+e﹣x﹣cosx>0，所以f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x≥0恒成立，故函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，則由f（2a2）≤f（1﹣a）可得，2a2≤1﹣a，即2a2+a﹣1≤0，解得，故選B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判定及應(yīng)用，考查了不等式的解法，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0【解析】由函數(shù)，又由，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解函數(shù)的最大值，得到答案.【詳解】由函數(shù)，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，則，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中根據(jù)余弦函數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、或##或【解析】利用平行直線間距離公式構(gòu)造方程求解即可.【詳解】方程可化為：，由平行直線間距離公式得：，解得：或.故答案為：或.15、①.②.【解析】根據(jù)個(gè)小矩形面積之和為1即可求出的值；根據(jù)頻率分布直方圖可以求出車速低于限速60km/h的頻率，從而可求出汽車有多少輛【詳解】由解得：這300輛汽車中車速低于限速60km/h的汽車有故答案為：；16、##【解析】畫出符合要求的圖形，觀察得到軌跡是菱形，并進(jìn)行充分性和必要性兩方面的證明，并求解出軌跡圖形的面積.【詳解】如圖，分別是正方形ABCD，，的中心，下面進(jìn)行證明：菱形EFGC的周界即為動(dòng)線段PQ的中點(diǎn)H的軌跡，首先證明：如果點(diǎn)H是動(dòng)線段PQ的中點(diǎn)，那么點(diǎn)H必在菱形EFGC的周界上，分兩種情況證明：（1）P，Q分別在某一個(gè)定角的兩邊上，不失一般性，設(shè)P從B到C，而Q同時(shí)從到C，由于速度相同，所以PQ必平行于，故PQ的中點(diǎn)H必在上；（2）P，Q分別在兩條異面直線上，不失一般性，設(shè)P從A到B，同時(shí)Q從到，由于速度相同，則，由于H為PQ的中點(diǎn)，連接并延長，交底面ABCD于點(diǎn)T，連接PT，則平面與平面交線是PT，∵∥平面，∴∥PT，∴，而，∥BC，∴是等腰直角三角形，，從而T在AC上，可以證明FH∥AC，GH∥AC，DG∥AC，基于平行線的唯一性，顯然H在DG上，綜合（1）（2）可證明，線段PQ的中點(diǎn)一定在菱形EFGC的周界上；下面證明：如果點(diǎn)H在菱形EFGC的周界上，則點(diǎn)H必定是符合條件的線段的中點(diǎn).也分兩種情況進(jìn)行證明：（1）H在CG或CE上，過點(diǎn)H作PQ∥（或BD），而與BC及（或CD及BC）分別相交于P和Q，由相似的性質(zhì)可得：PH=QH，即H是PQ的中點(diǎn)，同時(shí)可證：BP=（或BQ=DP），因此P、Q符合題設(shè)條件（2）H在EF或FG上，不失一般性，設(shè)H在FG上，連接并延長，交平面AC于點(diǎn)T，顯然T在AC上，過T作TP∥CB于點(diǎn)P，則TP∥，在平面上，連接PH并延長，交于點(diǎn)Q，在三角形中，G是的中點(diǎn)，∥AC，則H是的中點(diǎn)，于是，從而有，又因?yàn)門P∥CB，，所以，從而，因此P，Q符合題設(shè)條件.由（1）（2），如果H是菱形EFGC周界上的任一點(diǎn)，則H必是符合題設(shè)條件的動(dòng)線段PQ的中點(diǎn)，證畢.因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，其中，所以邊長為且，為等邊三角形，，所以面積.故答案為：【點(diǎn)睛】對于立體幾何軌跡問題，要畫出圖形，并要善于觀察，利用所學(xué)的立體幾何方面的知識(shí)，大膽猜測，小心驗(yàn)證，對于多種情況的，要畫出相應(yīng)的圖形，注意分類討論.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件直接求出半焦距，及長半軸長即可作答.(2)根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓的對稱性可得四邊形為平行四邊形，設(shè)出直線l的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理、對勾函數(shù)性質(zhì)計(jì)算作答.【小問1詳解】依題意，橢圓半焦距，由橢圓定義知，的周長，解得，，因此橢圓的方程為.【小問2詳解】依題意，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，由消去并整理得：，則，，因與方向相同，即，又橢圓是以原點(diǎn)O為對稱中心的中心對稱圖形，于是得，即四邊形為平行四邊形，其面積，則，令，則，則，顯然在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，即，從而可得，所以四邊形面積的取值范圍為.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過定點(diǎn)的直線l：y=kx+b交圓錐曲線于點(diǎn)，，則面積；過定點(diǎn)直線l：x=ty+a交圓錐曲線于點(diǎn)，，則面積18、（1）；（2）或.【解析】（1）由離心率公式、將點(diǎn)代入橢圓方程得出橢圓的方程；（2）聯(lián)立橢圓和直線的方程，由判別式得出的范圍，再由韋達(dá)定理結(jié)合三角形面積公式得出，求出的值得出直線的方程.【詳解】解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以.①又因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，所以有.②聯(lián)立①②可得，，，所以橢圓的方程為.（2）由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.由消去整理得，.因?yàn)橹本€與橢圓交于不同兩點(diǎn)，所以，即，所以設(shè)，，則，.由題意得，面積，即.因?yàn)榈拿娣e為，所以，即.化簡得，，即，解得或，均滿足，所以或.所以直線的方程為或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在第二問中，關(guān)鍵是由韋達(dá)定理建立的關(guān)系，結(jié)合三角形面積公式求出斜率，得出直線的方程.19、（1）證明見解析（2）【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，得到相關(guān)點(diǎn)和相關(guān)向量的坐標(biāo),（1）求出平面的法向量，利用證明即可；（2）由（1）知平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明：三棱錐中，，，∴分別以，，，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系∵，，點(diǎn)M是PA的中點(diǎn)，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在PB上且∴，，，，，設(shè)平面的法向量，，，，由得令得∴∵∴又平面∴平面；【小問2詳解】，，∴平面∴為平面的法向量則與的夾角的補(bǔ)角是平面與平面所成二面角的平面角.∴平面與平面所成角的余弦值為.20、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）由已知證得，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示和線面垂直的判定定理可得證；（2）根據(jù)二面角的空間向量求解方法可得答案；（3）設(shè)，表示點(diǎn)Q，再利用線面角的空間向量求解方法，建立方程解得，可得答案.【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，平面，所以，，又因?yàn)?，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知可得，，，，，，所以，，，因?yàn)?，，所以，，又，平面，平面，所以平?（2）由（1）可知平面，可作為平面的法向量，設(shè)平面的法向量因?yàn)椋?所以，即，不妨設(shè)，得.，又由圖示知二面角為銳角，所以二面角的正弦值為.（3）設(shè)，即，，所以，即，因?yàn)橹本€與平面所成角的