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1.7無(wú)窮小的比較1.7無(wú)窮小的比較1.7無(wú)窮小的比較§1.7無(wú)窮小的比較2一、無(wú)窮小的比較例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限3年輕§1.7無(wú)窮小的比較2一、無(wú)窮小的比較例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限3定義.若則稱

是比

高階的無(wú)窮小,若若若若或設(shè)是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小,記作則稱

是比

低階的無(wú)窮小;則稱

是

的同階無(wú)窮小;則稱

是關(guān)于

的k階無(wú)窮小;則稱

是

的等價(jià)無(wú)窮小,記作4例1解例2解5例3.證明:當(dāng)時(shí),～證:～6常用等價(jià)無(wú)窮小:用等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式:例如,7二、等價(jià)無(wú)窮小替換定理(等價(jià)無(wú)窮小替換定理)證8設(shè)對(duì)同一變化過(guò)程,

,

為無(wú)窮小,說(shuō)明:無(wú)窮小的性質(zhì),(1)和差取大規(guī)則:由等價(jià)可得簡(jiǎn)化某些極限運(yùn)算的下述規(guī)則.若

=o(

),(2)和差代替規(guī)則:例如,例9(3)因式代替規(guī)則:界,則例如,10例4解不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能隨意替換.注意11例5解解錯(cuò)12例6解13練習(xí)1解將分子、分母同乘以因子(1-x),則14練習(xí)2求下列極限：提示:無(wú)窮小有界1516練習(xí)3確定常數(shù)a、b使解:原式故于是而17練習(xí)4

當(dāng)時(shí),是的幾階無(wú)窮小?解:設(shè)其為的階無(wú)窮小,則因故18練習(xí)5

求解:原式=1(2000考研)19三、小結(jié)1.無(wú)窮小的比較:反映了同一過(guò)程中,兩無(wú)窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無(wú)窮小都可進(jìn)行比較.2.等價(jià)無(wú)窮小的替換:

求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無(wú)窮小;等價(jià)無(wú)窮小;無(wú)窮小的階.20思考題任何兩個(gè)無(wú)窮小量都可以比較嗎？21思考題解答不能．例當(dāng)時(shí)都是無(wú)窮小量但不存在

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