高中數(shù)學(xué)新教材選擇性必修第三冊《6.1分類加法原理和分步乘法原理》課件

§6.1

分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(一)1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分類乘法計(jì)數(shù)原理.2.會用這兩個(gè)原理分析和解決一些簡單的實(shí)際計(jì)數(shù)問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)問題導(dǎo)學(xué)

新知探究點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)知識點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理第十二屆全運(yùn)會在中國遼寧盛大召開，一名志愿者從濟(jì)南趕赴沈陽為游客提供導(dǎo)游服務(wù)，每天有7個(gè)航班，6列火車.思考1

該志愿者從濟(jì)南到沈陽的方案可分幾類？答案兩類，即乘飛機(jī)、坐火車.思考2

這幾類方案中各有幾種方法？答案第1類方案(乘飛機(jī))有7種方法，第2類方案(坐火車)有6種方法.思考3該志愿者從濟(jì)南到沈陽共有多少種不同的方法？答案共有7＋6＝13種不同的方法.1.完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法.2.完成一件事有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事共有N＝

種不同的方法.m＋nm1＋m2＋…＋mn知識點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理若這名志愿者從濟(jì)南趕赴沈陽為游客提供導(dǎo)游服務(wù)，但需在北京停留，已知從濟(jì)南到北京每天有7個(gè)航班，從北京到沈陽每天有6列火車.思考1

該志愿者從濟(jì)南到沈陽需要經(jīng)歷幾個(gè)步驟？答案兩個(gè)，即先乘飛機(jī)到北京，再坐火車到沈陽.思考2完成每一個(gè)步驟各有幾種方法？答案第1個(gè)步驟有7種方法，第2個(gè)步驟有6種方法.思考3該志愿者從濟(jì)南到沈陽共有多少種不同的方法？答案共有7×6＝42種不同的方法.1.完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法.2.完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，則完成這件事共有N＝

種不同的方法.m×nm1×m2×…×mn類型一分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例1

某校高三共有三個(gè)班，其各班人數(shù)如下表：題型探究

重點(diǎn)難點(diǎn)個(gè)個(gè)擊破班級男生數(shù)女生數(shù)總數(shù)高三(1)302050高三(2)303060高三(3)352055(1)從三個(gè)班中選一名學(xué)生任學(xué)生會主席，有多少種不同的選法？解從三個(gè)班中任選一名學(xué)生，可分三類：第1類，從高三(1)班任選一名學(xué)生，有50種不同選法；第2類，從高三(2)班任選一名學(xué)生，有60種不同選法；第3類，從高三(3)班任選一名學(xué)生，有55種不同選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法共有N＝50＋60＋55＝165(種).(2)從(1)班、(2)班男生中或從(3)班女生中選一名學(xué)生任學(xué)生會生活部部長，有多少種不同的選法？解由題設(shè)知共有三類：第1類，從(1)班男生中任選一名學(xué)生，有30種不同選法；第2類，從(2)班男生中任選一名學(xué)生，有30種不同選法；第3類，從(3)班女生中任選一名學(xué)生，有20種不同選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法共有N＝30＋30＋20＝80(種).反思與感悟1.應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理時(shí)，完成這件事的n類方法是相互獨(dú)立的，無論哪種方案中的哪種方法，都可以獨(dú)立完成這件事.2.利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路跟蹤訓(xùn)練1

如圖，小圓點(diǎn)表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們由網(wǎng)線相連，連線上標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息量.現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可沿不同的路徑同時(shí)傳遞.則單位時(shí)間內(nèi)傳遞的最大信息量是___.解析若以網(wǎng)線為標(biāo)準(zhǔn)，則完成“從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息”這件事也可分為四類，從而分解為若干個(gè)簡單的問題后再各個(gè)擊破.分四類：第一類，網(wǎng)線為12→5→3，單位時(shí)間傳遞的最大信息量是3；第二類，網(wǎng)線為12→6→4，單位時(shí)間傳遞的最大信息量是4；第三類，網(wǎng)線為12→6→7，單位時(shí)間傳遞的最大信息量是6；第四類，網(wǎng)線為12→8→6，單位時(shí)間傳遞的最大信息量是6.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，單位時(shí)間內(nèi)傳遞最大信息量是N＝3＋4＋6＋6＝19.19類型二分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例2

從－2，－1,0,1,2,3這六個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)不重復(fù)的數(shù)字作為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的系數(shù)a，b，c，則可以組成拋物線的條數(shù)為____.解析由題意知a不能為0，故a的值有5種選法；b的值也有5種選法；c的值有4種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得：5×5×4＝100(條).100反思與感悟1.應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，完成這件事情要分幾個(gè)步驟，只有每個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事情，每個(gè)步驟缺一不可.2.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路：(1)分步：將完成這件事的過程分成若干步；(2)計(jì)數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)；(3)結(jié)論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果.跟蹤訓(xùn)練2

從集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取三個(gè)元素分別作為直線方程Ax＋By＋C＝0中的A，B，C，所得直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的有___條.解析該題實(shí)質(zhì)上就是給A，B，C賦值.但首先要搞清楚直線過原點(diǎn)所隱含的條件，即C＝0，所以，下面只需安排A，B.從1,2,3,5,7,11這6個(gè)數(shù)中任取2個(gè)作為A，B的值，分為兩步：第一步取一個(gè)數(shù)作為A，有6種；第二步從剩下的5個(gè)數(shù)中取一個(gè)數(shù)作為B，有5種.所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理得：直線的條數(shù)為6×5＝30.30類型三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用例3

某校高中三年級一班有優(yōu)秀團(tuán)員8人，二班有優(yōu)秀團(tuán)員10人，三班有優(yōu)秀團(tuán)員6人，學(xué)校組織他們?nèi)⒂^某愛國主義教育基地.(1)推選1人為總負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？解分三類，第一類是從一班的8名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，共有8種不同的選法；第二類是從二班的10名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，共有10種不同的選法；第三類是從三班的6名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，共6種不同的選法，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24(種)不同的選法.(2)每班選1人為小組長，有多少種不同的選法？解分三步，第一步從一班的8名優(yōu)秀團(tuán)員中選1名組長，共有8種不同的選法，第二步從二班的10名優(yōu)秀團(tuán)員中選1名組員，共10種不同的選法.第三步是從三班的6名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生，共6種不同的選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：共有N＝8×10×6＝480(種)不同的選法.(3)從他們中選出2個(gè)人管理生活，要求這2個(gè)人不同班，有多少種不同的選法？解分三類：每一類又分兩步，第一類是從一班、二班的優(yōu)秀團(tuán)員中各選1人，有8×10種不同的選法；第二類是從二班、三班的優(yōu)秀團(tuán)員中各選1人，有10×6種不同的選法，第三類是從一班、三班的優(yōu)秀團(tuán)員中各選1人，有8×6種不同的選法，因此，共有N＝8×10＋10×6＋8×6＝188(種)不同的選法.反思與感悟1.解題的關(guān)鍵是分清楚是“分類”還是“分步”，如問題(2)中，要求是每班各選1人為小組長，一班的8種不同選法中的任一種選法只能完成第一步，二班的選法也只能完成第二步，…，所以問題(2)是要用“分步”來解決問題.(3)中選出的2人來自不同的班級，又共有三個(gè)班，故應(yīng)先分類，再分步方可完成.2.分類討論解決問題，必須思維清晰，保證分類標(biāo)準(zhǔn)的唯一性，這樣才能保證分類不重復(fù)，不遺漏，運(yùn)用兩個(gè)原理解答時(shí)是先分類后分步還是先分步后分類，應(yīng)視具體問題而定.跟蹤訓(xùn)練3

高艷有4件不同顏色的襯衣、3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙.“五一”勞動節(jié)需選擇一套服裝參加歌舞演出，則高艷不同的穿衣服的方式有___種.解析穿衣方式分兩類：第一步：不選連衣裙有4×3＝12(種)方法.第二步：選連衣裙有2種方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有12＋2＝14(種)方法.14123達(dá)標(biāo)檢測41.某學(xué)生在書店發(fā)現(xiàn)3本好書，決定至少買其中的1本，則購買方法有(

)A.3種 B.6種

C.7種 D.9種解析分3類，買1本書，買2本書，買3本書，各類的方法依次為3種，3種，1種，故購買方法有3＋3＋1＝7(種).5C2.現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果一條長褲與一件上衣配成一套，則不同的配法種數(shù)為(

)A.7 B.12C.64 D.81解析要完成配套，分兩步：第1步，選上衣，從4件上衣中任選一件，有4種不同選法；第2步，選長褲，從3條長褲中任選一條，有3種不同選法.故共有4×3＝12(種)不同的配法.12345B3.把5本書全部借給3名學(xué)生，有_____種不同的借法.解析依題意，知每本書應(yīng)借給三個(gè)人中的一個(gè)，即每本書都有3種不同的借法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有N＝3×3×3×3×3＝35＝243(種)不同的借法.123452434.5名乒乓球隊(duì)員中，有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員.現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員參加團(tuán)體比賽，則入選的3名隊(duì)員中至少有一名老隊(duì)員的選法有____種.(用數(shù)字作答)解析分為兩類：兩名老隊(duì)員，一名新隊(duì)員時(shí)，有3種選法；兩名新隊(duì)員、一名老隊(duì)員時(shí)，有2×3＝6(種)選法，即共有9種不同選法.1234595.某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日語的各一人，有多少種不同的選法？解依題意得，既會英語、又會日語的有：7＋3－9＝1(人)，6人只會英語，2人只會日語，第一類：從只會英語的6人中選一人有6種方法，此時(shí)，會日語的有2＋1＝3(種)，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：N1＝6×3＝18(種).第二類，不從只會英語的6人中選，只有1種方法，此時(shí)會日語的有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：N2＝1×2＝2(種).綜上可知，共有18＋2＝20(種)不同的選法.12345規(guī)律與方法1.使用兩個(gè)原理解題的本質(zhì)2.利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問題的常用方法§6.1

分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(二)鞏固分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，并能應(yīng)用這兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)問題導(dǎo)學(xué)

新知探究點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)1.兩計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問題.2.兩計(jì)數(shù)原理的區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理針對的是

問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事，分類要做到

；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對的是

問題，各個(gè)步驟中的方法相互依存，只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事，分步要做到步驟

.分類不重不漏分步完整類型一組數(shù)問題例1

用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字，(1)可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號碼？解三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個(gè)位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(種).(2)可以排成多少個(gè)三位數(shù)？解三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(種).題型探究

重點(diǎn)難點(diǎn)個(gè)個(gè)擊破(3)可以排成多少個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法.因而有12＋18＝30(種)排法.即可以排成30個(gè)能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).反思與感悟?qū)τ诮M數(shù)問題，應(yīng)掌握以下原則：(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法求解.(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位.跟蹤訓(xùn)練1

用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有___個(gè)(用數(shù)字作答).解析因?yàn)樗奈粩?shù)的每個(gè)數(shù)位上都有兩種可能性，其中四個(gè)數(shù)字全是2或3的情況不合題意，所以符合題意的四位數(shù)有24－2＝14(個(gè)).14類型二抽取(分配)問題例2

3個(gè)不同的小球放入5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至多放一個(gè)小球，共有多少種方法？解方法一(以小球?yàn)檠芯繉ο?分三步來完成：第一步：放第一個(gè)小球有5種選擇；第二步：放第二個(gè)小球有4種選擇；第三步：放第三個(gè)小球有3種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得：共有方法數(shù)N＝5×4×3＝60.方法二(以盒子為研究對象)盒子標(biāo)上序號1,2,3,4,5；分成以下10類：第一類：空盒子標(biāo)號為：(1,2)：選法有3×2×1＝6(種)；第二類：空盒子標(biāo)號為：(1,3)：選法有3×2×1＝6(種)；第三類：空盒子標(biāo)號為：(1,4)：選法有3×2×1＝6(種)；分類還有以下幾種情況：(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10類，每一類都有6種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得：共有方法數(shù)N＝6＋6＋…＋6＝60(種).反思與感悟解決抽取(分配)問題的方法(1)當(dāng)涉及對象數(shù)目不大時(shí)，一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法.(2)當(dāng)涉及對象數(shù)目很大時(shí)，一般有兩種方法：①直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理.一般地，若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行；若是按對象特征抽取的，則按分類進(jìn)行.②間接法：去掉限制條件，計(jì)算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.跟蹤訓(xùn)練2

如圖所示，在A，B間有四個(gè)焊接點(diǎn)，若焊接點(diǎn)脫落，則可能導(dǎo)致電路不通.今發(fā)現(xiàn)A，B之間線路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有___種.解析按照焊點(diǎn)脫落的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類：第一類：脫落一個(gè)焊點(diǎn)，只能是脫落1或4，有2種情況；第二類：脫落兩個(gè)焊點(diǎn)：有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)共有6種情況；第三類：脫落三個(gè)焊點(diǎn)：有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)共有4種情況；第四類：脫落四個(gè)焊點(diǎn)，只有(1,2,3,4)一種情況.于是脫落焊點(diǎn)的情況共有2＋6＋4＋1＝13(種).13類型三涂色問題例3

將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？解如圖所示，將4個(gè)小方格依次編號為1,2,3,4，第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法.1234(1)當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí)，有4×3＝12(種)不同的涂法，第4個(gè)小方格有3種不同的涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5×12×3＝180(種)不同的涂法.(2)當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí)，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此，第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5×4×4＝80(種)不同的涂法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有180＋80＝260(種)不同的涂法.涂色問題的四個(gè)解答策略涂色問題是考查計(jì)數(shù)方法的一種常見問題，由于這類問題常常涉及分類與分步，所以在高考題中經(jīng)常出現(xiàn)，處理這類問題的關(guān)鍵是要找準(zhǔn)分類標(biāo)準(zhǔn)，求解涂色問題一般是直接利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解，常用的方法有：(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù)，并用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算.(2)以顏色為主分類討論法，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問題，用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算.(3)將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題.(4)對于不相鄰的區(qū)域，常分為同色和不同色兩類，這是常用的分類標(biāo)準(zhǔn).反思與感悟跟蹤訓(xùn)練3

將紅、黃、綠、黑4種不同的顏色分別涂入圖中的5個(gè)區(qū)域內(nèi)，要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域的顏色都不相同，則有________種不同的涂色方法.解析給出區(qū)域標(biāo)記號A，B，C，D，E(如圖所示)，則A區(qū)域有4種不同的涂色方法，B區(qū)域有3種，C區(qū)域有2種，D區(qū)域有2種.但E區(qū)域的涂色依賴于B區(qū)域與D區(qū)域涂的顏色，如果B區(qū)域與D區(qū)域涂的顏色相同，則有2種涂色方法；如果B區(qū)域與D區(qū)域所涂的顏色不相同，則只有1種涂色方法.因此應(yīng)先分類后分步.(1)當(dāng)B與D同色時(shí)，有4×3×2×2＝48(種).(2)當(dāng)B與D不同色時(shí)，有4×3×2×1×1＝24(種).故共有48＋24＝72(種)不同的涂色方法.答案72類型四種植問題例4

從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，求有多少種不同的種植方法.解方法一(直接法)：若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2＝6(種)不同種植方法.同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2＝6(種)不同種植方法.故不同的種植方法共有6×3＝18(種).方法二(間接法)：從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有4×3×2＝24(種)，其中不種黃瓜有3×2×1＝6(種)，故共有不同種植方法24－6＝18(種).按元素性質(zhì)分類，按事件發(fā)生過程分步是計(jì)數(shù)問題的基本思想方法，區(qū)分“分類”與“分步”的關(guān)鍵，是驗(yàn)證所提供的某一種方法是否完成了這件事情，分類中的每一種方法都能完成這件事情，而分步中的每一種方法不能完成這件事情，只是向事情的完成邁進(jìn)了一步.反思與感悟

解析

分別用a、b、c代表3種作物，先安排第一塊田，有3種方法，不妨設(shè)放入a，再安排第二塊田，有兩種方法b或c，不妨設(shè)放入b，第三塊也有2種方法a或c.(1)若第三塊田放c：第四、五塊田分別有2種方法，共有2×2＝4(種)方法.abc跟蹤訓(xùn)練4將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田中，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗(yàn)田不能種同一種作物，不同的種植方法共有_____種.(2)若第三塊田放a：第四塊有b或c兩種方法：①若第四塊放c；第五塊有2種方法；②若第四塊放b：第五塊只能種作物c，共1種方法.綜上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(種)方法.abaabacabab答案42達(dá)標(biāo)檢測1.用0,1,2,3組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)有(

)A.8個(gè) B.10個(gè)

C.18個(gè) D.24個(gè)解析個(gè)位數(shù)只要是1或3，所以2種選擇首位不能為0，則有2種選擇，百位數(shù)字有2種選擇，十位數(shù)字只有1種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，所以用0,1,2