【《數學歸納法在中學解題中的應用探究》9000字（論文）】

數學歸納法在中學解題中的應用研究想要在命題中進行合理論證，必須了解和掌握數學歸納法且通曉其基本原理。數學歸納法可以解決比較復雜的問題，貫穿著整個數學體系，為了更好的讓中學生了解并應用數學歸納法，我從數學歸納法的概念、分類著手，然后給出數學歸納法在解決問題時的具體步驟，最后再列出數學歸納法在數學解題中的一些列子，在各種題型中的應用。讓學生意識到數學歸納法的重要性并且讓他們運用數學歸納法去解決數學題中一些復雜的問題。通過對歸納法的了解及其在數學解題中的一些應用的研究，讓更多的人認識并了解數學歸納法思想，并能運用它解決一些難以直接解決的數學問題。隨著對數學歸納法深入，不僅有利于鍛煉邏輯思維能力，還可以提升學生的觀察力、分析力、 21.1研究背景 31.2研究目的及意義 31.3研究方法 42數學歸納法的基本概述 42.1數學歸納法的概念 43數學歸納法在中學解題中的具體應用 5 5 6 73.2數學歸納法在等式上的具體應用 7 7 8 83.3數學歸納法在不等式中的應用 9 9 3.4數學歸納法在整除問題中的應用 3.5數學歸納法在幾何問題中的應用 4數學歸納法在中學解題應用中的優(yōu)化模式 4.1聯(lián)系生活實際 4.2重視對問題的分類歸納 4.4創(chuàng)設學生學習數學歸納法的興趣 參考文獻 2吳勇.數學“三種語言”轉換能力的考查及啟示——以2020年幾道數學高考題為例南),2020(34):22-24.2數學歸納法的基本概述3數學歸納法在中學解題中的具體應用倒下的時候配第一塊骨牌碰撞，從而倒下，多米諾骨牌無論是排列多少塊，都是一個循環(huán)往復的過程，只要第一塊倒下，便會引起連鎖反應。運用在數學歸納法中，可以理解為，只要(1)(2)這兩項是成立，那么式子可以推導出來，所以要保障兩個數字之間具有一定的傳遞性4。當我們去掉多米諾骨牌的第三塊，是無法推到多米諾骨牌的第四塊的，因為兩塊骨牌之間失去了連續(xù)性，同樣在整數的式子中，如果想要數學歸納法推導出來，需要保障兩個數字之間有連續(xù)性，可以都是加上1,但是不能第一個數字加上1,第二個數字加上8.兩者之間的連續(xù)性是為了保障假設成立。想要了解數學歸納法，必須要學習基礎的推導方式，在此基礎上，使用在不同的數學題型當中，才能得出最后的答案。但是總結來說，數學歸納法的應用和“拆、添、并、放”有關。不同的題型5,使用不同一般的，常用的步驟為綜合(1)(2),對一切自然數n(≥nO),命題P(n)都成立。在推導的過程中，需要對于式子左邊的步驟進行化簡，達到最終運算的目的，在這這里為了講述清楚，特別用左右進行標注初學者在進行數學歸納法的具體應用中，經常好出現(xiàn)的易錯點為以下幾步，這對于研究學生如何更好的學習數學歸納法有著重要的作用。數學問題的探索，雖然是為了尋求一般的規(guī)律。但是存在一些特例，對于最終的結果也會產生一定影響。所以需要先考察一些特例，進行歸納，才能形成進一步的猜想6,最終證明自己的猜想是否正確，也就是歸納特例規(guī)矩，進行猜想，最后論證的一個過程。數學歸納法可以證明一些等式，但是等式并不一定的直接給出的。弄不清n=k到n=k+1式子之間的變化。在上述的例子中，雖然是為了證明數學題的變化，但是大部分的學生知識簡單的看后面的因式變化，并未將左邊的因式的變化放入到學習當中。學生在使用數學歸納法的時候，容易忽略假設條件，沒有使用到3.2數學歸納法在等式上的具體應用在數學上，無論變量如何取值，算式永遠是可以成立的等式。這是兩個解析是之間的一種關系，假設已經給定了兩個解析式，如果對于他們的定義區(qū)域內的任一一組數或者數組，都是相等的值，這兩個解析式就是恒等式。數學歸納法在恒等式中應用較多，其主要的目的是為了證明等式左右兩邊是相等的。證明過程(1)當n=1時，左邊=1=(2×1-1)2=右邊，等式成立那么,當n=k+1時有(k+1)+(k+2)+...+(3k-2)+(3數學恒等式應用數學歸納法的過程中，需要注意以下兩點：命題的關鍵在于“先看項”,需要了解清楚兩邊之間的構成規(guī)律，在進行數學的題目解析。等式兩邊“項”的多少，這是決定了“n”的取值的一個重點項目。在n=k到n=k+1式子之間?？梢园l(fā)生多少的變化，增加的多少項，減少多少項。在進行遞推過程中，也就是在第二步進行n=k到n=k+1的推導過在第二步驟中，需要突出假設和結論，明確目標，充分考慮到命數學的基本思維是歸納和推理，因此在不等式證明中，數學證明法可以充分的利用這一思維，進行不等式的證明。在中學生時期，學生解答不等式的問題可以說是不可或缺的，不等式的解答能夠讓學生新課改的實施為不等式的學習打開了新的路徑，數學的學習途徑更多，對于不等式這類較為復雜的學習模式，教師開始潛移默化的將數學歸納法的解題步驟應用在不等式當中。雖然數學不等式通常會以隱形的模式進入到數學歸納法的詳細解析當中。在解答不等式的過程中，數學歸納法是不可缺少的方法之一，他可以通過無限次的假設和驗證替代無限次的驗證，以此來證明不等式命題之間的合理性，從理論上正式不等式的規(guī)律性，總結特定條件下，食物的規(guī)律，用這一方法也可以證明和不等式有關的大部分的問題。通過數學歸納法在解析不等式的過程中，可以通過分析不等式兩邊的形式，尤其是左邊算式的形式構成等，找到兩者之間的差異，為了弄清這一方式，通?？梢?程曉亮，曾琬婷.師范生培養(yǎng)模式的探索與實踐——以數學學科為例[J].吉林師范大學學報：人文社會科學數學歸納法應用在不等式的解析中，相較于其他的算是，不等式的證明較為復雜，(2)假設當n=k時，(k≥2,k∈N)不等式成立由(1)(2)數學歸納法中可以得知，即當n=k+1時，不等式也成立，故對于任意正整數n,不等式都成立歸納假設的利用可以嘗試尋找不同的方式，在證明不等式的過程中，有時候需要使用不等式中的某些項，從而形成一個替代，使得問題可以成立例3:求證3n>3n+1(n≥4,n∈N)證明：(1)當n=4時，34>3*4+1,原不等式成立由(1)(2)數學歸納法中可以得知，綜上所述，當(n≥4,n∈N),原不數學不等式運用數學歸納法進行解題，其核心是為了理解，幫助學生并不能很好的理解3n>3n+1兩者之間的聯(lián)系，不理解數學歸納法的具于中學階段的學生已經開始初步建立自己的思維，在這一過程中，學其中的關鍵核心，進而影響了最終的使用效果。3.4數學歸納法在整除問題中的應用整數性問題的運用上有一定的局限性，只能證明命題是正確的。在使例4:證明f(n)=5n+2·3n+1能被8整除。(2)假設當n=k時，原命題成立，即f(k)=5k-1+2·3k+1能被8整除，=5·5k+6·3k+1+4·3k-1由(1)(2)數學歸納法中可以得知，整除性問題成立。3.5數學歸納法在幾何問題中的應用例5:證明凸n邊形的對角線的條數f(n)=n(n-3).(n≥3)(2)假設：當n=k(n≥3)時命題成立，即凸k邊形的對角線條數為f(k)=k(k-3)。那么當n=k+1,凸k邊形的k個頂點增加一個頂點Ak-1成為凸k+1邊形時，由頂點Ak-1與它不相鄰的另外k-2個頂點A2,A3,A4,.,Ak—1可畫出k-2條對角線，同時原來凸k邊形的一條邊A1Ak變成一條對角線。這樣從凸k邊形到凸k+1邊形一共增加了k-1條對角線。由此凸邊形的對角線條由(1)(2)數學歸納法中可以得知，當n=k+1時，命題也成立。雖然數學歸納法是一種論證與自然數有關命題的重要方法，但是由于使用數學歸納法證明過程中，過程較為繁瑣，且難以操作。因此中學生在使用數學歸納法分析正整數問題的過程中能夠，需很難避開數學的思維定式，無法參透命題個本身的特點。步驟的繁多性容易導4數學歸納法在中學解題應用中的優(yōu)化模式大部分學生認為數學學習起來比較困難，其中最根本的原因是因為數學課程的教授比較抽象。特別是在講授數學歸納法的學習中，大部分的學生一開始是完全聽不懂的，并不能理解其中的內在含義，因通過多米諾骨牌在學生的思維中建立一個具體的形象，進而幫助學生學生在學習數學的過程中，不應陷入抽象的困境中，將生搬硬套作為自己的學習中心，這樣做的問題一是對于學習中等的學生而言，難以真正理解數學歸納法的內在含義。所以需要做大量的習題，不但浪費了時間，降低了數學學習的效率，還可能導致學生產生畏難的心甚至開始便不能理解，即使后期認真學習了，學生對于數學歸納法的印象也僅僅停留在抽象的學習當中，對于數學歸納法的學習無法得到學生需要理解數學歸納法中的具體知識，進而進行具體的應用。10黃東鋒，姚頑強，史經檢，張靜，阮青山.序貫平差迭代公式再探討[J].測繪地理信息，2018,43(4):88-91解題之間個步驟之間的聯(lián)系運用，幫助學生更好的運用數學歸納法解4.3構建數學歸納法的學習網絡想要學習好數學歸納法，最重要是構建出數學歸納法的詳細學習網絡，中學生在利用數學歸納法解題的過程中，初期可能運用的不夠熟練，認為數學歸納法學習起來較為困難，因此可以采用構建自己學習網絡的方式，正確的幫助自己學習數學歸納法的使用。一是詳細的了解數學歸納法的具體含義，對于其中涉及到的基礎知識牢記于心，這需要學生在學習的過程中打好基礎；二是參透基礎題型的含義，在學好數學歸納法之后，學生需要從簡單的習題運算開始學生，如屬于較為簡單的例子，學生可以嘗試推導此項題目，反復的將基礎題型中的問題進行仔細的琢磨，探索每一步驟之間的聯(lián)系，構建出自己的數學歸納法的學習網絡，并非需要從一開始就主動的使用高考題進行練習，高考題目可能是學生學習的終極目標，但是高考題目大多設計比較復雜，需要大量的步驟推算，學生在推算的過程中及其容易混亂，最終難以掌控學習歸納法中每一個步驟的具體含義，因此學生在學習的過程中，需要根據自己的水平結合教師的建議，從基礎的題型進行學習12。只有探索知識間的聯(lián)系，并且構建出屬于自己的知識網絡，才能使得學生在使用數學歸納法在證明不同的題型時，能清楚的考慮到其中的考點，選擇合適的方法幫助自己解答題目。中學生在進行數學歸納法進行解題的過程中，由于數學歸納法學習較為困難，因此在初期的練習中，因為聯(lián)系較為困難，所以學生常會有思路錯誤或者沒有思路的困擾。因此除了解題之外，學生的興趣也是學習的關鍵內容之一，學生將數學歸納法和自己感興趣的事物聯(lián)如在學習數學歸納法在整除問題中的應用是，因為設計到整除性的知識，所以學習起來較為困難，對于學生而言，如果想要更有興趣的將數學歸納法運用到整除數中，可以為自己設立一個目的，即自己如果能夠正確的運用數學歸納法完成數學題目的詳細解答之后，學生可以通過給自己獎勵的方式，更好提升自身對于數學歸納法的興趣，5結語綜上所述，數學歸納法的學習并非一個生搬硬套的學習過程，需要仔細的探索其中的詳細解題步驟，進而找出在不同題型中的解題方式。以上為數學歸納法的基本形式，并且就數學歸納法的學習進行了一個簡單的整理，使得中學生能在學習過程中，有了更為仔細的了解到數學歸納法的方式和方法。隨著隨帶的發(fā)展，數學歸納法的學習正在不斷的優(yōu)化當中，但是其中的學習核心還是