河北省武邑中學(xué)2017-2018學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題

河北省武邑中學(xué)20172018學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】取a=?2,b=?1,可得，即A不正確；2，即B不正確；∵a<b<0,∴，正確；，即D不正確，故選C.2.拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】試題分析：由題意得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以且開口向上，所以準(zhǔn)線方程為，故選D.考點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì).3.已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù))，則直線的普通方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】第一式反解代入第二式便可得，故選B.4.觀察下列各圖，其中兩個(gè)分類變量之間關(guān)系最強(qiáng)的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】試題分析：在二維條形圖中，主對(duì)角線上的兩個(gè)條形高度的乘積與副對(duì)角線上的兩個(gè)條形高度的乘積相差越大，兩者有關(guān)系的可能性就越大，由圖中所給的四個(gè)量高度的大小來判斷，D選項(xiàng)的兩個(gè)分類變量關(guān)系最強(qiáng)，故選D．考點(diǎn)：1.獨(dú)立性檢驗(yàn)；2.二維條形圖.5.橢圓（是參數(shù)）的離心率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】試題分析：因?yàn)闄E圓，所以a=5,b=3，橢圓的離心率=，關(guān)系B?？键c(diǎn)：本題主要考查橢圓的參數(shù)方程，橢圓的幾何意義。點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，橢圓的離心率。6.若是正數(shù)，且，則有（）A.最大值16B.最小值C.最小值16D.最大值【答案】C【解析】試題分析：由不等式性質(zhì)可知，所以最大值為16考點(diǎn)：不等式性質(zhì)求最值7.清代著名數(shù)學(xué)家梅彀成在他的《增刪算法統(tǒng)宗》中有這樣一歌謠：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”其譯文為：“遠(yuǎn)遠(yuǎn)望見7層高的古塔，每層塔點(diǎn)著的燈數(shù)，下層比上層成倍地增加，一共有381盞，請(qǐng)問塔尖幾盞燈？”則按此塔各層燈盞的設(shè)置規(guī)律，從上往下數(shù)第4層的燈盞數(shù)應(yīng)為（）A.3B.12C.24D.36【答案】C由,解得=3，故.故選：C.8.對(duì)任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】當(dāng)m=0時(shí),，不等式成立；設(shè)，當(dāng)m≠0時(shí)函數(shù)y為二次函數(shù)，y要恒小于0，拋物線開口向下且與x軸沒有交點(diǎn)，即要m<0且△<0得到：解得?4<m<0.綜上得到?4<m?0.故選B.9.設(shè)變量滿足約束條件，則的最大值是（）A.1B.C.D.2【答案】B【解析】變量x、y滿足約束條件，則求的最大值問題等價(jià)于在可行域內(nèi)找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P與點(diǎn)(?1,0)連線的斜率最大.如圖，可行域上的點(diǎn)A與點(diǎn)(?1,0)連線的斜率最大，解方程組得點(diǎn)A的坐標(biāo)為，所以的最大值為.故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．解決此類問題的關(guān)鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義；求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫二移三求．其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，理解目標(biāo)函數(shù)的意義．常見的目標(biāo)函數(shù)有：（1）截距型：形如.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：，通過求直線的截距的最值間接求出的最值；（2）距離型：形如；（3）斜率型：形如.10.已知是的充分不必要條件，是的必要條件，是的必要條件.那么是成立的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】依題意有p?r，r?s，s?q，∴p?r?s?q.但由于r推不出p，∴q推不出p.∴是成立的充分不必要條件故選A.11.已知點(diǎn)與點(diǎn)在直線的兩側(cè)，給出以下結(jié)論：①；②當(dāng)時(shí)，有最小值，無最大值；③；④當(dāng)且時(shí)，的取值范圍是，正確的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】∵點(diǎn)M(a,b)與點(diǎn)N(0,?1)在直線3x?4y+5=0的兩側(cè),∴，即，故①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí),，a+b即無最小值，也無最大值，故②錯(cuò)誤；設(shè)原點(diǎn)到直線3x?4y+5=0的距離為d,則,則>4，故③正確；當(dāng)且a≠1時(shí),表示點(diǎn)M(a,b)與P(1,?1)連線的斜率?！弋?dāng),b=時(shí),,又直線3x?4y+5=0的斜率為，故的取值范圍為，故④正確.∴正確命題的個(gè)數(shù)是2個(gè).故選：B.點(diǎn)睛：本題是常規(guī)的線性規(guī)劃問題，線性規(guī)劃問題常出現(xiàn)的形式有：①直線型，轉(zhuǎn)化成斜截式比較截距，要注意前面的系數(shù)為負(fù)時(shí)，截距越大，值越?。虎诜质叫?，其幾何意義是已知點(diǎn)與未知點(diǎn)的斜率；③平方型，其幾何意義是距離，尤其要注意的是最終結(jié)果應(yīng)該是距離的平方；④絕對(duì)值型，轉(zhuǎn)化后其幾何意義是點(diǎn)到直線的距離.12.在函數(shù)的圖象上，橫坐標(biāo)在內(nèi)變化的點(diǎn)處的切線斜率均大于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得：，由橫坐標(biāo)在區(qū)間(1,2)內(nèi)變化的點(diǎn)處的切線斜率均大于1，可得對(duì)恒成立。即有對(duì)恒成立。令,對(duì)稱軸，區(qū)間(1,2)為增區(qū)間，即有1則有.故選：C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.若公差為2的等差數(shù)列的前9項(xiàng)和為81，則__________．【答案】17【解析】等差數(shù)列的前9項(xiàng)和為，所以，因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為2，所以.得，解得.故答案為：17.14.過點(diǎn)作拋物線的弦，恰被所平分，則弦所在直線方程為__________．【答案】【解析】設(shè)則.兩式相減得所以∴，又∴KAB=4直線AB方程：y?1=4(x?4),即.故答案為：.15.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】函數(shù)f（x）=的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x2+2ax+1由于函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則方程f′（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即有△=4a2﹣4＞0，解得，a＞1或a＜﹣1．故答案為：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）16.已知命題，命題，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】命題q：，解得a≤x≤a+1．∵￢p是￢q的必要不充分條件，∴q是p的必要不充分條件．∴，且等號(hào)不能同時(shí)成立．解得．則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.在中，角的對(duì)邊分別是，.（1）求角；（2）若，的面積，求的值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）由正弦定理邊化角得，根據(jù)三角形內(nèi)角范圍可得解；（2）由余弦定理得，從而得，又，從而得，進(jìn)而可得的值.試題解析：解：（1)由已知得，∴由正弦定理得，∴，故.由，得.(2)在中，，∴，故.①又，∴.②聯(lián)立①②式解得.18.數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）利用遞推關(guān)系式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過構(gòu)造數(shù)列證明數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前項(xiàng)和.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?，所以①?dāng)時(shí)，，則，1分②當(dāng)時(shí)，，2分所以，即，4分所以，而，5分所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以．6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得．所以①，②，8分②①得：，10分.12分考點(diǎn)：1.數(shù)列的遞推式；2.等比數(shù)列的證明；3.數(shù)列求和.19.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1），求得斜率，且切點(diǎn)，由此得到切線方程為；（2）若在上單調(diào)遞增，等價(jià)于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒大于零，分離參數(shù)得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值為，所以.試題解析：（1）∵，∵，即，∴所求切線方程為，即（2），∵在上單調(diào)遞增，∴在上恒成立，∴在上恒成立，令，，令，則，∵在上；在上，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為考點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式．【方法點(diǎn)晴】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與不等式的問題，解答此類問題，應(yīng)該首先確定函數(shù)的定義域，否則，寫出的單調(diào)區(qū)間易出錯(cuò).解決含參數(shù)問題及不等式問題注意兩個(gè)轉(zhuǎn)化：（1）利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題可將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（2）將不等式的證明、方程根的個(gè)數(shù)的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題處理．20.設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，橢圓與軸左交點(diǎn)與點(diǎn)的距離為.（1）求橢圓方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)面積為時(shí)，求.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）依題意有，由此解得，橢圓方程為；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，求出弦長(zhǎng)關(guān)于斜率的表達(dá)式，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得三角形的高，然后利用三角形面積建立方程，求得斜率的值，代入的表達(dá)式，從而求得弦長(zhǎng).試題解析：（1）由題意可得，又，解得，所以橢圓方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）根據(jù)題意可知，直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，設(shè)由方程組消去得關(guān)于的方程，．．．．．．．．．．．．．6分由直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則有，即，得：，由根與系數(shù)的關(guān)系得，故，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分又因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離，故的面積，．．．．．．．．．．．．．．．．10分由，得，此時(shí)．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考點(diǎn)：直線與圓錐曲線位置關(guān)系.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式.直線和圓錐曲線的位置關(guān)系一方面要體現(xiàn)方程思想，另一方面要結(jié)合已知條件，從圖形角度求解．聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解是一個(gè)常用的方法.涉及弦長(zhǎng)的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計(jì)算弦長(zhǎng)；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．21.已知拋物線的方程為，過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)作拋物線的兩條切線和，記和相交于點(diǎn).（1）證明：直線和的斜率之積為定值；（2）求證：點(diǎn)在一條定直線上.【答案】（1）直線和的斜率之積為定值.（2）點(diǎn)在定直線上.【解析】試題分析：（1）依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，設(shè)的坐標(biāo)分別為，根據(jù)求導(dǎo)得切線斜率，結(jié)合韋達(dá)定理即可證得；（2）由點(diǎn)斜式寫出直線和的方程，聯(lián)立這兩個(gè)方程，消去得整理得，注意到，所以，此時(shí)，從而得證.試題解析：解：（1）依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，將其代入，消去整理得.設(shè)的坐標(biāo)分別為，則.將拋物線的方程改寫為，求導(dǎo)得.所以過點(diǎn)的切線的斜率是，過點(diǎn)的切線的斜率是，故，所以直線和的斜率之積為定值.（2）設(shè).因?yàn)橹本€的方程為，即，同理，直線的方程為，聯(lián)立這兩個(gè)方程，消去得，整理得，注意到，所以.此時(shí).由（1）知，，所以，所以點(diǎn)在定直線上.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長(zhǎng)問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：（1）討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)三種情況，得增區(qū)間，得減區(qū)間；（2）在上有零點(diǎn)，即關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可證當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，故.試題解析：（1）的定義域?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，，由，得或．∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．∴的單調(diào)遞減區(qū)間為．②當(dāng)時(shí)，恒有，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為．③當(dāng)時(shí)，，由，得或．∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．∴的單調(diào)遞減區(qū)間為．綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為．（