專題4.6 解三角形（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題4.6解三角形【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1正、余弦定理求三角形的邊與角】 4【題型2正、余弦定理判定三角形形狀】 4【題型3正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)】 5【題型4證明三角形中的恒等式或不等式】 6【題型5和三角形面積有關(guān)的問題】 7【題型6求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍】 8【題型7距離、高度、角度測(cè)量問題】 9【題型8求解平面幾何問題】 11【題型9三角函數(shù)與解三角形的交匯問題】 131、三角恒等變換考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)掌握正弦定理、余弦定理及其變形

(2)理解三角形的面積公式并能應(yīng)用

(3)能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題(4)能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題2022年新高考全國(guó)I卷、Ⅱ卷：第18題，12分2023年新課標(biāo)I卷、Ⅱ卷：第17題，10分2024年新課標(biāo)I卷、Ⅱ卷：第15題，13分2024年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第12題，5分2024年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第11題，5分解三角形是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，是每年高考必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，正弦定理、余弦定理解三角形在選擇題、填空題中考查較多，也會(huì)出現(xiàn)在解答題中，在高考試題中出現(xiàn)有關(guān)解三角形的試題大多數(shù)為較易題、中檔題.對(duì)于解答題，一是考查正弦定理、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用；二是考查正、余弦定理與三角形面積公式的綜合應(yīng)用，有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、平面向量等知識(shí)綜合命題，需要學(xué)生靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1解三角形幾類問題的解題策略】1．正弦定理、余弦定理解三角形的兩大作用(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素。(2)正弦定理、余弦定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時(shí)可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系.2．判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關(guān)系；(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁.無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的限制.3．對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的研究已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時(shí)有唯一解，三角形被唯一確定.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和角，此時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定.

(1)從代數(shù)的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角”時(shí)三角形解的情況，下面以已知a,b和A，解三角形為例加以說明.

由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：

①若B=>1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為0；

②若B==1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1；

③若B=<1，則滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)為1或2.

顯然由0<B=<1可得B有兩個(gè)值，一個(gè)大于，一個(gè)小于，考慮到“大邊對(duì)大角”、“三角形內(nèi)角和等于”等，此時(shí)需進(jìn)行討論.4．與三角形面積有關(guān)問題的解題策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量.【知識(shí)點(diǎn)2測(cè)量問題的基本類型和解決思路】1．測(cè)量距離問題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的長(zhǎng)度不可直接測(cè)量時(shí)，求AB的距離有以下三種類型：類型簡(jiǎn)圖計(jì)算方法A,B間不可達(dá)也不可視測(cè)得AC=b，BC=a，C的大小，則由余弦定理得B,C與點(diǎn)A可視但不可達(dá)測(cè)得BC=a，B，C的大小，則A=π-(B+C)，由正弦定理得C,D與點(diǎn)A,B均可視不可達(dá)測(cè)得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度數(shù).在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB.2．測(cè)量高度問題的基本類型和解決方案

當(dāng)AB的高度不可直接測(cè)量時(shí)，求AB的高度有以下三種類型：類型簡(jiǎn)圖計(jì)算方法底部

可達(dá)測(cè)得BC=a，C的大小，AB=a·tanC.底部不可達(dá)點(diǎn)B與C,D共線測(cè)得CD=a及∠ACB與∠ADB的度數(shù).

先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值.點(diǎn)B與C,D不共線測(cè)得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度數(shù).

在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值.3．測(cè)量角度問題的解決方案測(cè)量角度問題主要涉及光線(入射角、折射角)，海上、空中的追及與攔截，此時(shí)問題涉及方向角、方位角等概念，若是觀察建筑物、山峰等，則會(huì)涉及俯角、仰角等概念.解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意、圖形及有關(guān)概念，確定所求的角在哪個(gè)三角形中，該三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.【知識(shí)點(diǎn)3解三角形的應(yīng)用的解題策略】1．平面幾何中解三角形問題的求解思路(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果.2．解三角形與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用解三角形與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下兩方面：(1)利用三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)式進(jìn)行解三角形；(2)解三角形與三角函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用.【方法技巧與總結(jié)】1．三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A+B)=sinC；(2)cos(A+B)=-cosC；(3)；(4).2．三角形中的射影定理在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.3．在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，.【題型1正、余弦定理求三角形的邊與角】【例1】（2024·浙江紹興·三模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若2bcos(B+C)?acosC=ccosA，則A等于（

）A．π6 B．π4 C．π3【變式1-1】（2024·河南鄭州·三模）△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c．若b=7,c=6,cosB=15，則A．5 B．6 C．8 D．10【變式1-2】（2024·江西九江·三模）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知2c?a=2bcosA，則B=（A．π6 B．π3 C．2π【變式1-3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosB+π6=bsinA，若a=A．1 B．2 C．23 【題型2正、余弦定理判定三角形形狀】【例2】（2024·陜西渭南·三模）已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若bcosC+ccosB=b，且a=ccosA．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【變式2-1】（23-24高一下·廣東廣州·期中）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊為a、b、c若b2c2=tanA．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形【變式2-2】（2024·山東·二模）在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，設(shè)甲：b?c=a(cosC?cosB)，設(shè)乙：A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【變式2-3】（2023·甘肅酒泉·三模）在△ABC中內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若a2b2=sinA．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【題型3正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)】【例3】（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，已知A=π6，a=2，若△ABC有兩解，則（A．2≤b<4 B．b≥4 C．2<b<4 D．0<b<2【變式3-1】（2023·貴州·模擬預(yù)測(cè)）△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，A=60°，a=3.若這個(gè)三角形有兩解，則b的取值范圍是（

A．3<b≤2 B．C．1<b<23 D．【變式3-2】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若B=π3,a=4，且該三角形有兩解，則bA．23,+∞C．0,4 D．3【變式3-3】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，已知AB=x，BC=22，C=π4，若存在兩個(gè)這樣的三角形ABC，則xA．22,+∞ B．0,22 C．【題型4證明三角形中的恒等式或不等式】【例4】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，點(diǎn)D，E都是邊BC上且與B，C不重合的點(diǎn)，且點(diǎn)D在B，E之間，AE?AC?BD=AD?AB?CE．(1)求證：sin∠BAD=(2)若AB⊥AC，求證：AD【變式4-1】（2024·北京西城·二模）在△ABC中，23(1)求B的大小；(2)若3a+c=2b，證明：【變式4-2】（2024·廣東·二模）如圖，已知△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α．(1)證明：PBsin(2)若∠ABC=90°，AB=BC=1，求【變式4-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，A<B<C，且tanA，tanB，(1)求A的大?。?2)設(shè)AC的中點(diǎn)為D，求證：BC=BD．【題型5和三角形面積有關(guān)的問題】【例5】（2024·西藏·模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2bsin(1)求B；(2)若∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=2，a=3，求△ABC的面積．【變式5-1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面內(nèi)，四邊形ABCD滿足B，D點(diǎn)在AC的兩側(cè)，AB=1，BC=2，△ACD為正三角形，設(shè)∠ABC=α.

(1)當(dāng)α=π3時(shí)，求(2)當(dāng)α變化時(shí)，求四邊形ABCD面積的最大值.【變式5-2】（2024·四川攀枝花·三模）請(qǐng)?jiān)冖?a?b=2ccosB，②3a△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c，已知______．(1)求角C；(2)若b=4，點(diǎn)D在邊AB上，CD為∠ACB的平分線，△CDB的面積為233，求邊長(zhǎng)【變式5-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bcosA=3(1)求A.(2)求△ABC面積的取值范圍.【題型6求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍】【例6】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別記為a，b，c，且tanA=(1)若B=π6，求(2)若a=2，求b+c的取值范圍．【變式6-1】（2024·安徽淮北·二模）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知c?b=2c(1)試判斷△ABC的形狀；(2)若c=1，求△ABC周長(zhǎng)的最大值.【變式6-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在銳角三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且sin2(1)求角B的值．(2)求a+c2b【變式6-3】（2023·湖南長(zhǎng)沙·一模）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知sinA?(1)求角B的值；(2)若a=2，求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍．【題型7距離、高度、角度測(cè)量問題】【例7】（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）湖南省衡陽市的來雁塔，始建于明萬歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷徙時(shí)常在境內(nèi)停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點(diǎn)文物保護(hù)單位.為測(cè)量來雁塔的高度，因地理?xiàng)l件的限制，分別選擇C點(diǎn)和一建筑物DE的樓頂E為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，已知點(diǎn)A為塔底，A,C,D在水平地面上，來雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測(cè)得CD=18m,AD=15m，在C點(diǎn)處測(cè)得E點(diǎn)的仰角為30°，在E點(diǎn)處測(cè)得B點(diǎn)的仰角為60°，則來雁塔AB的高度約為（

）（3A．35.0m B．36.4m C．38.4m【變式7-1】（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，甲秀樓位于貴州省貴陽市南明區(qū)甲秀路，是該市的標(biāo)志性建筑之一.甲秀樓始建于明朝，后樓毀重建，改名“鳳來閣”，清代甲秀樓多次重修，并恢復(fù)原名、現(xiàn)存建筑是宣統(tǒng)元年（1909年）重建.甲秀樓上下三層，白石為欄，層層收進(jìn).某研究小組將測(cè)量甲秀樓最高點(diǎn)離地面的高度，選取了與該樓底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得∠BCD=23°，∠CDB=30°，CD=11.2m，在C點(diǎn)測(cè)得甲秀樓頂端A的仰角為72.4°，則甲秀樓的高度約為（參考數(shù)據(jù)：tan72.4°≈3.15，sin53°≈0.8A．20m B．21m C．22m【變式7-2】（23-24高一下·浙江溫州·期中）如圖，在坡度一定的山坡A處測(cè)得山頂上一建筑物CD的頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處，在B處測(cè)得C對(duì)于山坡的斜度為45°.若CD=50m，山坡與地平面的夾角為θ，則cosθA．22 B．32 C．2?1【變式7-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）小明同學(xué)為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為103?3m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°A．60m B．303m C．20【題型8求解平面幾何問題】【例8】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形ABCD中，AB⊥BC,∠ADC=120°,AB=CD=2AD,△ACD的面積為32

(1)求sin∠CAB(2)證明：∠CAB=∠CAD．【變式8-1】（2023·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，∠BAC=60°，△ABC的面積為103，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E,DF⊥AB于點(diǎn)F

(1)求△DEF的面積；(2)若AD=1292，求【變式8-2】（2024·陜西西安·一模）已知平面四邊形ABCD的對(duì)角線分別為AC，BD，其中DC=(1)探究：△ABD是否為直角三角形；若是．請(qǐng)說明哪個(gè)角為直角，若不是，請(qǐng)給出相關(guān)理由；(2)記平面四邊形ABCD的面積為S，若DC=2，且恒有S<λ，求實(shí)數(shù)λ【變式8-3】（2023·山西呂梁·二模）如圖，在平面四邊形ABCD中，∠A=135°，AB=2，∠ABD的平分線交AD于點(diǎn)E，且BE=22

(1)求∠ABE及BD；(2)若∠BCD=60°，求△BCD周長(zhǎng)的最大值．【題型9三角函數(shù)與解三角形的交匯問題】【例9】（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=23(1)求函數(shù)y=log(2)已知銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，若fA2=0【變式9-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)y=fx(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足a2?b【變式9-2】（23-24高一下·四川巴中·期末）已知函數(shù)f(x)=2sin

（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若f(A)=3，b=2，且△ABC的面積為332【變式9-3】（2024·北京·三模）已知函數(shù)f(x)=23sinωx(1)求ω的值；(2)在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.c為f(x)在0,π2上的最大值，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求a?b的取值范圍.條件①：acosB+bcosA=2ccosC；條件②：一、單選題1．（2024·江西贛州·二模）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b=1，a2?1=cc?1，則AA．π3 B．2π3 C．π2．（2024·貴州六盤水·三模）在△ABC中，AB=2，AC=3，∠A=π3，則A．73 B．213 C．23．（2024·北京海淀·二模）在△ABC中，AB=4,AC=5,cosC=34，則A．6或32 B．6 C．3+324．（2024·寧夏銀川·三模）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a=4，sinC=14，若△ABC有兩解，則cA．3 B．4 C．5 D．65．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若B=23π,b=6,aA．934 B．94 C．96．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在100m高的樓頂A處，測(cè)得正西方向地面上B、C兩點(diǎn)B、C與樓底在同一水平面上）的俯角分別是75°和15°，則B、CA．2002 B．2402 C．18037．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且c=2,B=2C，則a+b的取值范圍為（

）A．2,10 B．2+22,10 C．2+228．（2024·山東聊城·二模）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=2,∠B=2∠D=120°，記△ABC與△ACD的面積分別為S1,SA．2 B．3 C．1 D．3二、多選題9．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且已知a=2，則（

）A．若A=45°，且△ABC有兩解，則bB．若A=45°，且b=4，則C．若c=3，且△ABC為鈍角三角形，則b的取值范圍是(D．若c=3，且△ABC為銳角三角形，則b的取值范圍是(10．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知a=2，△ABC的面積S=32ABA．A=30°B．△ABC的周長(zhǎng)的最大值為6C．若bc=4，則△ABC為正三角形D．若AB邊上的中線長(zhǎng)等于23311．（2024·河北邯鄲·三模）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，面積為34a2A．cosAcosB．若D為邊AC的中點(diǎn)，且BD=1，則△ABC的面積的最大值為3C．若△ABC是銳角三角形，則ac的取值范圍是D．若角B的平分線BE與邊AC相交于點(diǎn)E，且BE=3，則a+4c三、填空題12．（2024·新疆·三模）在△ABC中，3sinA=2sinC，cos13．（2