2025屆河北省保定市阜平中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆河北省保定市阜平中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，成等差數(shù)列，則n=（）A.6 B.8C.16 D.222．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）A. B.C. D.3．若，，，則a，b，c與1的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.4．在如圖所示的棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P在側(cè)面所在的平面上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①若點(diǎn)P總滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線②若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)周長(zhǎng)為的圓③若點(diǎn)P到直線AB的距離與到點(diǎn)C的距離之和為1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓④若點(diǎn)P到平面的距離與到直線CD的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線A.1 B.2C.3 D.45．如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)，若且，則拋物線的方程為（）A.B.C.D.6．已知點(diǎn)，，直線：與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或 B.或C. D.7．如圖，在長(zhǎng)方體中，是線段上一點(diǎn)，且，若，則（）A. B.C. D.8．“橢圓的離心率為”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件9．已知橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A.2 B.3C.4 D.510．魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)，他在《九章算術(shù)》方田章圓田術(shù)中指出：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣.”這是注述中所用的割圓術(shù)是一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程，比如在正數(shù)中的“”代表無(wú)限次重復(fù)，設(shè)，則可以利用方程求得，類似地可得到正數(shù)（）A.2 B.3C. D.11．等差數(shù)列的公差，且，，則的通項(xiàng)公式是（）A. B.C. D.12．已知一個(gè)乒乓球從米高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度是原來(lái)高度的倍，則當(dāng)它第8次著地時(shí)，經(jīng)過(guò)的總路程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓被直線所截得弦的最短長(zhǎng)度為_(kāi)__________.14．若函數(shù)在處有極值，則的值為_(kāi)__________.15．已知等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，若，則=______16．已知拋物線C：y2＝2px過(guò)點(diǎn)P(1，1):①點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為②過(guò)點(diǎn)P作過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)Q，則△OPQ的面積為③過(guò)點(diǎn)P與拋物線相切的直線方程為x－2y＋1＝0④過(guò)點(diǎn)P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，則直線MN的斜率為定值其中正確的是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已如橢圓C：＝1（a＞b＞0）的有頂點(diǎn)為M（2，0），且離心率e＝，點(diǎn)A，B是橢圓C上異于點(diǎn)M的不同的兩點(diǎn)（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線MA與直線MB的斜率分別為k1，k2，若k1?k2＝，證明：直線AB一定過(guò)定點(diǎn)18．（12分）已知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為Q，以Q為圓心的圓與直線相交于A，B兩點(diǎn)，且（1）求圓Q的方程；（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O任作一直線交圓Q于C，D兩點(diǎn)，求證：為定值19．（12分）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角正弦值.20．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.21．（12分）已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)在拋物線C上（1）求拋物線C的方程；（2）過(guò)拋物線C焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若求直線l的方程22．（10分）如圖，在平面直角標(biāo)系中，已知n個(gè)圓與x軸和線均相切，且任意相鄰的兩個(gè)圓外切，其中圓.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）記n個(gè)圓的面積之和為S，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】利用累加法求得列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列的前n項(xiàng)和為，再根據(jù)，，成等差數(shù)列，得，從而可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，且，所以?dāng)時(shí)，，因?yàn)橐矟M足，所以.因?yàn)?，所?若，，成等差數(shù)列，則，即，得.故選：D.2、D【解析】由橢圓方程可直接求得.【詳解】由橢圓方程知：，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：D.3、C【解析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，并求其導(dǎo)數(shù)，判斷該函數(shù)的單調(diào)性，據(jù)此作出該函數(shù)的大致圖象，由圖象可判斷a，b，c與1的大小關(guān)系.【詳解】令，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,而，由可知，故作出函數(shù)大致圖象如圖：由圖象易知，，故選：C.4、C【解析】根據(jù)線面關(guān)系、距離關(guān)系可分別對(duì)每一個(gè)命題判斷.【詳解】若點(diǎn)P總滿足，又，，，可得對(duì)角面，因此點(diǎn)P的軌跡是直線，故①正確若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)B為圓心，以1為半徑的圓（在平面內(nèi)），因此圓的周長(zhǎng)為，故②正確點(diǎn)P到直線AB的距離PB與到點(diǎn)C的距離PC之和為1，又，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段BC，因此③不正確點(diǎn)P到平面的距離（即到直線的距離）與到直線CD的距離（即到點(diǎn)C的距離）相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以線段BC的中點(diǎn)為頂點(diǎn)，直線BC為對(duì)稱軸的拋物線（在平面內(nèi)），因此④正確故有①②④三個(gè)故選:C5、D【解析】如圖根據(jù)拋物線定義可知，進(jìn)而推斷出的值，在直角三角形中求得，進(jìn)而根據(jù)，利用比例線段的性質(zhì)可求得，則拋物線方程可得.【詳解】如圖分別過(guò)點(diǎn)，作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)，設(shè)，則由已知得：，由定義得：，故在直角三角形中，，，，從而得，，求得，所以拋物線的方程為故選：D6、A【解析】由可求出直線過(guò)定點(diǎn)，作出圖象，求出和，數(shù)形結(jié)合可得或，即可求解.【詳解】由可得：，由可得，所以直線：過(guò)定點(diǎn)，由可得，作出圖象如圖所示：，，若直線與線段相交，則或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或，故選：A.7、A【解析】將利用、、表示，再利用空間向量的加法可得出關(guān)于、、的表達(dá)式，進(jìn)而可求得的值.【詳解】連接、，因，因?yàn)槭蔷€段上一點(diǎn)，且，則，因此，因此，.故選：A.8、C【解析】討論橢圓焦點(diǎn)的位置，根據(jù)離心率分別求出參數(shù)m，由充分必要性的定義判斷條件間的充分、必要關(guān)系.【詳解】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，得；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，得故“橢圓的離心率為”是“”的必要不充分條件故選：C.9、C【解析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合題意，即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，故可得，又到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是，故點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為.故選：.10、A【解析】設(shè)，則，解方程可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則且，所以，所以，所以，所以或（舍）.所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)是解題關(guān)鍵.11、C【解析】由于數(shù)列為等差數(shù)列，所以，再由可得可以看成一元二次方程的兩個(gè)根，由可知，所以，從而可求出，可得到通項(xiàng)公式.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，因?yàn)椋钥梢钥闯梢辉畏匠痰膬蓚€(gè)根，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以故選：C【點(diǎn)睛】此題考查的是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】從第1次著地到第2次著地經(jīng)過(guò)的路程為，第2次著地到第3次著地經(jīng)過(guò)的路程為，組成以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以第1次著地到第8次著地經(jīng)過(guò)的路程為，所以經(jīng)過(guò)的總路程是.故答案為：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先確定直線所過(guò)定點(diǎn)；由圓的方程可確定圓心和半徑，進(jìn)而求得圓心到的距離，由此可知所求最短長(zhǎng)度為.【詳解】由得：，直線恒過(guò)點(diǎn)；，在圓內(nèi)；又圓的圓心為，半徑，圓心到點(diǎn)的距離，所截得弦的最短長(zhǎng)度為.故答案為：.14、2或6【解析】由解析式得到導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合是函數(shù)極值點(diǎn)，即可求的值.【詳解】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在處有極值，所以，即，解得2或6.經(jīng)檢驗(yàn)，2或6滿足題意.故答案為：2或6.15、【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得，再令即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可得：因?yàn)椋蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再轉(zhuǎn)化為前項(xiàng)和公式的形式，代入的值即可.16、②③④【解析】由拋物線過(guò)點(diǎn)可得拋物線的方程，求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，由拋物線的性質(zhì)可判斷①；求出直線的方程與拋物線聯(lián)立切線的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形的面積，判斷②；設(shè)直線方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立求得斜率，進(jìn)而可得在處的切線方程，從而判斷③；設(shè)直線的方程為拋物線聯(lián)立求出的坐標(biāo)，同理求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的斜率，從而可判斷④【詳解】解：由拋物線過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以拋物線的方程為：；可得拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為：，，準(zhǔn)線方程為：，對(duì)于①，由拋物線的性質(zhì)可得到焦點(diǎn)的距離為，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，可得直線的斜率，所以直線的方程為：，代入拋物線的方程可得：，解得，所以，故②正確；對(duì)于③，依題意斜率存在，設(shè)直線方程為y－1＝k(x－1)，與y2＝x聯(lián)立，得：ky2－y＋1－k＝0，＝1－4k(1－k)＝0，4k2－4k＋1＝0，解得k＝，所以切線方程為x－2y＋1＝0，故③正確；對(duì)于④，設(shè)直線的方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，所以，所以，代入直線中可得，即，，直線的方程為：，代入拋物線的方程，可得，代入直線的方程可得，所以，，所以為定值，故④正確故答案為：②③④.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（I）；（II）證明見(jiàn)解析.【解析】（I）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求得，根據(jù)離心率求得，由此求得，進(jìn)而求得橢圓方程.（II）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)，求得的關(guān)系式，由此判斷直線過(guò)定點(diǎn).【詳解】（I）由于是橢圓的頂點(diǎn)，所以，由于，所以，所以，所以橢圓方程為.（II）由于是橢圓上異于點(diǎn)的不同的兩點(diǎn)，所以可設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去并化簡(jiǎn)得，所以，即.，，，，解得，所以直線的方程為，過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值問(wèn)題.18、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）先求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)圓心到直線的距離公式及的值求出半徑即可求得圓的方程.（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立圓和直線方程利用韋達(dá)定理來(lái)求解.【小問(wèn)1詳解】解：點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)Q為由Q到直線的距離，所以所以圓的方程為【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線CD斜率不存在時(shí)，，所以.當(dāng)直線CD斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則直線為，記，聯(lián)立，得所以，綜上，為定值519、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC，再通過(guò)計(jì)算，根據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論；（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)方程組解出平面PAM一個(gè)法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系列方程，解得M坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結(jié)果【詳解】（1）因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，且連結(jié)因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，且由知由知平面?）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系由已知得取平面的法向量設(shè)，則設(shè)平面的法向量為由得，可取所以．由已知得所以．解得(舍去)，所以又，所以所以與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”20、（1）單調(diào)遞增區(qū)間（?∞，?1）和（4，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間（?1，4）（2）【解析】（1）求出，令，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）求出函數(shù)在區(qū)間中的單調(diào)性，求出極大值和極小值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，比較大小即可得到答案【小問(wèn)1詳解】由函數(shù)得，令，解得x＜?1或x＞4，；令，解得?1＜x＜4，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（?∞，?1）和（4，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（?1，4）；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，當(dāng)x∈[?3，?1）時(shí)，，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（?1，4）時(shí)，，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（4，6]時(shí)，，f（x）單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝?1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值f（?1）＝，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值f（4）＝，又，所以當(dāng)x∈[?3，6]時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)?1、（1）（2）或【解析】(1)把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程即可；(2)設(shè)直線方程，解聯(lián)立方程組，消未知數(shù)，得到一元二次方程，再利用韋達(dá)定理和已知條件求斜率.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閽佄锞€C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)拋物線方程為又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線C上，所以，解得，所以拋物線的方程為；【小問(wèn)2詳解】拋物線C的焦點(diǎn)為，當(dāng)直線l的斜率不存