安徽省阜陽(yáng)市界首市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

安徽省阜陽(yáng)市界首市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知圓，則圓C關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（）A. B.C. D.2．拋物線的準(zhǔn)線方程為，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.3．從編號(hào)分別為,,,,的五個(gè)大小完全相同的小球中,隨機(jī)取出三個(gè)小球,則恰有兩個(gè)小球編號(hào)相鄰的概率為()A. B.C. D.4．已知，，，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則等于（）A.0 B.1C.2 D.46．等比數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.7．復(fù)數(shù)，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8．圓C：的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A.和4 B.（－3，2）和4C.和 D.和9．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，=（）A.1 B.2C. D.410．化學(xué)中，將構(gòu)成粒子（原子、離子或分子）在空間按一定規(guī)律呈周期性重復(fù)排列構(gòu)成的固體物質(zhì)稱為晶體.在結(jié)構(gòu)化學(xué)中，可將晶體結(jié)構(gòu)截分為一個(gè)個(gè)包含等同內(nèi)容的基本單位，這個(gè)基本單位叫做晶胞.已知鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在頂點(diǎn)位置，O原子位于棱的中點(diǎn)）.則圖中原子連線BF與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.11．在長(zhǎng)方體中，若，，則異而直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.12．已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)，是雙曲線右支上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）.A.7 B.8C.9 D.10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓方程為橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，以這一點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為，則橢圓的離心率為______14．定義在上的函數(shù)滿足：有成立且，則不等式的解集為__________15．若直線與圓有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是_____16．直線的傾斜角為_______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）若在單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若，求證：.18．（12分）為讓“雙減”工作落實(shí)到位，某中學(xué)積極響應(yīng)上級(jí)號(hào)召，全面推進(jìn)中小學(xué)生課后延時(shí)服務(wù)，推行課后服務(wù)“”模式，開展了內(nèi)容豐富、形式多樣、有利于學(xué)生身心成長(zhǎng)的活動(dòng).該中學(xué)初一共有700名學(xué)生其中男生400名、女生300名.為讓課后服務(wù)更受歡迎，該校準(zhǔn)備推行體育類與藝術(shù)類兩大類活動(dòng)于2021年9月在初一學(xué)生中進(jìn)行了問卷調(diào)查.（1）調(diào)查結(jié)果顯示：有的男學(xué)生和的女學(xué)生愿意參加體育類活動(dòng)，其他男學(xué)生與女學(xué)生都不愿意參加體育類活動(dòng)，請(qǐng)完成下邊列聯(lián)表.并判斷是否有的把握認(rèn)為愿意參加體育類活動(dòng)與學(xué)生的性別相關(guān)？愿意參加體育活動(dòng)情況性別愿意參加體育類活動(dòng)不愿意參加體育類活動(dòng)合計(jì)男學(xué)生女學(xué)生合計(jì)（2）在開展了兩個(gè)月活動(dòng)課后，為了了解學(xué)生的活動(dòng)課情況，在初一年級(jí)學(xué)生中按男女比例分層抽取7名學(xué)生調(diào)查情況，并從這7名學(xué)生中隨機(jī)選擇3名學(xué)生進(jìn)行展示，用X表示選出進(jìn)行展示的3名學(xué)生中女學(xué)生的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635參考公式：，其中.19．（12分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，若，（1）求數(shù)列的首項(xiàng)和公差；（2）求的最小值.20．（12分）已知圓C：（1）若過點(diǎn)的直線l與圓C相交所得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程；（2）若P是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求四邊形PACB面積的最小值21．（12分）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且的短軸長(zhǎng)為（1）求的方程；（2）若直線與交于P，Q兩點(diǎn)，，且的面積為，求k22．（10分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)的圖象在處的切線方程為，求的值；（2）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】求得圓的圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，由此求得對(duì)稱圓的方程.【詳解】設(shè)圓的圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，所以對(duì)稱圓的方程為.故選：B2、B【解析】由題得，解方程即得解.【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以.故選：B3、C【解析】利用古典概型計(jì)算公式計(jì)算即可【詳解】從編號(hào)分別為,,,,的五個(gè)大小完全相同的小球中,隨機(jī)取出三個(gè)小球共有種不同的取法,恰好有兩個(gè)小球編號(hào)相鄰的有:,共有6種所以概率為故選:C4、B【解析】利用微積分基本定理計(jì)算,利用積分的幾何意義求扇形面積得到,然后比較大小.【詳解】,表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓在第二象限的部分的面積，∴；，∵e=2.71828…>2.7,，，,故選：5、A【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后代值計(jì)算即可【詳解】因?yàn)?，所?故選：A6、D【解析】設(shè)公比為，依題意得到方程，即可求出，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)公比為，因?yàn)?，，所以，即，解得，所以；故選：D7、C【解析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第三象限.故選：C.8、C【解析】先將方程化為一般形式，再根據(jù)公式計(jì)算求解即可.【詳解】解：可化為，由圓心為，半徑，易知圓心的坐標(biāo)為，半徑為故選：C9、B【解析】根據(jù)拋物線定義，轉(zhuǎn)化，要使有最小值，只需最大，即直線與拋物線相切，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，求出斜率，然后求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解.【詳解】由題知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，，過P作垂直于準(zhǔn)線于，連接，由拋物線定義知.由正弦函數(shù)知，要使最小值，即最小，即最大，即直線斜率最大，即直線與拋物線相切.設(shè)所在的直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程：，整理得：則，解得即，解得，代入得或，再利用焦半徑公式得故選：B.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是要將取最小值轉(zhuǎn)化為直線斜率最大，再轉(zhuǎn)化為拋物線的切線，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.10、C【解析】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)立方體的棱長(zhǎng)為，求出的值，即可得到答案；【詳解】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)立方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，連線與所成角的余弦值為故選：C.11、C【解析】通過平移把異面直線平移到同一平面中，所以取，的中點(diǎn)，易知且過中心點(diǎn)，所以異而直線與所成角為和所成角，通過解三角形即可得解.【詳解】根據(jù)長(zhǎng)方體的對(duì)稱性可得體對(duì)角線過中心點(diǎn)，取，的中點(diǎn)，易知且過中心點(diǎn)，所以異而直線和所成角為和所成角，連接，在中，，，，所以則異而直線與所成角的余弦值為：，故選：C.12、C【解析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為M，作出圖形，根據(jù)雙曲線的定義可得，可得出，利用A、P、M三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值即可得解.【詳解】∵是雙曲線的左焦點(diǎn)，∴，，，，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為M，則，由雙曲線的定義可得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為9.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用雙曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：（1）求解橢圓、雙曲線有關(guān)的線段長(zhǎng)度和、差的最值，都可以通過相應(yīng)的圓錐曲線的定義分析問題；（2）圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最值，可通過連接圓外的點(diǎn)與圓心來分析求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)，利用“點(diǎn)差法”得到，即可求出離心率.【詳解】設(shè)直線與橢圓交于，則.因?yàn)锳B中點(diǎn),則.又，相減得：.所以所以所以，所以，即離心率.故答案為：.14、【解析】由，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解即可【詳解】設(shè),又有成立，函數(shù)，即是上的增函數(shù)，，即,，故答案為：15、【解析】直線與圓有交點(diǎn)，則圓心到直線的距離小于或等于半徑.【詳解】直線即，圓的圓心為，半徑為，若直線與圓有交點(diǎn)，則，解得,故實(shí)數(shù)取值范圍是.故答案為：16、【解析】由直線的斜率為，得到，即可求解.【詳解】由題意，可知直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得，即換線的傾斜角為.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的傾斜角的求解問題，其中解答中熟記直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，由求解.（2）由（1）的結(jié)論，取，有，即在上恒成立，然后令，有求解.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，則有在上恒成立，即.令函數(shù)，，所以時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，所以有，即，因此.（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，不妨取，則有在上單調(diào)遞增，所以，即有在上恒成立，令，則有，所以，所以，因此.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，當(dāng)f(x)含參數(shù)時(shí)，需依據(jù)參數(shù)取值對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論．(2)若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在指定的區(qū)間D上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“＝”是否可以取到18、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】（1）根據(jù)初一男生數(shù)和女生數(shù)，結(jié)合有的男學(xué)生和的女學(xué)生，愿意參加體育類活動(dòng)求解；計(jì)算的值，再與臨界值表對(duì)照下結(jié)論；（2）根據(jù)這7名學(xué)生中男生有4名，女生有3名，隨機(jī)選擇3名由抽到女學(xué)生的人數(shù)X可能為0,1,2,3，分別求得其概率，列出分布列，再求期望.【小問1詳解】解：因?yàn)槌跻还灿?00名學(xué)生其中男生400名、女生300名，且有的男學(xué)生和的女學(xué)生，所以愿意參加體育類活動(dòng)的男生有300名，女生有200名，則列聯(lián)表如下：愿意參加體育活動(dòng)情況性別愿意參加體育類活動(dòng)不愿意參加體育類活動(dòng)合計(jì)男學(xué)生300100400女學(xué)生200100300合計(jì)500200700，所以有的把握認(rèn)為愿意參加體育類活動(dòng)與學(xué)生的性別相關(guān)；【小問2詳解】這7名學(xué)生中男生有4名，女生有3名，隨機(jī)選擇3名學(xué)生進(jìn)行展示，抽到女學(xué)生的人數(shù)X可能為0,1,2,3，所以，,所以隨機(jī)變量X分布列如下：X0123p19、（1）首項(xiàng)為-2，公差為1；（2）.【解析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差，再結(jié)合前n項(xiàng)和公式列式計(jì)算作答.(2)由(1)的結(jié)論，探求數(shù)列的性質(zhì)即可推理計(jì)算作答.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，而為其前n項(xiàng)和，，，于是得：，解得，，所以，.【小問2詳解】由(1)知，，，，數(shù)列是遞增數(shù)列，前3項(xiàng)均為非正數(shù)，從第4項(xiàng)起為正數(shù)，而，于是得的前2項(xiàng)和與前3項(xiàng)和相等并且最小，所以當(dāng)或時(shí)，.20、（1）或.（2）8【解析】（1）先判斷當(dāng)斜率不存在時(shí),不滿足條件；再判斷當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)利用垂徑定理列方程求出k，即可求出直線方程；（2）過P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，連結(jié)CA、CB，得到.判斷出當(dāng)時(shí),最小，四邊形PACB面積取得最小值.利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，，即可求出四邊形PACB面積的最小值.【小問1詳解】圓C：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓心為，半徑為r=4.（1）當(dāng)斜率不存在時(shí),x=1代入圓方程得,弦長(zhǎng)為,不滿足條件；（2）當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)即.圓心C到直線l的距離，解得:或k=0,所以直線方程為或.【小問2詳解】過P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，連結(jié)CA、CB，則.因?yàn)?所以所以.所以當(dāng)時(shí),最小，四邊形PACB面積取得最小值.所以，所以，即四邊形PACB面積的最小值為8.21、（1）（2）或k=1.【解析】（1）根據(jù)題意求得雙曲線的焦點(diǎn)即知橢圓焦點(diǎn)，結(jié)合橢圓短軸長(zhǎng)，可求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，整理得，從而得到根與系數(shù)的關(guān)系式，然后求出弦長(zhǎng)以及到直線PQ的距離，進(jìn)而表示出，由題意得關(guān)于k的方程，解得答案.【小問1詳解】雙曲線即，故雙曲線交點(diǎn)坐標(biāo)為，由此可知橢圓焦點(diǎn)也為，又的短軸長(zhǎng)為，故，所以，故橢圓的方程為；【小問2詳解】聯(lián)立，整理得：，其，設(shè)，則，所以=，點(diǎn)到直線PQ的距離為，所以=，又的面積為，則=，解得或k=1.22