內(nèi)蒙古呼和浩特市回民中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

內(nèi)蒙古呼和浩特市回民中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若定義在R上的函數(shù)滿足，則不等式的解集為（）A. B.C. D.2．已知雙曲線，則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A.1 B.2C. D.3．已知圓柱的底面半徑是1，高是2，那么該圓柱的側(cè)面積是（）A.2 B.C. D.4．已知全集，，（）A. B.C. D.5．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則△ABC（）A.一定是銳角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是鈍角三角形 D.是銳角或直角三角形6．若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則直線A1C1到平面ACD1的距離為（）A.1 B.C. D.7．在四面體中，點(diǎn)G是的重心，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.8．如圖，平行六面體中，與的交點(diǎn)為，設(shè)，則選項(xiàng)中與向量相等的是（）A. B.C. D.9．已知點(diǎn)與不重合的點(diǎn)A，B共線，若以A，B為圓心，2為半徑的兩圓均過(guò)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.10．設(shè)，則曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角是（）A. B.C. D.11．等差數(shù)列中，若，，則等于（）A. B.C. D.12．若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與曲線，在曲線上隨機(jī)取一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離不大于的概率為_(kāi)_________.14．斐波那契數(shù)列，又稱“兔子數(shù)列”，由數(shù)學(xué)家斐波那契研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)引入．已知斐波那契數(shù)列滿足，，，若記，，則________．（用，表示）15．已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為等邊三角形，則橢圓的離心率為_(kāi)_________16．如圖所示，高爾頓釘板是一個(gè)關(guān)于概率的模型，每一黑點(diǎn)表示釘在板上的一顆釘子，它們彼此的距離均相等，上一層的每一顆的水平位置恰好位于下一層的兩顆正中間．小球每次下落時(shí)，將隨機(jī)的向兩邊等概率的落下．當(dāng)有大量的小球都落下時(shí)，最終在釘板下面不同位置收集到小球．現(xiàn)有5個(gè)小球從正上方落下，則恰有3個(gè)小球落到2號(hào)位置的概率是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某省電視臺(tái)為了解該省衛(wèi)視一檔成語(yǔ)類節(jié)目的收視情況，抽查東西兩部各5個(gè)城市，得到觀看該節(jié)目的人數(shù)（單位：千人）如下莖葉圖所示：其中一個(gè)數(shù)字被污損.（1）求東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過(guò)西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的概率.（2）隨著節(jié)目的播出，極大激發(fā)了觀眾對(duì)成語(yǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)積累的熱情，從中獲益匪淺.現(xiàn)從觀看該節(jié)目的觀眾中隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4位觀眾的周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)的時(shí)間（單位：小時(shí)）與年齡（單位：歲），并制作了對(duì)照表（如下表所示）年齡（歲）20304050周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間（小時(shí)）2.5344.5由表中數(shù)據(jù)，試求線性回歸方程，并預(yù)測(cè)年齡為55歲觀眾周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間.參考公式：，.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知，曲線與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，求.19．（12分）在數(shù)列中，,，數(shù)列滿足（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足，求的表達(dá)式；（3）令，對(duì)于大于的正整數(shù)、（其中），若、、三個(gè)數(shù)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，求符合條件的數(shù)組.20．（12分）2020年10月，中共中央辦公廳、國(guó)務(wù)院辦公廳印發(fā)了《關(guān)于全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校體育工作的意見(jiàn)》，某地積極開(kāi)展中小學(xué)健康促進(jìn)行動(dòng)，發(fā)揮以體育智、以體育心功能，決定在2021年體育中考中再增加一定的分?jǐn)?shù)，規(guī)定：考生須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實(shí)心球、一分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試，其中一分鐘跳繩滿分20分，某校為掌握九年級(jí)學(xué)生一分鐘跳繩情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生測(cè)試，其一分一分鐘跳繩個(gè)數(shù)成績(jī)(分)1617181920頻率（1）若每分鐘跳繩成績(jī)不足18分，則認(rèn)為該學(xué)生跳繩成績(jī)不及格，求在進(jìn)行測(cè)試的100名學(xué)生中跳繩成績(jī)不及格的人數(shù)為多少？（2）該學(xué)校決定由這次跳繩測(cè)試一分鐘跳繩個(gè)數(shù)在205以上(包括205)的學(xué)生組成“小小教練員"團(tuán)隊(duì)，小明和小華是該團(tuán)隊(duì)的成員，現(xiàn)學(xué)校要從該團(tuán)隊(duì)中選派2名同學(xué)參加某跳繩比賽，求小明和小華至少有一人被選派的概率21．（12分）奮發(fā)學(xué)習(xí)小組共有3名學(xué)生，在某次探究活動(dòng)中，他們每人上交了1份作業(yè)，現(xiàn)各自從這3份作業(yè)中隨機(jī)地取出了一份作業(yè).（1）每個(gè)學(xué)生恰好取到自己作業(yè)的概率是多少？（2）每個(gè)學(xué)生不都取到自己作業(yè)的概率是多少？（3）每個(gè)學(xué)生取到的都不是自己作業(yè)的概率是多少？22．（10分）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，，分別是棱與的中點(diǎn).（1）求以，，，為頂點(diǎn)的四面體的體積；（2）求異面直線和所成角的大小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意，求得其單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，故在上單調(diào)遞減；又，故可得，則，即，解得，故不等式解集為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，以及利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，屬中檔題.2、B【解析】根據(jù)給定的雙曲線方程直接計(jì)算即可作答.【詳解】雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，所以該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2.故選：B3、D【解析】由圓柱的側(cè)面積公式直接可得.【詳解】故選：D4、C【解析】根據(jù)條件可得，則，結(jié)合條件即可得答案.【詳解】因，所以，則，又，所以，即.故選：C5、C【解析】由余弦定理確定角的范圍，從而判斷出三角形形狀【詳解】由得－cosC>0，所以cosC<0，從而C為鈍角，因此△ABC一定是鈍角三角形.故選：C6、B【解析】先證明點(diǎn)A1到平面ACD1的距離即為直線A1C1到平面ACD1的距離，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以A1C1//平面ACD1，則點(diǎn)A1到平面ACD1的距離即為直線A1C1到平面ACD1的距離.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知＝(0,0,1)，由題得平面,所以平面,所以,同理,因?yàn)槠矫妫云矫妫允瞧矫嬉粋€(gè)法向量，所以平面ACD1的一個(gè)法向量為＝(1,1,1)，故所求的距離為.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求點(diǎn)到平面的距離常用的方法有：（1）幾何法（找作證指求）；（2）向量法；（3）等體積法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.7、B【解析】結(jié)合重心的知識(shí)以及空間向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】設(shè)是中點(diǎn)，.故選：B8、B【解析】利用空間向量加減法、數(shù)乘的幾何意義，結(jié)合幾何體有，進(jìn)而可知與向量相等的表達(dá)式.【詳解】連接，如下圖示：，.故選：B9、D【解析】由題意可得兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓，然后由圓的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最小，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可【詳解】設(shè)點(diǎn)，則以A，B為圓心，2為半徑的兩圓方程分別為和，因?yàn)閮蓤A過(guò)，所以和，所以兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓，因?yàn)辄c(diǎn)與不重合的點(diǎn)A，B共線，所以為圓的一條弦，所以當(dāng)弦長(zhǎng)最小時(shí)，，因?yàn)?，半徑?，所以弦長(zhǎng)的最小值為，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，弦長(zhǎng)最長(zhǎng)為4，因?yàn)椋援?dāng)弦長(zhǎng)最小時(shí)，的最大值為，當(dāng)弦長(zhǎng)最大時(shí)，的最小值為，所以的取值范圍為，故選：D10、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念可得，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，故所求切線的傾斜角為.故選：C11、C【解析】由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可得.【詳解】因?yàn)椋?故選：C12、A【解析】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上大于等于0恒成立，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由題意得：在區(qū)間上恒成立，而，所以.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】畫出示意圖，根據(jù)圖形分析可知點(diǎn)在陰影部分所對(duì)的劣弧上，由幾何概型可求出.【詳解】作出示意圖曲線是圓心為原點(diǎn)，半徑為2的一個(gè)半圓.圓心到直線距離，而點(diǎn)到直線的距離為，故若點(diǎn)到直線的距離不大于，則點(diǎn)在陰影部分所對(duì)的劣弧上，由幾何概型的概率計(jì)算公式知，所求概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的概率計(jì)算，屬于中檔題.14、【解析】由已知兩式相加求得，得，得到，從而得到，，利用可得答案.【詳解】因?yàn)?，由，，得，所以，得，因?yàn)?，所以，，所以，，所以?故答案為：.15、##【解析】根據(jù)題中幾何關(guān)系，求得點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程求得齊次式，整理化簡(jiǎn)即可求得離心率.【詳解】根據(jù)題意，取點(diǎn)為第一象限的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，如下所示：因?yàn)椤鳛榈冗吶切?，又，故可得則點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入橢圓方程可得：，又，整理得：，即，解得（舍）或.故答案為：.16、【解析】先研究一個(gè)小球從正上方落下的情況，從而可求出一個(gè)小球從正上方落下落到2號(hào)位置的概率，進(jìn)而可求出5個(gè)小球從正上方落下，則恰有3個(gè)小球落到2號(hào)位置的概率【詳解】如圖所示，先研究一個(gè)小球從正上方落下的情況，11，12，13，14指小球第2層到第3層的線路圖，以此類推，小球所有的路線情況如下：01-11-21-31，01-11-21-32，01-11-22-33，01-11-22-34，01-12-23-33，01-12-23-34，01-12-24-35，01-12-24-36，02-14-26-38，02-14-26-37，02-14-25-35，02-14-25-36，02-13-24-36，02-13-24-35，02-13-23-34，02-13-23-33，共16種情況，其中落入2號(hào)位置的有4種，所以每個(gè)球落入2號(hào)位置的概率為，所以5個(gè)小球從正上方落下，則恰有3個(gè)小球落到2號(hào)位置的概率為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】（1）先根據(jù)兩個(gè)平均值的大小得到的取值范圍，再利用古典概型的概率公式進(jìn)行求解；（2）先利用最小二乘法求出線性回歸方程，再利用方程進(jìn)行預(yù)測(cè).試題解析：（1）設(shè)被污損的數(shù)字為，則的所有可能取值為：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10種等可能結(jié)果，令，解得，則滿足“東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過(guò)西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的”的取值有0,1,2,3,4,5,6,7共8個(gè)，所以其概率為.（2）由表中數(shù)據(jù)得，，∴，線性回歸方程.可預(yù)測(cè)年齡為55觀眾周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間為4.9小時(shí).18、（1），（2）2【解析】（1）消參數(shù)即可得曲線的普通方程，利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系式，從而曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標(biāo)方程，得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理得，即可得的值.【小問(wèn)1詳解】由，消去參數(shù)，得，即，所以曲線的普通方程為.由，得，即，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為【小問(wèn)2詳解】將代入，整理得，則，令方程的兩個(gè)根為由韋達(dá)定理得，所以.19、（1）證明見(jiàn)解析，；（2）；（3）.【解析】（1）由已知等式變形可得，利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立，確定等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，然后分、兩種情況討論，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可得出的表達(dá)式；（3）求得，分、、三種情況討論，利用奇數(shù)與偶數(shù)的性質(zhì)以及整數(shù)的性質(zhì)可求得、的值，綜合可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：由可得，，則，，以此類推可知，對(duì)任意的，，則，故數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，故，可得.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，所以，所以，當(dāng)n＝1時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)闈M足，所以.【小問(wèn)3詳解】解：，、、這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，①若，則，所以，，又，所以，，則；②若，則，則，左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，所以，②不成立；③若，同②可知③也不成立綜合①②③得，20、（1）14人；（2）.【解析】（1）根據(jù)頻率直方表區(qū)間成績(jī)及其對(duì)應(yīng)的頻率，即可求每分鐘跳繩成績(jī)不足18分的人數(shù).（2）由表格數(shù)據(jù)求出一分鐘跳繩個(gè)數(shù)在205以上(包括205)的學(xué)生共6人，列舉出六人中選兩人參加比賽的所有情況、小明和小華至少有一個(gè)被選派的情況，由古典概型的概率求法即可得小明和小華至少有一人被選派的概率.【詳解】（1）由表可知，每分鐘跳繩成績(jī)不足18分，即為成績(jī)是16分或17分，在進(jìn)行測(cè)試的100