2025屆遼寧省朝陽市凌源市聯(lián)合校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2025屆遼寧省朝陽市凌源市聯(lián)合校高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)列滿足，且，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的值是（）A.2 B.3C.4 D.52．如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點(diǎn)為M.設(shè)，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.3．在圓上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡記為C，則曲線C的離心率為（）A. B.C. D.4．拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A. B.C. D.5．已知，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C. D.6．函數(shù)在和處的導(dǎo)數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.不能確定7．在下列命題中正確的是（）A.已知是空間三個(gè)向量，則空間任意一個(gè)向量總可以唯一表示為B.若所在的直線是異面直線，則不共面C.若三個(gè)向量兩兩共面，則共面D.已知A，B，C三點(diǎn)不共線，若，則A，B，C，D四點(diǎn)共面8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）A.4 B.9C.23 D.649．雙曲線的左焦點(diǎn)到其漸近線的距離是（）A. B.C. D.10．設(shè)是公差的等差數(shù)列，如果，那么（）A. B.C. D.11．拋物線有一條重要的性質(zhì)：平行于拋物線的軸的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后經(jīng)過它的焦點(diǎn)．反之，從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的軸．已知拋物線，從點(diǎn)發(fā)出一條平行于x軸的光線，經(jīng)過拋物線兩次反射后，穿過點(diǎn)，則光線從A出發(fā)到達(dá)B所走過的路程為（）A.8 B.10C.12 D.1412．已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，設(shè)D在直線AB上，且，設(shè)C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，則λ的值為()A. B.－C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校有高一學(xué)生人，高二學(xué)生人.為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校高一高二學(xué)生中抽取一個(gè)容量為的樣本，已知從高一學(xué)生中抽取人，則________14．點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，為焦點(diǎn)，如果則雙曲線的離心率為___________.15．橢圓方程為橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，以這一點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為，則橢圓的離心率為______16．如圖，正方體的棱長為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是_________（寫出所有正確命題的編號）.①當(dāng)時(shí)，S為四邊形；②當(dāng)時(shí)，S為等腰梯形；③當(dāng)時(shí)，S與的交點(diǎn)R滿足；④當(dāng)時(shí)，S為六邊形；⑤當(dāng)時(shí)，S的面積為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，|AB|＝|AD|＝2，|CD|＝4，為的中點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正切值18．（12分）（1）已知：函數(shù)有零點(diǎn)；：所有的非負(fù)整數(shù)都是自然數(shù).若為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知：；：.若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）新疆長絨棉品質(zhì)優(yōu)良，纖維柔長，被世人譽(yù)為“棉中極品”，產(chǎn)于我國新疆的吐魯番盆地、塔里木盆地的阿克蘇、喀什等地.棉花的纖維長度是評價(jià)棉花質(zhì)量的重要指標(biāo)之一，在新疆某地區(qū)成熟的長絨棉中隨機(jī)抽測了一批棉花的纖維長度（單位：mm），將樣本數(shù)據(jù)制成頻率分布直方圖如下：（1）求的值；（2）估計(jì)該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）根據(jù)棉花纖維長度將棉花等級劃分如下：纖維長度小于30mm大于等于30mm，小于40mm大于等于40mm等級二等品一等品特等品從該地區(qū)成熟的棉花中隨機(jī)抽測兩根棉花的纖維長度，用樣本的頻率估計(jì)概率，求至少有一根棉花纖維長度達(dá)到特等品的概率.20．（12分）年世界人工智能大會已于年月在上海徐匯西岸舉行，某高校的志愿者服務(wù)小組受大會展示項(xiàng)目的啟發(fā)，會后決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲.如圖所示，、兩個(gè)信號源相距米，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與直線的夾角為，機(jī)器貓?jiān)谥本€上運(yùn)動，機(jī)器鼠的運(yùn)動軌跡始終滿足：接收到點(diǎn)的信號比接收到點(diǎn)的信號晚秒（注：信號每秒傳播米）.在時(shí)刻時(shí)，測得機(jī)器鼠距離點(diǎn)為米.（1）以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），求時(shí)刻時(shí)機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)；（2）游戲設(shè)定：機(jī)器鼠在距離直線不超過米的區(qū)域運(yùn)動時(shí)，有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn).如果機(jī)器鼠保持目前的運(yùn)動軌跡不變，是否有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)？21．（12分）經(jīng)觀測，某種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x有關(guān)，現(xiàn)將收集到的溫度和產(chǎn)卵數(shù)的10組觀測數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如下圖的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量表.275731.121.71502368.3630表中，（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為y與x之間的回歸方程模型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù).試求y關(guān)于x回歸方程.附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.22．（10分）已知等差數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足：，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)的極值點(diǎn)，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)及其對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可【詳解】由，得，因?yàn)?，是函?shù)的極值點(diǎn)，所以，是方程兩個(gè)實(shí)根，所以，因?yàn)閿?shù)列滿足，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，故選：C2、B【解析】根據(jù)代入計(jì)算化簡即可.【詳解】故選：B.3、B【解析】設(shè)，，則由題意可得，代入圓方程中化簡可得曲線C的方程，從而可求出離心率【詳解】設(shè)，，則，得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，所以，則所以離心率為，故選：B4、D【解析】將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得出該拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，可得，因此，該拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：D.5、B【解析】根據(jù)不等式的同向可加性求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所?故選：B.6、A【解析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)即可比較.【詳解】，，所以，即.故選：A.7、D【解析】對于A，利用空間向量基本定理判斷，對于B，利用向量的定義判斷，對于C，舉例判斷，對于D，共面向量定理判斷【詳解】對于A，若三個(gè)向量共面，在平面，則空間中不在平面的向量不能用表示，所以A錯(cuò)誤，對于B，因?yàn)橄蛄渴亲杂上蛄?，是可以自由平移，所以?dāng)所在的直線是異面直線時(shí)，有可能共面，所以B錯(cuò)誤，對于C，當(dāng)三個(gè)向量兩兩共面時(shí)，如空間直角坐標(biāo)系中的3個(gè)基向量兩兩共面，但這3個(gè)向量不共面，所以C錯(cuò)誤，對于D，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，，且，所以A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以D正確，故選：D8、C【解析】直接按程序框圖運(yùn)行即可求出結(jié)果.【詳解】初始化數(shù)值，，第一次執(zhí)行循環(huán)體，，，1≥4不成立；第二次執(zhí)行循環(huán)體，，，2≥4不成立；第三次執(zhí)行循環(huán)體，，，3≥4不成立；第四次執(zhí)行循環(huán)體，，，4≥4成立；輸出故選：C9、A【解析】求出雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】在雙曲線中，，，，所以，該雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，即，因，該雙曲線的左焦點(diǎn)到漸近線的距離為.故選：A10、D【解析】由已知可得，即可得解.【詳解】由已知可得.故選：D.11、C【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】如圖所示：焦點(diǎn)為，設(shè)光線第一次交拋物線于點(diǎn)，第二次交拋物線于點(diǎn)，過焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線方程為：，作垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)，作垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)，則，，，，故選：C12、B【解析】設(shè)D(x，y，z)，根據(jù)求出D(，，0)，再根據(jù)CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值.【詳解】設(shè)D(x，y，z)，則＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，∵＝2，∴∴∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)，∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－故選：B【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查向量的線性運(yùn)算和空間向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)分層抽樣的等比例性質(zhì)列方程，即可樣本容量n.【詳解】由分層抽樣的性質(zhì)知：，可得.故答案為：14、【解析】利用雙曲線的定義、離心率的計(jì)算公式、兩角和差的正弦公式即可得出.【詳解】由可得，根據(jù)雙曲線的定義可得：，.故答案為：15、【解析】設(shè)，利用“點(diǎn)差法”得到，即可求出離心率.【詳解】設(shè)直線與橢圓交于，則.因?yàn)锳B中點(diǎn),則.又，相減得：.所以所以所以，所以，即離心率.故答案為：.16、①②③⑤【解析】①由如圖當(dāng)點(diǎn)向移動時(shí)，滿足，只需在上取點(diǎn)滿足，即可得截面為四邊形，如圖所示，是四邊形，故①正確；②當(dāng)時(shí)，即為中點(diǎn)，此時(shí)可得PQ∥AD，AP=QD==，故可得截面APQD為等腰梯形，等腰梯形，故②正確；③當(dāng)時(shí)，如圖，延長至，使，連接交于，連接交于，連接，可證，由∽，可得，故可得，故③正確；④由③可知當(dāng)時(shí)，只需點(diǎn)上移即可，此時(shí)的截面形狀仍然如圖所示的，如圖是五邊形，故④不正確；⑤當(dāng)時(shí)，與重合，取的中點(diǎn)，連接，可證，且，可知截面為為菱形，故其面積為，如圖是菱形，面積為，故⑤正確，故答案為①②③⑤考點(diǎn)：正方體的性質(zhì).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【解析】(1)證明BC⊥平面BDE即可；(2)以D為原點(diǎn)，DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，求平面BMD和平面BCD的法向量，利用法向量的求二面角的余弦，再求正切﹒【小問1詳解】∵ADEF為正方形∴ED⊥AD又∵正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，且ED?平面ADEF∴ED⊥平面ABCD∵BC?平面ABCD∴ED⊥BC在直角梯形ABCD中，|AB|＝|AD|＝2，|CD|＝4，則，|BD|＝2，在△BCD中，，∴BC⊥BD∵DE∩BD＝D，DE與BD平面BDE，∴BC⊥平面BDE又∵BC?平面BEC∴平面BDE⊥平面BEC；【小問2詳解】由(1)知ED⊥平面ABCD∵CD平面ABCD，∴CD⊥ED，∴DA，DC，DE三線兩兩垂直，故以D為原點(diǎn)，DA、DC、DE分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz：則,則設(shè)為平面BDM的法向量，則，取，取平面BCD的法向量為，設(shè)二面角的大小為θ，則，∴.18、（1）；（2）.【解析】(1)易知為真命題，根據(jù)且命題的真假可知為假命題，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)與對應(yīng)方程的根之間的關(guān)系得出，解不等式即可；(2)根據(jù)一元二次不等式的解法可得和，結(jié)合必要不充分條件的概念可得，利用集合與集合之間的關(guān)系即可得出答案.【詳解】解：（1）對于：所有的非負(fù)整數(shù)都是自然數(shù)，顯然正確.因?yàn)闉榧?，所以為?所以“函數(shù)沒有零點(diǎn)”為真，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）對于：，解得或.對于，不等式的解集為，因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以所以或，所以或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19、（1）（2）（3）【解析】（1）由頻率分布直方圖中所有矩形的面積之和為1，可求出答案.（2）根據(jù)平均數(shù)的公式可得到答案.（3）先求出一根棉花纖維長度達(dá)到特等品的概率，然后分恰好有一根和兩根棉花小問1詳解】由解得【小問2詳解】該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：【小問3詳解】由題意一根棉花纖維長度達(dá)到特等品的概率為：兩根棉花中至少有一根棉花纖維長度達(dá)到特等品的概率20、（1）；（2）沒有.【解析】（1）設(shè)機(jī)器鼠位置為點(diǎn)，由題意可得，即，可得的軌跡為以、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，分析取值，即得解雙曲線的方程，由可得P點(diǎn)坐標(biāo).（2）轉(zhuǎn)化機(jī)器鼠與直線最近的距離為與直線平行的直線與雙曲線相切時(shí)，平行線間的距離，設(shè)的方程為，與雙曲線聯(lián)立，求出的值，再利用平行線間的距離公式，即得解【詳解】（1）設(shè)機(jī)器鼠位置為點(diǎn)，、，由題意可得，即，可得的軌跡為以、為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)其方程為：（，），則、、，則的軌跡方程為：（），時(shí)刻時(shí)，，即，可得機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)為；（2）由題意，直線，設(shè)直線的平行線的方程為，聯(lián)立，可得：，，解得，又，∴，∴，即：與雙曲線的右支相切，切點(diǎn)即為雙曲線右支上距離最近的點(diǎn)，此時(shí)與的距離為，即機(jī)器鼠距離最小的距離為，則機(jī)器鼠保持目前運(yùn)動軌跡不變，沒有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn).21、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖看出