2025屆四川省綿陽市重點(diǎn)初中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2025屆四川省綿陽市重點(diǎn)初中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若實數(shù)滿足，則點(diǎn)不可能落在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2．設(shè)數(shù)列的前項和為，當(dāng)時，，，成等差數(shù)列，若，且，則的最大值為（）A. B.C. D.3．下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是（）A. B.C. D.4．紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中,石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺(即圓錐用平行于底面的平面截去一個錐體得到的).下圖給出了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位:cm),那么該壺的容量約為（）A.100 B.C.300 D.4005．與空間向量共線的一個向量的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.6．如圖，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過作直線與C及其漸近線分別交于Q，P兩點(diǎn)，且Q為的中點(diǎn)．若等腰三角形的底邊的長等于C的半焦距．則C的離心率為（）A. B.C. D.7．已知向量，，且，則實數(shù)等于（）A1 B.2C. D.8．傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒和石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類，若：三角形數(shù)、、、、，正方形數(shù)、、、、等等.如圖所示為正五邊形數(shù)，將五邊形數(shù)按從小到大的順序排列成數(shù)列，則此數(shù)列的第4項為（）A. B.C. D.9．如果一個矩形長與寬的比值為，那么稱該矩形為黃金矩形.如圖，已知是黃金矩形，，分別在邊，上，且也是黃金矩形.若在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黃金矩形內(nèi)的概率為（）A. B.C. D.10．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上兩人與下三人等，問各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此為等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”（“錢”是古代一種重量單位），這個問題中戊所得為（）A.錢 B.錢C.錢 D.錢11．直線的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知圓：和點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是:（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．根據(jù)某市有關(guān)統(tǒng)計公報顯示，隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，該市對外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2017年至2020年每年進(jìn)口總額x（單位：千億元）和出口總額y（單位：千億元）之間的一組數(shù)據(jù)如下：2017年2018年2019年2020年x1.82.22.63.0y2.02.83.24.0若每年的進(jìn)出口總額x，y滿足線性相關(guān)關(guān)系，則______；若計劃2022年出口總額達(dá)到5千億元，預(yù)計該年進(jìn)口總額為______千億元14．在等差數(shù)列中，，公差，則_________15．已知點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)M(0，2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為______________16．已知動圓P過定點(diǎn)，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，則動圓P的圓心的軌跡方程為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)滿足，且的面積為（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線．設(shè)直線交軸于，交軸于，且點(diǎn)，求的軌跡方程18．（12分）已知拋物線的準(zhǔn)線方程是.（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.19．（12分）已知直線l經(jīng)過兩條直線2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0交點(diǎn)，且與直線x+y﹣2＝0垂直（1）求直線l的方程；（2）若圓C過點(diǎn)（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l被該圓所截得的弦長為，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程20．（12分）已知圓M的圓心在直線上，且圓心在第一象限，半徑為3，圓M被直線截得的弦長為4.（1）求圓M的方程；（2）設(shè)P是直線上的動點(diǎn)，證明：以MP為直徑的圓必過定點(diǎn)，并求所有定點(diǎn)的坐標(biāo).21．（12分）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)（1）若，直線過拋物線的焦點(diǎn)，線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，求的長；（2）若交于，求的值22．（10分）已知直線和的交點(diǎn)為P，求：（1）過點(diǎn)P且與直線垂直的直線l的方程；（2）以點(diǎn)P為圓心，且與直線相交所得弦長為12的圓的方程；（3）從下面①②兩個問題中選一個作答，①若直線l過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形面積為，求直線l的方程②求圓心在直線上，與x軸相切，被直線截得的弦長的圓的方程注：如果選擇兩個問題分別作答，按第一個計分

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】作出給定的不等式組表示的平面區(qū)域，觀察圖形即可得解.【詳解】因?qū)崝?shù)滿足，作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分，觀察圖形知，陰影區(qū)域不過第二象限，即點(diǎn)不可能落在第二象限.故選：B2、A【解析】根據(jù)等差中項寫出式子，由遞推式及求和公式寫出和，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】解：由，，成等差數(shù)列，可得，則，，，可得數(shù)列中，每隔兩項求和是首項為，公差為的等差數(shù)列.則，，則的最大值可能為.由，，可得.因為，，，即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，，符合題意，故的最大值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和遞推式的應(yīng)用，考查分析問題能力，屬于難題.3、B【解析】對各個選項進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算驗證即可.【詳解】，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：B4、B【解析】根據(jù)圓臺的體積等于兩個圓錐的體積之差，即可求出【詳解】設(shè)大圓錐的高為，所以，解得故故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查圓臺體積的求法以及數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題5、C【解析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示即可得出結(jié)果.【詳解】.故選：C.6、C【解析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，再根據(jù)雙曲線定義以及勾股定理列方程，解得離心率.【詳解】連接，由為等腰三角形且Q為的中點(diǎn)，得，由知．由雙曲線的定義知，在中，，（負(fù)值舍去）故選：C【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、雙曲線的離心率，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計算即可得解【詳解】因向量，，且，則，解得，所以實數(shù)等于.故選：C8、D【解析】根據(jù)前三個五邊形數(shù)可推斷出第四個五邊形數(shù).【詳解】第一個五邊形數(shù)為，第二個五邊形數(shù)為，第三個五邊形數(shù)為，故第四個五邊形數(shù)為.故選：D.9、B【解析】由幾何概型的面積型，只需求小矩形的面積和大矩形面積之比.【詳解】由題意，不妨設(shè)，則，又也是黃金矩形，則，又，解得，于是大矩形面積為：，小矩形的面積為，由幾何概型的面積型，概率為若在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黃金矩形內(nèi)的概率為：.故選：B.10、D【解析】根據(jù)題意將實際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問題即可解決【詳解】解：由題意，可設(shè)甲、乙、丙、丁、戊五人分得的錢分別為，，，，則，，，，成等差數(shù)列，設(shè)公差為，整理上面兩個算式，得：，解得，故選：11、A【解析】由直線方程求得直線斜率的范圍，再由斜率等于傾斜角的正切值可得直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】∵直線的斜率,，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得.故選：A.12、B【解析】先由在線段的垂直平分線上得出，再由題意得出，進(jìn)而由橢圓定義可求出點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】如圖，因為在線段的垂直平分線上，所以，又點(diǎn)在圓上，所以，因此，點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上.其中，，則.從而點(diǎn)的軌跡方程是.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.1.6；②.3.65.【解析】根據(jù)給定數(shù)表求出樣本中心點(diǎn)，代入即可求得，取可求出該年進(jìn)口總額.【詳解】由數(shù)表得：，，因此，回歸直線過點(diǎn)，由，解得，此時，，當(dāng)時，即，解得，所以，預(yù)計該年進(jìn)口總額為千億元.故答案為：1.6；3.6514、15【解析】由等差數(shù)列通項公式直接可得.【詳解】.故答案為：1515、【解析】由拋物線的定義得：，所以，當(dāng)三點(diǎn)共線時，最小可得答案.【詳解】如圖所示：，由拋物線的定義得：，所以，由圖象知：當(dāng)三點(diǎn)共線時，最小，.故答案為：.16、【解析】設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)題意，列出點(diǎn)滿足的關(guān)系式即．則點(diǎn)的軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求點(diǎn)的軌跡方程【詳解】設(shè)動圓和定圓內(nèi)切于點(diǎn)，動點(diǎn)到定點(diǎn)和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即，點(diǎn)的軌跡是以，為兩焦點(diǎn)，長軸長為10的橢圓，，點(diǎn)的軌跡方程為，故答案：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用可得，由橢圓關(guān)系可求得，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）將與橢圓方程聯(lián)立可得，得，結(jié)合韋達(dá)定理可確定點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得方程，進(jìn)而得到，化簡整理即可得到所求軌跡方程.【小問1詳解】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知：；，即，，，解得：，，解得：（舍）或，，橢圓的方程為：；【小問2詳解】由得：，，整理可得：；，解得：，，則，令，解得：；令，解得：；，即，又，，則的軌跡方程為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查動點(diǎn)軌跡方程的求解問題，解題基本思路是能夠利用變量表示出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)之間關(guān)系，化簡整理消掉變量得到所求軌跡方程；易錯點(diǎn)是忽略題目中的限制條件，軌跡中出現(xiàn)多余的點(diǎn).18、（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析【解析】（Ⅰ）利用排趨性的準(zhǔn)線方程求出p，即可求解拋物線的方程；（Ⅱ）直線y=k（x-2）（k≠0）與拋物線聯(lián)立，通過韋達(dá)定理求解直線的斜率關(guān)系即可證明OM⊥ON試題解析：（Ⅰ）解：因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（Ⅱ）證明：設(shè)，.將代入，消去整理得.所以.由，，兩式相乘，得，注意到，異號，所以.所以直線與直線的斜率之積為，即.考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程19、（1）（2）【解析】（1）先求得直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用點(diǎn)斜式求得直線的方程.（2）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)已知條件列方程組，求得，由此求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問1詳解】.直線的斜率為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為.【小問2詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.20、（1）；（2）證明見解析，定點(diǎn)和.【解析】(1)根據(jù)給定條件設(shè)出圓心坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式計算作答.(2)設(shè)點(diǎn)，求出圓的方程，結(jié)合方程求出其定點(diǎn).【小問1詳解】因圓M的圓心在直線上，且圓心在第一象限，設(shè)圓心，且，圓心到直線的距離為，又由解得，從而，而，解得，所以圓M的方程為.【小問2詳解】由(1)知：，設(shè)點(diǎn)，，設(shè)動圓上任意一點(diǎn)當(dāng)與點(diǎn)P，M都不重合時，，有，當(dāng)與點(diǎn)P，M之一重合時，對應(yīng)為零向量，也成立，，，，化簡得：，由，解得或，所以以MP為直徑的圓必過定點(diǎn)和.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：待定系數(shù)法求圓的方程，由題設(shè)條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個獨(dú)立等式21、（1）6（2）2【解析】（1）通過作輔助線，利用拋物線定義，結(jié)合梯形的中位線定理，可求得答案；（2）根據(jù)題意可求得直線AB的方程為y=x+4，聯(lián)立拋物線方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，由OA⊥OB，得，根據(jù)數(shù)量積的計算即可得答案.【小問1詳解】取AB的中點(diǎn)為E，當(dāng)p=2時，拋物線為C：x2=4y，焦點(diǎn)F坐標(biāo)為F（0，1），過A，E，B分別作準(zhǔn)線y=-1的垂線，重足分別為I，H，G，在梯形ABGI中（圖1），E是AB中點(diǎn)，則2EH=AI+BG，EH=2-（-1）=3，因為AB=AF+BF=AI+BG，所以AB=2EH=6.【小問2詳解】設(shè)，由OD⊥AB交AB于D（-2，2）,（圖2），得kOD=-1，kAB=1，則直線AB的方程為y=x+4，由得，所以，由，得，即，即，可得，即，所以p=2.22、（1）（2）（3）答案見解析【解析】（1）聯(lián)立方程組求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合直線與直線垂直，求得直線的斜率為，利用直線的點(diǎn)斜式，即可求解；（2）先求得點(diǎn)到直線的距離為，由圓的的垂徑定理列出方程求得圓的半徑，即可求解；（3）若選①：設(shè)直線l的的斜率為，得到，結(jié)合題意列出方程，求得的值，即可求解；若選②，設(shè)所求圓的圓心為，半徑為，得到，利用圓的垂徑定理列出方程求得的值，即可求解.【小問1詳解】