九年級上冊全冊數(shù)學(xué)教案

1、1等腰三角形的性質(zhì)和判定（1）

教學(xué)目標(biāo)：1、進一步掌握證明的基本步驟和書寫格式。

2、能用“基本事實”和“已經(jīng)證明的定理”為依據(jù)，證明等腰三

角形的性質(zhì)定理和判定定理。

教學(xué)重點：了解分析的思考方法

教學(xué)難點：用“基本事實”和“已經(jīng)證明的定理”為依據(jù)，證明等腰三角

形的性質(zhì)定理和判定定理。

教學(xué)過程：

一、知識回顧：

在初中數(shù)學(xué)八（下）的第十一章中，我們學(xué)習(xí)了證明的相關(guān)知識，你還記得

嗎？不妨回憶一下。

1、我們初中數(shù)學(xué)中，選用了哪些真命題作為基本事實：

2、在八（下）的第十一章中，我們依據(jù)上述的基本事實，證明了哪些定理？

你能一一列出來嗎？

二、情景創(chuàng)設(shè)：

以前，我們曾經(jīng)學(xué)習(xí)過等腰三角形，你還記得嗎？不妨我們來回憶一下下列

幾個問題：

1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定義）

2、等腰三角形有哪些性質(zhì)？

3、上述性質(zhì)你是怎么得到的？（不妨動手操作做一做）

4、這些性質(zhì)都是真命題嗎？你能否用從基本事實出發(fā)，對它們進行證明？

三、探索活動：

1、合作與討論

證明：等腰三角形的兩個底角相等。

2、思考與討論

怎樣證明：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。

3、通過上面兩個問題的證明，我們得到了等腰三角形的性質(zhì)定理。

4、你能寫出上面兩個定理的符號語言嗎？（請完成下表）

文學(xué)語圖形符號語言

在4ABC中

等邊對

,*#___________________;

等角

*

??__________________________________________O

在△ABC中，AB=AC

(1)VZBAD=ZCAD

*

??________，________。

三線合

(2)VBD=CD

*

?*________，________o

(3)VAD±BC

*

??________，_________o

5、思考與探索

如何證明"等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是正確的？

要求：（1）寫出它的逆命題：O

（2）畫出圖形，寫出已知、求證，并進行證明。

6、通過上面的證明，我們又得到了等腰三角形的判定定理：o

四、體會與交流

1、在本節(jié)課中，我們用基本事實又證明了哪些定理。

2、實際上，我們以前曾學(xué)習(xí)過很多圖形的知識，（如：直角三角形全等，平

行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等）。對于這些圖形，我們通過動手操作

也得到了它們的性質(zhì)和判定，在今后的學(xué)習(xí)中，我們將進一步證明它們的正確

性。

五、隨堂練習(xí)

1、如果等腰三角形的周長為12,?邊長為5,那么另兩邊長分別為

2、如果等腰三角形有兩邊長為2和5,那么周長為o

3、如果等腰三角形有一個角等于50°,那么另兩個角為o

4、如果等腰三角形有一個角等于120°,那么另兩個角為0

5、用三角尺畫出一個等腰三角形的對稱軸，你有幾種畫法？（請你畫出圖

形）

6、在△回（：中，ZA=40°,當(dāng)NB等于多少度數(shù)時，^ABC是等腰三角

形？

7、如圖，^ABC中，AB=AC,2條角平分線BD、CE相交于點0,求證:

0B=0C。

等腰三角形的性質(zhì)和判定（2）

教學(xué)目標(biāo)：在掌握了等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理的基礎(chǔ)匕探索等邊三角形和其

它相關(guān)知識的證明方法。

教學(xué)重點：探索三角形和其他相關(guān)知識的證明方法

教學(xué)難點：用正確的定理證明

教學(xué)過程：

一、知識回顧

上節(jié)課中，我們對等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理進行了證明，請你寫

出這些定理。

等腰三角形性質(zhì)定理：（1）_______________________________________

（2）o

等腰三角形判定定理：______________________________________________

二、典例分析

1、已知：如圖（1）NEAC是AABC的外角，AD平分NEAC,且AD〃

BCo

求證：AB=AC

2、在上圖（2）中，如果AB=AC,AD〃BC,那么AD平分NEAC嗎？

如果結(jié)論成立，你能證明這個結(jié)論嗎？

3、你還能得到其他的結(jié)論嗎？與同學(xué)交流。

三、思考與交流

1、證明：兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。（簡寫為

“AAS”）

2、證明：（1）等邊三角形的每個內(nèi)角都等于60°。

（2）3個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形。

3、證明：（1）線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。

（2）到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。

四、隨堂練習(xí)

1、如圖，在AABC中，ZB=ZC=36°，NADE=NAED=2NB,由

2、已知：如圖，ZSABC是等邊三角形，DE〃BC,分別交AB、AC于點

D、Eo

求證：4ADE是等邊三角形。

3、求證：如果一個等腰三角形中有一個角等于60°,那么這個三角形是

等邊三角形。

五、體會與交流

本節(jié)課，我們又證明了哪些定理？你掌握了嗎？

1、2直角三角形全等的判定

教學(xué)目標(biāo)：1、能證明直角三角形全等的“HL”判定定理；

2、從簡單的數(shù)學(xué)例子中體會反證法的含義；

3、逐步學(xué)會分析的思考犯法，發(fā)展演繹推理的能力。

教學(xué)重點：能證明直角三角形全等的“HL”判定定理；

教學(xué)難點：發(fā)展演繹推理的能力

教學(xué)過程：

一、情境創(chuàng)設(shè)：

1、直角三角形全等的條件有哪些？

2、你認為具備這樣條件的兩個直角三角形一定全等嗎？為什么？

二、探索活動：

證明：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（簡寫為

“HL”）

問題一：你能從基本的事實出發(fā)，證明斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個

直角三角形全等嗎？

問題二：證明這個結(jié)論你有沒有困難？說說你準備如何解決這個問題？

問題三：如果用“把斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形拼合”

的方法來證明“HL”定理，那么：

（1）如何拼合？

（2）可以拼合成一個什么圖形？為什么可以拼合成一個等腰三

角形？

（3）說說你的證明思路。

三、例題教學(xué)：

1、如圖：如果NBAC=30°，那么BC=-AB,你能證明這個結(jié)論嗎？

2

(1)(2)

2、如圖，在△ABC中，已知D是BC中點，DE1AB,DF1AC,垂足分

別是E、F,DE=DF.求證：AB=AC

四、練習(xí)：

Pio1->2；

五、小結(jié)

(1)、圖形的“拆(把一個等腰三角形拆成兩個全等的直角三角形)”和

“拼(把兩個直角三角形拼成一個等腰三角形)”兩種方法體現(xiàn)了同一種思想一

一轉(zhuǎn)化思想，即可把待證的問題轉(zhuǎn)化為可證的問題；

(2)、本節(jié)課我們證明了一般三角形所不具有的直角三角形的特殊的判定

定理、特殊的直角三角形的特殊性質(zhì)，你還能列舉一些關(guān)于特殊與一般的例子

嗎？

六、作業(yè)

P121、2。

直角三角形全等的判定（2）

教學(xué)目標(biāo)：1、能證明角平分線的性質(zhì)定理和逆定理、三角形三條角平分線交與

—,占.

八、、，

2、從簡單的數(shù)學(xué)例子中體會反證法的含義；

3、逐步學(xué)會分析的思考方法，發(fā)展演繹推理能力。

教學(xué)重點：從簡單的數(shù)學(xué)例子中體會反證法的含義

教學(xué)難點：逐步學(xué)會分析的思考方法，發(fā)展演繹推理能力

教學(xué)過程：

一、情境創(chuàng)設(shè)：

證明：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等

1、你能用折紙的方法說明“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等“嗎？

引導(dǎo)學(xué)生通過“角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸，折

疊得到的折痕（垂線段）重合來說明

2、你還能用什么方法說明這個結(jié)論是正確的？

引導(dǎo)學(xué)生不斷感受合情推理道賀演繹推理都是人們正確認識事物的重要

途徑，并且這也是每個學(xué)生都能參與的學(xué)習(xí)活動。

二、探索活動

證明：在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線

上

問題一、“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”的逆命題是什么？

引導(dǎo)學(xué)生體會構(gòu)造一個命題的逆命題，也是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的一個途徑

問題二、你人為這個命題是真命題嗎？如果正確，如何證明？

注意：關(guān)注學(xué)生能否與角平分線的性質(zhì)定理有區(qū)別的畫出圖形，并根據(jù)圖

形寫出已知和求證。

引導(dǎo)學(xué)生進一步認識圖形的我位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系之間的內(nèi)在聯(lián)系：角平

分線上的點到角的兩邊的距離都相等；反過來，在一個角內(nèi)，到角的兩邊的距

離相等的點都在這個角的平分線上，為問題三的思考做鋪墊

問題三：如果某點到角的兩邊的距離不相等，那么這個點會在這個角的平

分線上嗎？為什么？

（初步滲透反證法）

三、例題教學(xué)

例1、“如果一個點到角的兩邊的距離不相等，那么這個點不在這個角的平

分線上?！蹦阏J為這個結(jié)論正確嗎？如果正確，你能證明它嗎？

例2、10.如圖，在△48C中，AB=AC,應(yīng)是過點4的直線，BD工DE于D,CEL

DE千E.

（1）若比■在小的同側(cè)（如圖①）且4%"，說明：BALAQ.

（2）若勿在"的兩側(cè)（如圖②）其他條件不變，問16與4c仍垂直嗎？若是

請予證明，若不是請說明理由.

①②

圖<19>

例3、如圖，4ABC的角平分線AD、BE相交與點O。（1）點Oglj△ABC

各邊的距離相等嗎？點O在NC的平分線上嗎？

即證明：三角形的三條角平分線交與一點

四、練習(xí)PH

五、小結(jié)

六、作業(yè)Po3、4

1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定（1）

教學(xué)目標(biāo)

1、會證明平行四邊形的性質(zhì)定理及其相關(guān)結(jié)論

2、能運用平行四邊形的性質(zhì)定理進行計算與證明

3、在進行探索、猜想、證明的過程中，進一步發(fā)展推理論證的能力

教學(xué)重、難點

重點：平行四邊形的性質(zhì)證明表達格式的邏輯性完整性精煉性

難點：分析綜合思考的方法

教學(xué)過程：

一、情境創(chuàng)設(shè)

根據(jù)我們曾經(jīng)探索得到的平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)，填寫

下表:

平行四邊形矩形菱形正方形

對邊平行

對邊相等

四邊相等

對角相等

4個角是直角

對角線互相平分

對角線相等

對角線互相垂直

兩條對角線平分兩組

對角

從上面的幾種特殊四邊形的性質(zhì)中，你能說說它們之間有什么聯(lián)系與區(qū)別

嗎？

如圖AB//AB,BCIIBC,CA//CA,圖中有個平行四邊形。

B'

CA'

A

C；B

二、合作交流

活動1、上表中平行四邊形的性質(zhì)中，你能證明哪些性質(zhì)？

活動2、你認為平行四邊形性質(zhì)中，可以先證明哪一個？為什么？

活動3、證明定理“平行四邊形對角線互相平分”。

由此證明過程，同時也證明了定理“平行四邊形對邊相等”、“平行四邊形

對角相等“，這樣我們可得平行四邊形的三條性質(zhì)定理：

平行四邊形對邊相等。

平行四邊形對角相等。

平行四邊形對角線互相平分。

例1：已知：如圖，HABCD中，E、F分別是AD、BC的中點。

求證：BE=DF

分析：可根據(jù)證明4ABE烏Z\CDF得到結(jié)論。

若將例1中的“E、F分別是AD、BC的中點”改為“AE=，AD,CF=-BC,\

33

是否還能得到同樣的結(jié)論？

練習(xí)：P151、2

例2、證明“夾在兩條平行線之間的平行線段相等”

分析：根據(jù)命題先畫出相應(yīng)圖形，再由命題與所畫圖形寫出已知、求證，

最后根據(jù)已知條件寫出證明過程。

例3（廣東省）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點F在BA的延長線上

連結(jié)CF交于AD點E.

求證：（DACDES/XFAE

（2）當(dāng)E是AD的中點，且BC=2CD時，求證：ZF=

ZBCF

證明：(1)???四邊形ABCD為平行四邊形

AAB〃CD,

?,.ZD=ZEAF

VZDEC=ZAEF,

/.△CDE^AFAE

(2)VACDE^AFAE

???D_C__D_E

AF一AE

?.?E是AD的中點

...AF=DC

VAD=BC,BC=2CD

.*.AD=2AF

/.AE=AF

二NF=NAEF

-AD〃CB,

二ZAEF=ZBCF

ZF=ZBCF

說明平行四邊形能帶來平行線、等角，從而為得到比例線段、相似三角

形創(chuàng)造了條件，也就為利用相似解決問題帶來了方便.

練習(xí)：1、已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=8cm,

BC=10cm,ZC=120°,

求BC邊上的高AH的長；

求平行四邊形ABCD的面積

2、如圖,平行四邊形ABCD中，AB=3,BC=5,AC的垂直平分線交AD于E,則4CDE

的周長是（B）

A.6B.8C.9D.10

三、分層訓(xùn)練

1.UBCD的周長為50cm,且AB:BC=3:2,貝I」AB=_____cm,BC=cm.；

2.已知ZJABCD中，AB=8,BC=10,ZB=45°,UABCD的面積為.

3.在AABC中，AB=AC^,〃是比'上的點，DE//AB交"于點￡,DF//AC交AB

于點兄那么四邊形4口應(yīng)的周長是（）

A.5B.10C.15D.20

4.延長平形四邊形ABCD的一邊AB到E,使BE=BD,連結(jié)DE交BC于F,

若NDAB=120°,ZCFE=135°,AB=1,則AC的長為（）

(A)1(B)1.2(D)1.5

5如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交

于點0,邊AB可以看成由平移得來的，AABC可以看成由

繞點0旋轉(zhuǎn)得來；

----A-----------n

6、平行四邊形ABCD的兩條對角線AC與BD相交于O,國AB=8,BC=6,

△AOB的周長為18,求aAOD的周長。

7、已知：如圖，DABCD中，BD是對角線，AELBD于E,CFJ_BD于F.

求證：BE=DF.An

四、小結(jié)/V

引導(dǎo)學(xué)生自我歸納總結(jié),

1、平行四邊形對邊相等，對角相等，鄰角互補，對角線互相平分。

2、是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心。

3、平行線之間的距離處處相等。

五、課堂檢測

1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定（2）

教學(xué)目標(biāo)

1、認識幾種特殊的四邊形的性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別

2、會證明矩形的性質(zhì)定理及直角三角形斜邊上中線的有關(guān)性質(zhì)定理

3、能運用矩形的性質(zhì)定理或有關(guān)定理進行簡單的計算與證明

4、在進行探索、猜想、證明的過程中，能將命題由文字語言轉(zhuǎn)化為圖形與

符號語言，進一步發(fā)展推理論證的能力

教學(xué)重、難點

重點：矩形的本質(zhì)屬性

難點：矩形性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用

教學(xué)過程：

一、情境創(chuàng)設(shè)

矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)。結(jié)合下圖說說

矩形有哪些平行四邊形不具有的特殊性質(zhì)？

你能證明這些性質(zhì)嗎？

二、合作交流

問題一觀察平行四邊形和矩形的對角線把它們所分成的三角形，你有

何發(fā)現(xiàn)？（引導(dǎo)學(xué)生不斷地學(xué)會從多個角度觀察、認識圖形，主動地發(fā)現(xiàn)和獲

得新的數(shù)學(xué)結(jié)論，不斷地積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗）

問題二證明：矩形的4個角都是直角。

矩形的對角線相等。

問題三你能證明“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”嗎？說

說你的證明思路。

已知：如圖，在aABC中，ZACB=90°.

1

求證：邊AB上的中線等于5AB.

證明：在NACB內(nèi)作NBCD=NB,CD交AB

VZACB=90°

ACD與BCD互余，NA與NB互余

,/ZBCD=ZB

/.ZACD=ZA

，DA=DC=DB,即CD是邊AB上的中線，且CD=]AB

問題四你對上面的結(jié)論還有更多的思考和猜想嗎？（引導(dǎo)學(xué)生不斷學(xué)

會思考和猜想：由結(jié)論進一步能得到什么結(jié)論？這個結(jié)論的逆命題是否正確。

不斷發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思考的能力）

例1、已知：如圖，矩形ABCD的兩條對角線

且AC=2AB.

求證：AAOB是等邊三角形

分析：利用矩形的性質(zhì)：矩形的對角線相等且互相平分，結(jié)合“AC=2AB”

即可證得。

本題若將"AC=2AB”改為“NBOC=120°”，你能獲得有關(guān)這個矩形的哪

些結(jié)論？

練習(xí)：P16頁1、2

例2、如圖在矩形ABCD中，BE平分NABC,交CD于點E,點F在邊

BC上，

①如果FEJLAE,求證FE=AE。

②如果FE=AE你能證明FELAE嗎？

DE

C

練習(xí)：

思考△.如圖①所示，RSABC中,ZC=90°,AC=12,BC=5,點M在邊AB上,

且AM=6.

（1）動點D在邊AC上運動，且與點A、C均不重合，設(shè)CD=x.

①設(shè)4ABC與AADM的面積之比為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出自

變量x的取值范圍）；

②當(dāng)x取何值時，AADM是等腰三角形？寫出你的理由.

（2）如圖②，以圖①中的BC、CA為一組鄰邊的矩形ACBE中，動點D在矩

形邊上運動一周，能使4ADM是以NAMD為頂角的等腰三角形共有多少個？

（直接寫出結(jié)果，不要求說明理由）

例3、（吉林?。┤鐖D，在矩形紙片ABCD中，AB=3百，BC=6,沿EF

折疊后，點C落在AB邊上的點P處，點D落在點Q處，AD與PQ相交于點H,

ZBPE=30°.

（1）求BE、QF的長.（2）求四邊形PEFH的面積.

【分析】折疊型試題是近年中考試題的熱點，

有想像力，抓住折疊的角與邊不發(fā)生變化，必要時需要考生剪一個四邊形實際

折疊一下幫助理解.

四、分層訓(xùn)練

1、已知，在矩形ABCD中，AE±BD,E是垂足,

ZDAE：ZEAB=2：1,求NCAE的度數(shù)。

AC=10cm,邊BC=8cm,

3、如圖1,周長刃。"的矩形ABCD被分成7個全等的矩形，則矩形ABCD的面

積為().

(A)98(B)196(C)280(D)284

4、如圖2,根據(jù)實際需要，要在矩形實驗田里修…條公路(小路任何地方水

平寬度都相等)，則剩余實驗田的面積為.

5、如圖3,在矩形ABCD中，M是BC的中點，且MALMD.若矩形ABCD的周長

為48cm,則矩形ABCD的面積為_______cm2.

6、已知，如圖，矩形ABCD的對角線AC,BD相交于點0,E,F分別是0A,0B

的中點.

(1)求證：△ADEgZ^BCF；(2)若AD=4cm,AB=8cm,求OF的長.

7、如圖，在矩形ABCD中，已知AB=8cm,BC=10cm,折疊矩形的一邊AD,使點

D落在BC邊的中點F處，折痕為AE,求CE的長.

8、閱讀下列過程：

如圖①，小肖過AB,CD的中點畫直線EF,把矩形ABCD分割成甲、乙兩部

分.

如圖②，小徐過A,C兩點畫直線AC,把矩形ABCD分割成丙、丁兩部分.

回答下列問題：

（1）填空：S用_____S乙，S丙_____ST（填“〉”或“〈”或“二”）；

（2）根據(jù)小肖、小春的分割庶理，你還能探索出其他的分割方法嗎？請

在圖③中任意給出…種；

（3）由本題的操作過程，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

②③

9、（2006年煙臺市）如圖4,先將一矩形ABCD置于直角坐標(biāo)系中，使點A與

坐標(biāo)系的原點重合，邊AB、AD分別落在x軸、y軸上（如圖①所示），再將

此矩形在坐標(biāo)平面內(nèi)按逆時針方向繞原點旋轉(zhuǎn)30°（如圖②所示），若AB=4,

BC=3,則圖①和圖②中，點B的坐標(biāo)為_點C的坐標(biāo)為_

五、小結(jié)

從位置、形狀、大小等不同的角度，觀察和比較平行四邊形、矩形的對角

線把它們分成的三角形的異同，發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用直角三角形的判定證明矩形的特殊

性質(zhì)；反過來，我們又利用矩形的性質(zhì)證明“直角三角形中斜邊上的中線等于

斜邊的一半”。

六、課堂檢測

1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定（3）

教學(xué)目標(biāo)

1、會歸納菱形的特性并進行證明

2、能運用菱形的性質(zhì)定理進行簡單的計算與證明

3、在進行探索、猜想、證明的過程中，進一步發(fā)展推理論證的能力，進一

步體會證明的必要性

教學(xué)重、難點

重點：菱形的性質(zhì)定理證明

難點：性質(zhì)定理的運用生活數(shù)學(xué)與理論數(shù)學(xué)的相互轉(zhuǎn)化

教學(xué)過程：

一、情境創(chuàng)設(shè)

1.將一張矩形的紙對折再對折，然后沿著圖中的虛線剪下，打開，你發(fā)現(xiàn)

這是一個什么樣的圖形？（同桌互相幫助。）

2.探索。

請你作該菱形的對角線，探索菱形有哪些特征，并填空。

（從邊、對角線入手。）

（1）邊：都相等；（2）對角線：互相垂直。

（學(xué)生通過自己的操作、觀察、猜想，完全可以得出菱形的特征，這對學(xué)生

來說是富有意義的活動，學(xué)生對此也很感興趣。）

問題：你怎樣發(fā)現(xiàn)的?又是怎樣驗證的？

（可以指名學(xué)生到講臺上講解-嚇?biāo)慕Y(jié)果。）

3.概括。

菱形特征1：菱形的四條邊都相等。

菱形特征2：菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對

角O

引導(dǎo)學(xué)生剖析矩形與菱形的區(qū)別。

矩形的對邊平行且相等，四個角都是直角，對角線相等且互相平分；菱形

的四條邊都相等，對邊平行，對角相等，對角線互相垂直平分，每條對角線平

分它的一組對角。

4.請你折一折，觀察并填空。（引導(dǎo)學(xué)生歸納。）

（1）菱形是不是中心對稱圖形?對稱中心是。

（2）是不是軸對稱圖形?對稱軸有幾條?。

二、合作交流

問題一觀察平行四邊形和菱形的對角線把它們所分成的三角形，你有

何發(fā)現(xiàn)？（引導(dǎo)學(xué)生不斷地學(xué)會從多個角度觀察、認識圖形，主動地發(fā)現(xiàn)和獲

得新的數(shù)學(xué)結(jié)論，不斷地積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗）

問題二證明：菱形的4條邊都相等。

菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。

分析：第一條定理可先用“兩組對邊分別相等”證明平行四邊形，再利用

一組鄰邊相等得證；第二條定理可利用“三線合一”證得。

問題三已知菱形的兩條對角線長分別為6和8,由此你能獲得有關(guān)這

個菱形的哪些結(jié)論？（可得到邊長為5；面積為24）你認為菱形的面積與菱形

的兩條對角線的長有關(guān)嗎？如果有關(guān)，怎樣根據(jù)菱形的對角線的計算它的面

積？

由此可得：菱形的面積等于它的兩條對角線長的積的面積。

例1、如圖3個全等的菱形構(gòu)成的活動衣帽架，頂點A、E、F、C、G、

H是上、下兩排掛鉤，根據(jù)需要可以改變掛鉤之間的距離（比如AC兩點可以

自由上下活動），若菱形的邊長為13厘米，要使兩排掛鉤之間的距離為24厘

米，并在點B、M處固定，則B、M之間的距離是多少？

分析：可將問題歸結(jié)到菱形ABCD中研究，求出BD的長即可。可根據(jù)菱

形的對角線互相垂直平分利用勾股定理求出BDo

練習(xí)P181、2

例2已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，G是AB上任一點,

DF交AC于點Eo

求證：ZAGD=ZCBE

分析：結(jié)合“全等三角形對應(yīng)角相和“兩直線平行,內(nèi)錯角相等”即

可得證。

練習(xí)：

1、如圖，微形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點,

如果EF=2,那么ABCD的周長是（D）

A.4B.8

C.12D.16

2、如圖，已知菱形的兩條對角線長為a,

b,你能將菱形沿對角線分割后拼接成矩形嗎？畫圖說明

（拼出一種圖形即可）；在此過程中,你能發(fā)現(xiàn)菱形的面

積與a,b的關(guān)系嗎？

拼法（1）拼法（2）

或s菱形=s矩形⑵

結(jié)論：菱形的面積等于兩對角線乘積的一一半.

3、己知：如圖，菱形ABCD中，ZB=60°,AB=4,則以AC為邊長的

正方形ACEF的周長為.

四、分層訓(xùn)練

1.已知菱形的周長為16cm,則菱形的邊長為_____cm.

2.已知四邊形ABCD是菱形，。是兩條對角線而交點，

AC=8cm,DB=6cm,菱形的邊長是

3.已知菱形的邊長是5cm,一條對角線長為8cm,

則另一條對角線長為_____cm.

4.翻ABCD的周長為40cm,兩條對角線AC：BD=4：

3,那么對角線AC=___cm,BD=__cm.

5.如圖，四邊形ABCD是菱形，ZABC=120°,

AB=12cm,則NABD的度數(shù)為__，NDAB的度

數(shù)為;對角線BD=,AC=；瓢ABCD的面積為.

6.菱形的兩條對角線把菱形分成全等的直角三角形的個數(shù)是（）.

（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

7.如圖，在菱形ABCD中，CE±AB,E為垂足，BC=2,BE=1,求菱形的周長和

面積.

小結(jié)

菱形的對角線把菱形分成等腰三角形和直角三角形，所以解決菱形問題,

常?？梢赞D(zhuǎn)化為等腰三角形或直角三角形問題。

六、作業(yè)

1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定(4)

教學(xué)目標(biāo)

1、會歸納正方形的特性并進行證明

2、能運用正方形的性質(zhì)定理進行簡單的計算與證明

3、在進行探索、猜想、證明的過程中，進一步體會證明的必要性以及計算

與證明在解決問題中的作用

4、在比較、歸納、總結(jié)的過程中，進一步體會特殊與一般之間的辯證關(guān)系

教學(xué)重、難點

重點：經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等活動，發(fā)展合情推理能力和初步的

演繹推理能力

難點：有條理地、清晰地闡述自己的觀點

教學(xué)過程：

一、情境創(chuàng)設(shè)

這是一個流傳在世界各地的故事,三姐妹的父親是一位慈祥的阿拉伯老人。

一天，老人不幸去世，臨終，老人留給三個女兒一件珍貴的傳家寶-----塊五

色斑斕的正方形地毯，深愛父親的女兒們都想得這塊地毯，以作紀念。大姐想

出了一個好辦法：“把它裁成三個小正方形地毯，為了不使地毯剪得過于零碎，

最好只剪成4塊，其中兩塊是正方形，另外兩塊可以拼成一個正方形?！甭斆鞯?/p>

你能想出一個巧妙的剪法，符合大姐的設(shè)想嗎？

二、合作交流

探索正方形的性質(zhì)(1)邊的性質(zhì)：;(2)角的

性質(zhì)：;

(3)對角線的性質(zhì)：；

(4)對稱性：。

例1、已知：如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于

點0;正方形的頂點A與點0重合，AB，交BC于點E,

(2)若正方形A'B'C'D，繞點0旋轉(zhuǎn)某個角度后，0E=0F嗎？

分析：（1）方法一OB=OC,E是BC的中點

/.0E1BC,Z0EC=90°________________

VZEAT=ZECF=90°/

：.Z0FC=90°

VOC=OD/

.??F是CD的中點-----'/

方法二VZEA,F=90°,AC±BD/.ZE0C+ZC^^D0F+Z/TOF=90o

.*.ZEOC=ZDOF又OC=OD,N0CE=N0DF=45°

AAOCE^AODF（ASA）

.,.DF=CE=-BC=-CD,即F是CD的中點。

22

（2）證明方法同前方法二。

由（1）、（2）可以得到什么結(jié)論？（無論正方形AB，CD，繞點O旋轉(zhuǎn)并

與正方形ABCD分別交BC、CD于點E、F,總有OE=OF,BE=CF,EC=FD,

兩個正方形的重疊部分的面積始終等于正方形ABCD面積的四分之一等等）

練習(xí)

如圖，將n個邊長都為1cm的正方形按如圖所示擺放，點A、、A?、…、An

分別是正方形的中心，則n個這樣的正方形重疊部分的面積和為（C）

2

A.1cmBn.—?cm2

44

例2、已知，在正方形ABCD中，E是BC的中點，點F在CD1ZFAE=Z

BAE.

求證：AF=BC+FC.

BC

E

例3、求證：正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角

三角形。

例4、已知正方形ABCD。

（1）如圖1,E是AD上一?點，過BE上一點O作BE的垂線，交AB于點G,

交CD于點H,求證：BE=GH；

（2）如圖2,過正方形ABCD內(nèi)任意一點作兩條互相垂直的直線，分別交AD、

BC于點E、F,交AB、CD于點G、H,EF與GH相等嗎？請寫出你的結(jié)論；

（3）當(dāng)點O在正方形ABCD的邊上或外部時，過點O作兩條互相垂直的直線,

被正方形相對的兩邊（或它們的延長線）截得的兩條線段還相等嗎？其中一種

情形如圖3所示，過正方形ABCD外一點。作互相垂直的兩條直線m、n,m

與AD、BC的延長線分別交于點E、F,n與AB、DC的延長線分別交于點G、

H,試就該圖對你的結(jié)論加以證明。

練習(xí)：

1、（2006年濰坊市）如圖7,邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)300

到正方形AB'C，D，，圖中陰影部分的面積為（)

c.YD.1-近

~T4

2、已知：如圖，正方形ABCD的周長為4a,四邊形EFGH四個頂點E、F、

G、H分別在AB、BC、CD,DA上滑動，在滑動過程中，始終有EH〃BD

〃FG,且EH=FG,那么四邊形EFGH的周長是否可求？若能求出，它的

周長是多少？若不能求出，請說明理由.

三、分層訓(xùn)練

1、如圖，正方形ABCD中，AB=1,點P是對角線AC上的一點，分別以

AP、PC為對角線作正方形，則兩個小正方形的周長的和是。

2、如圖,正方形ABCD中,NDAF=25°,AF交對角線BD于E,交CD于E則N

BEC=度.

3、如圖：正方形ABCD中，AC=IO,P是AB上任意一點，PE_LAC于E,PF

■LBD于F,則PE+PF=—?？梢杂靡痪湓捀爬ǎ赫叫芜吷系娜我庖稽c到兩

對角線的距離之和等于

BCE

4、如圖,正方形ABCD中，點E在BC的延長線上，AE平分NDAC,則下列結(jié)論:

（1）ZE=22.50.（2）ZAFC=112.50.（3）ZACE=1350（4）AC=CE（5）AD:

CE=1：后.其中正確的有（）（A）5個（B）4個（C）3個（D）

2個

5、如圖，在正方形ABCD的邊BC上任取一點M,過點C作CNLDM交AB

于N,設(shè)正方形對角線交點為O,試確定OM與ON之間的關(guān)系，

并說明理由.D---------------7

NR

6、（2006?濟南市）現(xiàn)有若干張邊長不相等但都大于4cm的正方形

紙片，從中任選一張，如圖從距離正方形的四個頂點2cm處沿45°角畫線，

將正方形紙片分成5部分，則中間陰影部分的面積是迄cm2；若在上述

正方形紙片中再任選一張重復(fù)上述過程，并計算陰影部分的面積，你能發(fā)現(xiàn)

什么規(guī)律？.得到的陰影部分的面積

是8cm2,即陰影部分的面積不變.

四、小結(jié)

（1）正方形與矩形，菱形，平行四邊形的關(guān)系如糊。

(2)正方形的性質(zhì)：

①正方形對邊平行。

②正方形四邊相等。

③正方形四個角都是直角。

④正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。

⑤正方形對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對

(3)本節(jié)課我們把探索和解決問題的思路、方法、結(jié)論，從特殊情形逐步推廣

到一般的情形，從而得到一般的結(jié)論，這也是我們獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的一種重要的

思想方法。

五、課堂檢測

1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定（5）

教學(xué)目標(biāo)

1、會證明平行四邊形的判定定理，結(jié)合具體命題了解反證法

2、能運用平行四邊形的判定定理及反證法進行簡單的計算與證明

3、能運用平行四邊形的性質(zhì)與判定定理進行比較簡單的綜合推理與證明

4、初步體會證明過程中的反證法的思想及其說理的過程

教學(xué)重、難點

重點：平行四邊形判定定理的證明，反證法

難點：用反證法證明

教學(xué)過程：

一、情境創(chuàng)設(shè)

回憶我們曾探索得到的一個四邊形是平行四邊形的條件，填寫下表：

條件結(jié)論

四邊形ABCD,對角

四邊形ABCD是平

線AC、BD相交于點

行四邊形

O

二、合作交流

問題一你能證明我們曾探索得到的平行四邊形的判定方法是正確的

嗎？

證明：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

分析：先根據(jù)命題畫出圖形，再寫出已知、求證，最后用研究平行四邊形

常見的輔助線“連結(jié)對角線”證三角形全等，得到兩組內(nèi)錯角相等，由平行線

證出平行四邊形。

問題二證明：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

問題三你認為“一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊

形”這個結(jié)論正確嗎？為什么？

問題四你認為“在四邊形ABCD中，如果OA=OC,OBrOD,那么

四邊形ABCD不是平行四邊形”這個結(jié)論正確嗎？為什么？

分析：假設(shè)四邊形ABCD是平行四邊形，那么OA=OC,OB=OD,這與

條件OBHOD矛盾，所以四邊形ABCD不是平行四邊形。

假設(shè)條件成立，結(jié)論不成立，然后由這個“假設(shè)”出發(fā)推導(dǎo)出與條件矛盾

的結(jié)果，從而證明結(jié)論一定成立，這種證明方法叫做反證法。

例1已知：如圖，在OABCD中，對修

相交于點O，AE1BD,CF1BD,垂足分別為E、F。

求證：四邊形AECF是平行四邊形。

分析：由垂直可證一組對邊平行，再利用全等證這組對邊相等；或由平行

四邊形對角線互相平分知OA=OC,再證OE=OF即可；或由垂直證一組對邊平

行，再利用面積相等法證這組對邊相等。

練習(xí)：P20頁拓展與延伸及練習(xí)1、2

例2、（哈爾濱市）如圖，已知E為平行四邊形-VABCD

中DC邊的延長線上的一點，且CE=DC,連結(jié)AE,分別交BC、

BD于點F、G,連結(jié)AC交BD于0,連結(jié)0F.

求證：AB=20F.

證明：連結(jié)BE

?.?四邊形ABCD為平行四邊形

/.AB〃CD,AO=OC,AB=CD

VCE=CD,

/.AB=CE,

四邊形ABEC為平行四邊形，

；.BF=FC,

/.OF=-CE即AB=20F.

2

說明能用平行四邊形的知識解決的問題，不必用三角形的知識解決，這樣

更簡便

練習(xí)

1.如圖，平行四邊形ABCD中，EF為邊AD、BC上的點，且AE=CF,連結(jié)

AF、EC、BE、DF交于M、N,試說明：MFNE是平行四邊形

2.如圖：已知在4ABC中，AB=AC,D為BC上任意一點，DE〃AC交AB于E,

DF〃AB交AC于F,求證：DE+DF=AC

3.平行四邊形ABCD'\-',E、C、尺〃分別是四條邊上的點，且AE=CF,BG=DH.

求證：跖和G〃互相平分.

4.已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，連結(jié)BD

⑴求作：NA的平分線AE交BC于E,交BD于F；

（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）

（2）求證：①AB=BE；②絲=處

BFDF

三、分層訓(xùn)練:

1.已知8a要使四邊形4?勿為平行四邊形，需要增加條件―

（只需填一個你認為正確的條件即可）.

2.已知：DABCD的周長是30cm,對角線AC,BD相交于點0,ZA0B的周長

比/B0C的周長為5cm,則這個平行四邊形的各邊長為.

3.如圖，在。ABCD中，EF〃BC,GH〃AB,EF、GH的交點P在BD上，則圖

中有對四邊形面積相等；它們是

4.OABCD中，過0點的直線EF分別交AD、CB于E、

F,AB=2.4cm,BC=4cm,0E=l.1cm,則四邊形CDEF的周長

為cm.

5.》BCD中，AC、BD的長滿足方程x2-6尤+8=0,則CB的長的取值范圍

為.

6、(2006?廣東省)如圖，在mBCD中，ZDAB=60°,點E、F分別在CD、

AB的延長線上，且AE=AD,CF=CB.

(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形.

(2)若去掉已知條件的“NDAB=60°,上述的結(jié)論還成立嗎?若成立，請寫出

證明過程；

若不成立，請說明理由.

四、小結(jié)

1.從邊與邊的關(guān)系:

兩組對邊分別平行

一組對邊平行且相等一組對邊平行且相等的田邊形是平行川邊形。

兩組對邊分別相等

2.從角與角的關(guān)系:兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

3.從對角線的相互關(guān)系：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

五、課堂檢測

1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定（6）

教學(xué)目標(biāo)

1、會證明矩形的判定定理

2、能運用矩形的判定定理進行計算與證明

3、能運用矩形的性質(zhì)定理與判定定理進行比較簡單的綜合推理與證明

教學(xué)重、難點

重點：矩形判定定理的證明

難點：矩形判定定理的應(yīng)用

教學(xué)過程：

一、情境創(chuàng)設(shè)

具備什么條件的平行四邊形是矩形？具備什么條件的四邊形是矩形？同

學(xué)之間進行交流。

二、探索活動

問題一如圖，在OABCD中，AC=BD,由此你可得到什么？

AD

BC

問題二如圖，要證OABCD是矩形，需證什么？為什么？

根據(jù)矩形的定義，只要證OABCD的一個角是直角；或證NABO+N

CB0=90°；或證NABC=NDCB.

問題三說說證明“對角線相等的平行四邊形是矩形”的思路。

由問題二可得出多種證明思路。

三、例題教學(xué)

例1、P22例5

練習(xí):P231、2

例2、已知：如圖，OABCD的四個內(nèi)角平分線相交于點E、F、G、

Ho

求證：EG=FH

分析:由OABCD,得對邊AB〃CD,可證NABC+NBCD=180°

再由兩角的平分線可得NGBC+NGCB=90°，從而得NHGF=90°,

同理可證得NHEF=90°,NAHB=90°,再由對頂角相等得/EHG=90°,從而可得

四邊形EFGH是矩形，再由矩形的對角線相等得出結(jié)論。

例3已知：平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于O,AAOB

是等邊三角形，AB

=4cm,求這個平行四邊形的面積（如圖4—38）。

分析解題思路：

（1）先判定平行四邊形ABCD為矩形。

（2）求出RtAABC的直角邊BC的長。

（3）計算S=ABXBC

小結(jié)：

（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)。

（2）特有性質(zhì)：四個角都是直角，對角線線段。

（3）矩形的判定方法1、2都是有兩個條件：

①是平行四邊形，②有一個角是直角或?qū)蔷€相等。

判定方法3的兩個條件是：①是四邊形，②有三個直角。

練習(xí)：

1.如圖，B0是RtaABC斜邊上的中線，延長B0至點D,使BO=DO,喝AD,CD,

則四邊形ABCD是矩形嗎？請說明理由.

2.已知：如圖，BC是等腰ABED底邊ED上的高，四邊形ABEC是平行四邊形.求

證：四邊形ABCD是矩形.

例4、(2006年青島市)如圖，在ABCD中，E、F分別為邊AB、CD的

中點，BD是對角線，AG〃DB交CB的延長線于G.

(1)求證：△ADEgZ\CBF；

(2)若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的

結(jié)論.

【解析】(1)???四邊形ABCD是平行四邊形

.,.Z1=ZC,AD=CB,AB=CD.幺個

??,點E、F分別是AB、CD的中點，/C

：.AE=AB,CF=/CD.A\\

，AE=CF.

.,.△ADE^ACBF.

(2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，四邊形AGBD是矩形.

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

，AD〃BC.

VAG//BD,