初中數(shù)學-函數(shù)整點問題+幾何綜合探究

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初中數(shù)學必考點■函數(shù)整點問題+幾何綜合探究

整點定義：橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.

(1)一次函數(shù)(心0)上的整點:

直線上的整點與斜率帕勺形的關(guān)系

2

(2)反比例函數(shù)(x>0)上的整點:

y

例1、在平面直角坐標系xQy中，直線/:y=kx+l（k0）與直線x=4,直線歹=一左分別交

于點4,3,直線％=左與直線y=—左交于點。.橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.記線段43,

BC,C4圍成的區(qū)域（不含邊界）為〃..

①當上=2時，結(jié)合函數(shù)圖象，求區(qū)域沙內(nèi)的整點個數(shù)；.

②若區(qū)域沙內(nèi)沒有整點，直接寫出左的取值范圍..

（直線/：歹=h+1（%。0）與y軸交于（0,1）、

當人＞0時，直線過一、二、三象限，y隨x的增大而增大；

當左＜0時，直線過一、二、四象限，歹隨x的增大而減小；

直線x=%是垂直于x軸的直線.

直線＞=—左是平行于x軸的直線.」1X

67

△/8C是直角三角形

（關(guān)注（不含邊界））

①當上=2時，畫出函數(shù)圖象，得區(qū)域/內(nèi)的整點個數(shù)為6個。

例1、在平面直角坐標系*Qy中，直線/:y=kx+l(k0)與直線x=%,直線歹=一%分別交

于點4,B,直線x=后與直線夕=一左交于點C.橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.記線段45,

BC,C4圍成的區(qū)域(不含邊界)為少..

故，當一14左＜0或/二一2時，區(qū)域田內(nèi)沒有整點?

準確畫圖就是硬道理

，例1、在平面直角坐標系*Qy中，直線/：1y=Ax+I(kwO)與直線x=%,直線y=-〃分別交

于點4,B,直線工=左與直線y=交于點C.橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.記線段43,

BC,。圍成的區(qū)域(不含邊界)為沙..

①當左=2時結(jié)合函督圖象.求區(qū)域沙內(nèi)的整點個數(shù)：.

②若區(qū)域氏對沒有整點J直接寫出左的取值范圍..q平/

C（k,-k）

思考：我們能否從三個點的軌跡

中看出區(qū)域歌的變化規(guī)律呢？

例2、在平面直角坐標系xQy中，函數(shù)丁=二。＞0）的圖象G,.■

x

問題1：直線/i：y=2%-4和直線/2：y=2x+b的圖象與圖象G分別交于點4,.

橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.記圖象G在點4外之間的部分與兩條直線及歹軸圍成的區(qū)域

（不含邊界）為力..

①當人=0時，直接寫出區(qū)域田內(nèi)的整點個數(shù);.

5y=2x-l

4/,y=2x-2

(1,0)-?y=2x-2-?b=-23

2y=2x-4

b>—41

(1,1)-?y=2x-\-?b=-1

<-2-1

-1

=>—2vb4一1.

(2,-1)-=2x-5->b=-5

Z?<-44y=2x-4

<(2,—2)-Ay=2x-6-?/7=-63;v=2x-5

//y=2x-6

n-6<b<-5

界點需邊界線二2二%oi訪456X

所以,—6Wb<—5或一2<bW—1.

問題2：點?（）,〃）（加＞3）是直線/:歹=2%-4上一動點，過點尸分別作》軸、

4

y軸的平行線，交雙曲線y二一（叉〉0）于點M、N,雙曲線在點A/,N之間的部分與

x

線段尸M,PN所圍成的區(qū)域（不含邊界）記為％..

問題3：已知4（3,2）,直線/:'=去一1（左。0）與y軸交于點5,與圖象G交于點C..

記圖象G在點4,。之間的部分與線段64,8C圍成的區(qū)域（不含邊界）為W..

若區(qū)域％內(nèi)的整點不2'千4個，結(jié)合函數(shù)圖象，求左的取值范圍.

定點(0,-1)

旋轉(zhuǎn)

小結(jié)

解決有關(guān)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的整點問題的步驟:

分類討論確定區(qū)域

例在平面直角坐標系中，拋物線y=+Z?x+c過原點和點/(—2,0).

(1)求拋物線的對稱軸；

(2)橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.已知點3(0,g),記拋物線與直線

圍成的封閉區(qū)域(不含邊界)為少.

①當4=1時，求出區(qū)域少內(nèi)的整點個數(shù)；

②若區(qū)域沙內(nèi)恰有3個整點，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出a的取值范圍.”

數(shù)—?形對稱性

1D2-

解:(1).拋物線^=。/

Yy^:+2ax，

???拋物線的對稱軸為直線?1

x=-11

b八2）加

x=-----c=0b=2a

2a91-1

頂點（-1,一4）4-y--a^c+1）2-a,

k_____________）

例在平面直角坐標系xQy中，拋物線y=ar?+bx+c過原點和點4（一2,0）.

（2）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.已知點8（0,；）,記拋物線與直線48

圍成的封閉區(qū)域（不含邊界）為少.

①當。=1時，求出區(qū)域沙內(nèi)的整點個數(shù)；

②若區(qū)域％內(nèi)恰有3個整點，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出。的取值范圍.

解：（2）?.?拋物線經(jīng)過原點（0,0）和點4（一2,0）,

c=0,b=2a.

：.拋物線解析式可化為y=ox?+2ax.

①a=1時，拋物線解析式為y=/+2.v.

.?.拋物線的頂點為（一1,一1）.直線48：y=^-x+|.

由圖象知，區(qū)域%的整點個數(shù)為2.

例在平面直角坐標系x。”中，拋物線歹=ar?+bx+c過原點和點/（一2,0）.

（2）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.已知點8（0,；）,記拋物線與直線48

圍成的封閉區(qū)域（不含邊界）為郎.

②若區(qū)域沙內(nèi)恰有3個整點，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出a的取值范圍..

解：②當。>0時.一

（1）由①得，?=1,拋物線y=（x+l）2-l,

其頂點為（一1,一1）,.

此時區(qū)域沙內(nèi)恰有2個整點.

拋物線頂點為（一1,一2）時，a=2,

此時區(qū)域沙內(nèi)恰有3個整點.

/.1<<7<2.

例在平面直南坐標系中，拋物線歹=ar?+6x+c過原點和點4（-2,0）.

（2）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.已知點記拋物線與直線48

圍成的封閉區(qū)域（不含邊界）為少.

②若區(qū)域沙內(nèi)恰有3個整點，結(jié)合函數(shù)圖象,

2

解：（2）當拋物線經(jīng)過（1,2）時，a=-

此時區(qū)域%內(nèi)恰有2個整點.

3

當拋物線經(jīng)過（2,3）時，（7=-

且點（2,3）又在直線4s上，

此時區(qū)域內(nèi)恰有3個整點..

當拋物線經(jīng)過（1,1）時，a=-

此時區(qū)域％內(nèi)也有3個整點.

.13

>一<一

38

12

?■—Ka<一.

3二

例在平面直角坐標系xQp中，拋物線歹=ar?+bx+c過原點和點/（一2,0）.

（2）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.已知點8（0,1）,記拋物線與直線48

圍成的封閉區(qū)域（不含邊界）為郎.

②若區(qū)域沙內(nèi)恰有3個整點，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出。的取值范圍.

當a<0時..

（3）若拋物線的頂點為（一1,3）時，a=-3,

此時區(qū)域沙內(nèi)恰有2個整點.”

若拋物線的頂點為（一1,4）時，67=-4,

此時區(qū)域沙內(nèi)恰有3個整點.”

-4Ka<—3.

例在平面直角坐標系xQv中，拋物線y=蘇？+方x+c過原點和點力(一2,0).

(2)橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.已知點8(0,1),記拋物線與直線48

圍成的封閉區(qū)域(不含邊界)為葉.

②若區(qū)域沙內(nèi)恰有3個整點，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出。的取值范圍..

12

。的取值范圍是一4?。＜—3或—￡。＜一或l＜aW2

33

(3)與二次函數(shù)有關(guān)的整點問題

1.數(shù)形結(jié)合

2.認真審題

3.強化性質(zhì)

4.分類討論

5.學會檢驗

小結(jié)

解決有關(guān)二次函數(shù)的整點問題的步驟:

分類討論檢驗確定區(qū)域

幾何綜合題

如圖，RTMBC^,4。=90。,。2=。氏過點05必8。夕卜作射線。￡;

且/BCE=a(00<?<45°)，點3關(guān)于CE的對稱點為點。連接Z。，BD,CD,

其中8。分別交射線CE于點M,N.

(1)依題意補全圖形；

ABABAB

C

圖形的分解

---------------------------B

ZC=90°,ZT4=Z5=45°CE是的垂直平分線，BC=DC

AC=BC,/紇5K4BCN二乙DCN二a,

“JBD=/CDB=90°-a

CA=CB=CD

必8C“3CD必CO是等腰三角形

頂角分別為:90°,2a,90°+2a

底角分別為：45°,9045°-?

4民。在以。為圓心，4。為半徑的圓上

圖形的運動變化r

動點：ETD,N,M動角乙BCE,乙CBD,/ACD/CAD/DAB…

動線段：CN,CD,BD,AD,ZCMA(ZDMN),ZADB?

AM,CM,MN,MD...

不變，45°

NCMA=ZNCD+ZCDA

=ot+45°-a

=45°

：CA=CB=CD

?.A,B,D在以U為圓心，

ZC為半徑的圓上

「弧441

"ADB='乙4c8=45°

；ZCMA=NDMN

=180°-N4CB-〃>NC

=45°

(3)若BC=2,求CM的范圍.

M的運動軌跡

:?/CK4=45°

ZNMB=/DMN=45°

.：NAMB=9G4c6=90°

.：MQ生以43為直徑的圓上

又???0°<a<45°

「年弧BC上（除點C、B）

Q<CM<2

(4)用等式表示線段/例，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

證明：AM=DM+42CM

過。作工CM,交AD于H

丁"W4=45。

工/。如為等腰直角三角形

/.MH=41CM

/CHM=/CMH

?：NCHA=/CMD

又［AC=DC

；.NCAH=NCDM

ACAH^ACBM(SAS).：/CAH^ACDM(AAS)

...AH=BM=MD/.AH=MD

；.AM=AH+MH=DM+?CM

(5)用等式表示線段/例，。例8U之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

連接8〃

易證N/A/3=90。

：,AM2+MB2=AB2

AM2+DM2=2BC2

三條線段之間的關(guān)系可能是一次的關(guān)系，也可能是平方關(guān)系

練習：

如圖，正方形4HCQ,點尸是邊0c上一點（與點。。不重合），點。關(guān)于

直線4P的對稱點為￡,直線8E與直卑IP交于點尸.用等式表示線段

比明之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

NAEB=45°+a

EF2+BF1=2AB2

線段EF,BF^WAB

之間的數(shù)量關(guān)系

AB

如圖，RTMBC^,4cB=90：C4=C5.過點旅以5。夕卜作射線CE,..

且48CE=a(00<a<450)，點3關(guān)于CE的對稱點為點O,連接4。，BD,CD,

其中力。8。分別交射線CE于點MN.

1.NCK4=45°

2?點M的軌跡是以AB為直徑的圓的一部分

3*AM=DM+OCM

4.AM2+MD2=2BC2

(6)用等式表示線段/例，OV之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

AM=kCN,\<k<2

測量

cP

如何證明AM=42CN?

M

思路：構(gòu)造桓CN,轉(zhuǎn)移成證明線段相等問題

//7

AfB

F

法一：作CF_LCN.且CF=CN:?NCMA=/CNF=45°/\

."CNF=45：FN\iCN「.AM〃FN42CN

VAC=BC二四邊形是平行四邊形

■:乙ACB=￡FCN.：AM=FN=6CN

；CF:/BCN

...△ACF*ABCN(SAS)

.?.AAFC=NBNC=9S

二.NAFC=ZNCF

.：AF〃CN

如何證明AM=y/2CN?

法二：

思路一：構(gòu)造血CV,轉(zhuǎn)移成證明線段相等問題

延長N8至8使加二NC,連接CEZCMA=ZF=45o

,14CA/="BC=90°+a

:

"NF是等腰直角三角形AC=CB

、Eii

CF=42CNMCM^^CBF(AAS)

\/

Y/

AM=CF=y/2CN

如何證明AM=42CN?

法三:

思路一：構(gòu)造出CN,轉(zhuǎn)移成證明線段相等問題

延長至G,使NG=NC,連接CG

“CNG是等腰直角三角形

CG=6CN△/CM名，CZ)G(AAS)

AM=CG=42CN

0如何證明AM=41CN?

亞(CM+MN)=gCM+后MN

AM=42CM+MD

證明：過。作C7/1CM,交/。于H思路二：誣AH=4iMN,HM=6CM

V^CMA=45°

為等腰直角三角形

/.MH=41CM

易證/CAH^ACBM(SAS)

?：AH=MB也MN

.\AM^AH+MH=y/2MN+42CM=/2CN

:?NG=NCNB=90°

AC=BC

如何證明AM=41CN?