2022年江蘇省南京市江寧某中學(xué)高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（附答案詳解）

2022年江蘇省南京市江寧高級(jí)中學(xué)高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.設(shè)集合4={加-2<%<2},8={處/-4光30},則408=（）

A.（-2,4]B.（-2,4）C.（0,2）D.[0,2）

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z+3=4』+53則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知（1+2x）n的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（1+2》尸的展開(kāi)式

的各項(xiàng)系數(shù)之和為（）

A.26B.28C.36D.38

4.我國(guó)于2021年5月成功研制出目前國(guó)際上超導(dǎo)量子比特?cái)?shù)量最多的量子計(jì)算原型

機(jī)“祖沖之號(hào)”，操控的超導(dǎo)量子比特為62個(gè).已知1個(gè)超導(dǎo)量子比特共有“|0>,

|1>”2種疊加態(tài),2個(gè)超導(dǎo)量子比特共有“|00>,|01>,|10>,種疊

加態(tài)，3個(gè)超導(dǎo)量子比特共有“|000>,|001>,|010>>|011>,|100>,|101>,

|110>>|111>”8種疊加態(tài)，…只要增加1個(gè)超導(dǎo)量子比特，其疊加態(tài)的種數(shù)就呈

指數(shù)級(jí)增長(zhǎng).設(shè)62個(gè)超導(dǎo)量子比特共有N種疊加態(tài)，則N是一個(gè)（）位的數(shù)（參考數(shù)據(jù):

lg2a0.3010）

A.18B.19C.62D.63

5.若日=（2,1）,b=（-1,1）.（2五+B）〃位+m3），則m的值為（）

A.；B.2C.—2D.—：

22

6.已知角a的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，將角a的終邊繞。點(diǎn)順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)]后，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一3,4）,則sina=（）

3^3+4B4—3\/3c3V3-44+3\/3

?101010,10

7,已知橢圓Q：2+《=l（a>b>0）與圓C2：x2+y2=^,過(guò)橢圓Q的頂點(diǎn)作圓

的兩條切線，若兩切線互相垂直，則橢圓G的離心率是（）

A.遺B.立C.在D.經(jīng)

3422

8.已知Q=e0,-1,b=sinO.l,c=/nl.l,貝！]（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.有一組樣本甲的數(shù)據(jù)/(i=1,2,3,4,5,6),由這組數(shù)據(jù)得到新樣本乙的數(shù)據(jù)2項(xiàng)+

10=1,2,3,4,5,6),其中/0=1,2,3,4,5,6)為不全相等的正實(shí)數(shù).下列說(shuō)法正確的是

()

A.樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差

B.樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差

C.若m為樣本甲的中位數(shù)，則樣本乙的中位數(shù)為2zn+1

D.若m為樣本甲的平均數(shù)，則樣本乙的平均數(shù)為2m+1

10.已知函數(shù)/'(X)=asinx-cosx(x6R)關(guān)于％，對(duì)稱，則下列結(jié)論正確的是()

A.

3

B.〃尤)在［冶,勺上單調(diào)遞增

C.函數(shù)f(x+?是偶函數(shù)

D.把f(x)的圖象向左平移卷個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象關(guān)于點(diǎn)(午,0)對(duì)稱

11.兩個(gè)等差數(shù)列｛an｝和｛%｝,其公差分別為由和dz，其前n項(xiàng)和分別為右和〃，則下

列命題中正確的是()

A.若｛店｝為等差數(shù)列，則引=2%

B.若｛Sn+〃｝為等差數(shù)列，則刈+d2=0

C.若｛即砥｝為等差數(shù)列，則%=d2=0

D.若以6N*,則8加｝也為等差數(shù)列，且公差為心+弓2

12.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—4/傳1。1中，M為底面ABCC的中心，瓦0=4原,

AG(0,1),N為線段4Q的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是()

A.CN與QM共面

B.三棱錐A-DMN的體積跟;I的取值有關(guān)

C.當(dāng)a=:時(shí)，過(guò)4Q,M三點(diǎn)的平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為空竽亙

D.2=：時(shí)，AM1QM

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知實(shí)數(shù)Q,b滿足伍a+)b=ln(a+4b),則ab的最小值是.

14.某次演出有5個(gè)節(jié)目，若甲、乙、丙3個(gè)節(jié)目間的先后順序已確定，則不同的排法有

__種.

第2頁(yè)，共18頁(yè)

15.若函數(shù)/(%)=2%3-g2+i(aeR)在(0,+8)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，貝獷⑴在

上的最大值與最小值的和為.

16.祖胞是我國(guó)南北朝時(shí)期偉大的科學(xué)家，他于5世紀(jì)末提/

出了“塞勢(shì)既同，則積不容異”的體積計(jì)算原理，即

“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這

兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面,

積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”.現(xiàn)已知直

線y=±2與雙曲線"-y2=1及其漸近線圍成的平面圖形G如圖所示.若將圖形G

被直線y=t(-2<t<2)所截得的兩條線段繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)面的面

積5=；若將圖形G繞y軸旋轉(zhuǎn)一周，則形成的旋轉(zhuǎn)體的體積/=.

四、解答題(本大題共6小題，共72.0分)

17.已知數(shù)列｛即｝滿足/=-1,an+1=|1-an|+2an+1,n￡N*.

(1)求的值并求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)若%=log3a3+log3a4+…+log3即+2，求數(shù)列《?｝的前n項(xiàng)和.

°n

18.從①4為銳角且s譏B-cosC=著；@b=2asin(：C+》這兩個(gè)條件中任選一個(gè),

填入橫線上并完成解答.在三角形4BC中，已知角48,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

(1)求角4

(2)若b=3c且BC邊上的高4。為2b，求CD的長(zhǎng).

4

19.如圖，在四棱臺(tái)4BCD-41B1GD1中，底面為矩形，平面/必久。_1■平面CG5。,

且CG=CD=DD[==1.

(1)證明：4。1平面CCi/D；

(2)若&C與平面CC也。所成角為g,求二面角C-4公-。的余弦值.

A

20.過(guò)拋物線/=4y的焦點(diǎn)F的直線，交拋物線于4和B兩點(diǎn)，過(guò)4和B兩點(diǎn)分別作拋物線

的切線，兩切線交于點(diǎn)E.

(1)求證：EF14B；

(2)若而=4而,;le扇2],求△4BE的面積的取值范圍.

21.2022年2月6日，中國(guó)女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉(zhuǎn)擊敗韓國(guó)女足，成功

奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國(guó)女足通過(guò)點(diǎn)球大戰(zhàn)6：5驚險(xiǎn)戰(zhàn)勝日本女

足，其中門(mén)將朱鈕兩度撲出日本隊(duì)員的點(diǎn)球，表現(xiàn)神勇.

(1)撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左、

中、右三個(gè)方向射門(mén)，門(mén)將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門(mén)的左、中、右三個(gè)方向來(lái)?yè)?/p>

點(diǎn)球，而且門(mén)將即使方向判斷正確也有號(hào)的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在

一次點(diǎn)球大戰(zhàn)中，求門(mén)將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的分布列和期望；

(2)好成績(jī)的取得離不開(kāi)平時(shí)的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙、丁4名女足隊(duì)員在某次傳接

球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開(kāi)始，等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，接球者接到球

后再等可能地隨機(jī)傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接

住.記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為Pn，易知小=1，p2=0.

①試證明伊"-?為等比數(shù)列；

②設(shè)第律次傳球之前球在乙腳下的概率為冊(cè)，比較Pio與qio的大小.

設(shè)函數(shù)/(%)=e”+asin2x+b.

(1)當(dāng)QW[0,+8)時(shí)，f(%)20恒成立，求b的范圍；

(2)若/(%)在K=0處的切線為％-y-1=0,且/(%)>ln(%+zn)-2,求整數(shù)m的最大

值.

第4頁(yè)，共18頁(yè)

答案和解析

1.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了并集運(yùn)算，區(qū)間，解不含參的一元二次不等式，屬于基礎(chǔ)題.

先解一元二次不等式求出集合B,然后進(jìn)行并集運(yùn)算即可.

【解答】

解：A=(-2,2),B=[0,4],

???AUB=(-2,4].

故選：4.

2.【答案】A

【解析】解：設(shè)z=a+bi(Q,b￡R),則2=0-6，

???z+3=4z+53.??Q+bi+3=4(a—bi)+5i=4Q+(5—4fe)i,

北+廣黑，解得2=；，

3=5—4b3=1

二在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(1,1)在第一象限.

故選：A.

根據(jù)已知條件，結(jié)合共軌復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題主要考查共甄復(fù)數(shù)的概念，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：由已知可得鬣=第，所以n=2+4=6,

令x=l,則展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為(1+2)6=36,

故選：C.

利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)建立方程求出九的值，再令x=l,即可求解.

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)n個(gè)超導(dǎo)量子比特共有2n種疊加態(tài)，得到N=262，然后兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù),

由此進(jìn)行分析求解即可.

本題考查了數(shù)學(xué)文化，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查了知識(shí)的遷移與應(yīng)用，屬于中檔題.

【解答】

解：由題意，設(shè)n個(gè)超導(dǎo)量子比特共有2”種疊加態(tài)，

所以62個(gè)超導(dǎo)量子比特共有N=262種疊加態(tài)，

兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，則IgN=lg262=621g2?62x0.3010=18.662,

所以N=1018.662=100.662義1Q18,

因?yàn)?0°<io0-662<IO1,

故N是一個(gè)19位數(shù).

故選：B.

5.【答案】A

【解析】解：a=(2,1),K=(-1,1),

2a+b=(3,3)，a+mb=(2—m,l+m)>

v(2a+b)//(a+mb)<

2-m1+m

???---=----,

33

解得m=

故選：A.

先求出2五+3=(3,3)，a+mb=(2-m,l+m).再由(23+石)〃@+mE)，能求出m

的值.

本題考查向量的運(yùn)算，考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算

求解能力，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：???角a的終邊按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)三后得到的角為a-g,由三角函數(shù)的定義:

可得cos(a*)=謁升=—|,sin(a-5=7=X==l,

"sina=sin(a-g+$=sin(a-)cos；+cos(a-》sin^=^x|+(-|)Xy=

4-3V3

10

故選：B.

第6頁(yè)，共18頁(yè)

直接利用三角函數(shù)的定義和角的變換的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的角的變換，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能

力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：由題意頂點(diǎn)顯然不在短軸端

點(diǎn)，

因?yàn)閮汕芯€互相垂直，即NAPB=90。，

所以乙APO=45°,

所以sinZ_4P。=—=—=

POa2

所以b=^a,

4

所以c=yja2—b2=—a,

4

所以e=￡=蟲(chóng).

a4

故選：B.

由已知結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得a,b,c的關(guān)系，進(jìn)而可求橢圓離心率.

本題主要考查了橢圓性質(zhì)在求解橢圓離心率中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：令/(%)=e*-％-1,則/=

當(dāng)x€(0,+8)時(shí),f(%)>0,

故f(X)在(0,+8)上是增函數(shù)，

故f(0.l)>f(0),

即？。1一0?1-1>0,

故a=e01—1>0.1,

令=sinx-%,則g'(x)=cosx-1<。在(0,1)上恒成立，

故g(x)=sinx-%在(0,1)上單調(diào)遞減，

故g(0.1)Vg(0),

即si九0.1—0.1<0,

即b=sinO,l<0,1,

令h(x)=ln(x+1)—sinx,貝(］九’(％)=———cosx=廿

令m(x)=1—(%+l)cos%,則nf(%)=—cosx+(x+l)smx,

易知巾'(x)在(0*)上是增函數(shù)，

且也空)=_匹+(1+巴'=也』<0，

故m'(x)<0在(05)上恒成立，

故m(x)在(0,斜上是減函數(shù)，

又m(0)=1—1=0,

故zn(x)<0在(0,方上恒成立，

故九'(X)<0在(05)上恒成立，

故九。)在(01)上是減函數(shù)，

故/i(0.1)</i(0)=0,

HP/nl.l-sinO.l<0,

即c<b,

故c<b<a,

故選：D.

分別構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex—x-1,g(x)=sinx-x,h(x)=ln(x+1)-sinx,利用導(dǎo)數(shù)

判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而比較大小.

本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及構(gòu)造法應(yīng)用，屬于難題.

9.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于4樣本甲的極差是乙極差的一半，小于樣本乙的極差，故A正確，

對(duì)于B,設(shè)樣本甲的方差為a,

則樣本乙的方差為4a,二者可能相等，故8錯(cuò)誤，

對(duì)于C,若zn為樣本甲的中位數(shù)，

則由中位數(shù)的定義可得，樣本乙的中位數(shù)為26+1,故C正確，

對(duì)于D,若m為樣本甲的平均數(shù)，

則由平均數(shù)定義可得，樣本乙的平均數(shù)為2m+1,故。正確.

故選：ACD.

根據(jù)已知條件，結(jié)合極差，方差，中位數(shù)，平均數(shù)的定義，即可求解.

本題主要考查極差，方差，中位數(shù)，平均數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

第8頁(yè)，共18頁(yè)

10.【答案】AC

【解析】解：由題意知，/(》=：a=土點(diǎn)E，化簡(jiǎn)得3a2+26a+1=0,解

得。=一直，即選項(xiàng)A正確；

3

所以/(%)=--ysinx—cosx=—竽sin(x+g)，

令%+；￡［2kji+2fczr+手］,kEZ,則％6［2/CTT+2/CTT+~^\,kWZ,

所以f(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為［2/nr+也2/CTT+爭(zhēng)，keZ,

而區(qū)間［一M勺并不是［2時(shí)+12時(shí)+為，k€Z的子集，即選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

31ZoO

因?yàn)?(%+巴)=—2sin(x+工+巴)=-2cosx，所以是偶函數(shù)，即選項(xiàng)C正

63633。

確；

把f(x)的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=—竽sinQ+^+g=

2遍.(5九、

--sin(x+-),

當(dāng)％=午時(shí)，y=_手sing+居)=—誓sin^=^H0,即選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：AC.

由//)=土可求得a的值，進(jìn)而知f(x)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性、

奇偶性和對(duì)稱性逐一分析選項(xiàng)88,即可.

本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)圖象的平移變

換法則是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

11.【答案】AB

【解析】解：對(duì)于4：因?yàn)椋秊榈炔顢?shù)列，所以2店=店+疝,

即2，%+Ct2=7%+yjCL］+%+，3'

所以2,201+屆=+d3al+3d)

化簡(jiǎn)得?i-2%)2=0,所以心=2%,故4正確；

對(duì)于B：因?yàn)椋鸖n+〃｝為等差數(shù)列，

所以2。2+R)=Si+7;+S3+73，

所以2(2%+di+2bl+d2)=%+瓦+3al4-3dl+3bl+3d2，

所以￡+42=0,故3正確；

對(duì)于C因?yàn)椋鸻nbn｝為等差數(shù)列，

所以2a2b2=%瓦+a3b3,

所以2（%+%）血+d2）=a1b1+（%+2心）（瓦+2d2）>

化簡(jiǎn)得=0,所以％=0或弓2=0,故C不正確；

對(duì)于。：因?yàn)閍n=%+（n—l）d1，且bneN*,

所%=%+（n-1）%=%+［瓦+（n-l）d2-l］dlt

a

所以％+i-bn=ai+（瓦-1）豈+nd^一的一（瓦一l）di-（n-1相@=d1d2,

所以｛的“｝也為等差數(shù)列，且公差為壯屈2,故。不正確.

故選:AB.

對(duì)于4利用2疝=同+店，化簡(jiǎn)即可得出答案.

對(duì)于B：利用2。2+72）=S1+T1+S3+T3,化簡(jiǎn)即可得出答案.

對(duì)于C：利用2a2b2=%&+a3b3,化簡(jiǎn)即可得出答案.

對(duì)于D：根據(jù)ag+1-的?=4屈2,即可得出答案.

本題考查等差數(shù)列的定義以及等差中項(xiàng)求解是解題關(guān)鍵.

12.【答案】ABC

【解析】解：在A4CQ中，:M,N為AC,4Q的中

點(diǎn)，MN//CQ,

二CN與QM共面，故A正確；

由匕-DMN=力又N到平面48。。的距離為

定值土

且△4DM的面積為定值;，

4

???三棱錐4-DMN的體積跟；I的取值無(wú)關(guān)，故B正確;

當(dāng)；1=1時(shí)，過(guò)4Q,M三點(diǎn)的正方體的截面4CEQ是等腰梯形，

???平面截正方體所得截面的周長(zhǎng)為，=或+立+2X審=4后2A,故c正確；

3793

當(dāng)2=［時(shí)，可得4“2=泉加2=1+看=得，QM2=@2+（分2+12=.,

則4"2+MQ2>AQ2,...AM_LQM不成立，故。錯(cuò)誤.

故選：ABC.

由M,N為AC,4Q的中點(diǎn)，得到MN〃CQ,可判定A正確；由N到平面ABCD的距離為

定值也且440M的面積為定值;，根據(jù)匕“MN=VN_ADM,可得判定B正確：由4=，時(shí)，

得到4,Q,M三點(diǎn)的正方體的截面ACEQ是等腰梯形，可判定C正確；當(dāng);1=；時(shí)，根據(jù)

第10頁(yè)，共18頁(yè)

AM2+MQ2>AQ2,可判定。錯(cuò)誤.

本題主要考查錐體體積的計(jì)算，幾何體截面的相關(guān)問(wèn)題等知識(shí)，屬于中等題.

13.【答案】16

【解析】解:由題意對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)因?yàn)椋琻a+=ln(a+4b),則可得a>0,b>0,

ab=a+4b,

則由基本不等式有ab=a+4Z?>274ab=4Vab>即VHK>4,

當(dāng)且僅當(dāng)a=4b時(shí)取等，

ab>16,

則ab的最小值是16,

故答案為：16.

根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算得ab=a+4b,利用基本不等式依次判斷各項(xiàng)正誤.

本題考查基本不等式，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

14.【答案】20

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)5個(gè)節(jié)目中除甲、乙、丙之外的2個(gè)節(jié)目為a,b；

分2步進(jìn)行分析：①，將甲乙丙三個(gè)節(jié)目按給定順序排好，②，排好后有4個(gè)空位，將a

安排到空位中，有4種情況，排好后有5個(gè)空位，將匕安排到空位中，有5種情況，則不

同的排法有4x5=20種；

故答案為：20.

根據(jù)題意，設(shè)5個(gè)節(jié)目中除甲、乙、丙之外的2個(gè)節(jié)目為a,b,分2步進(jìn)行分析：先將甲

乙丙三個(gè)節(jié)目按給定順序排好，再將a,b依次插入到空位之中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可

得答案.

本題考查排列組合之插空法，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】-3

【解析】

【分析】

解：f'(x)=2x(3x-a),x￡(0,+oo),

①當(dāng)a<0時(shí)，—2x(3x—a)>0,

函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，/(0)=1,

f(x)在(0,+s)上沒(méi)有零點(diǎn)，舍去；

②當(dāng)a>0時(shí)，f(x)=2x(3x-a)>0的解為x>^,

???/(%)在(05)上遞減,在?,+8)遞增，

又/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，

/(|)=-||+1=0,解得a=3,

則/(*)=2*3—3x2+1,f'(x)=6x(x—1),xG[—1,1],

f'(x)>o的解集為(-1,0),

f(x)在(-1,0)上遞增，在(0,1)上遞減,

/(-I)=-4,f(0)=1，/(I)=0，

???fMmin=/(-I)=-4，fMmax=/(0)=1，

???/(X)在[-1,1]上的最大值與最小值的和為：

f(x)max+/Wmin=-4+1=-3.

【解答】

本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用，同時(shí)考查邏輯思維能力和綜合應(yīng)

用能力，是中檔題.

推導(dǎo)出/'(%)=2x(3%—a),xG(0,+oo)，當(dāng)a<0時(shí)，f'(x)=2x(3%—a)>0,

/(O)=1,f(x)在(0,+8)上沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，「(X)=2x(3x-a)>0的

解為x>T,/(x)在(0*)上遞減，在尊+8)遞增，由/(X)只有一個(gè)零點(diǎn)，解

得a=3,從而/(x)=2x3-3x2+1,/'(x)=6x(x—1),xE[—1,1],利用導(dǎo)

數(shù)性質(zhì)能求出f(x)在上的最大值與最小值的和.

16.【答案】TC4兀

【解析】解：如圖所示，雙曲線/一步=1,

其中一條漸近線方程為丫="，

由直線y=t,其中一2WtS2,

聯(lián)立方程組《二:，解得

聯(lián)立方程組｝=1,解得/五不笆5),

所以截面圓環(huán)的面積為S=兀(，!不笆)2-

nt2=n,即旋轉(zhuǎn)面的面積為兀，

根據(jù)“幕勢(shì)既同，則積不容異”，

可得該幾何體的體積與底面面積為兀，高為4的圓柱的體積相同,

第12頁(yè)，共18頁(yè)

所以該幾何體的體積為，=7rx4=47r.

故答案為：7T;47r.

由直線y=3其中一2WtW2,分步聯(lián)立方程組:：和產(chǎn)二V=1,求得A,B的坐

標(biāo)，進(jìn)而求得圓環(huán)的面積，再結(jié)合題意得到該幾何體的體積與底面面積為兀，高為4的圓

柱的體積相同，利用圓柱的體積公式，即可求解.

本題考查了幾何體體積的計(jì)算，屬于中檔題.

17.【答案】解:(1)因?yàn)?+i=|l-0n|+20n+1,又如=-1,

所以=|1—。11+2al+1=1,03=|1-Q2I+2a2+1=3,。4=|1—%1+2a3+

1=9；

當(dāng)幾>2時(shí)，an+1>2an+1>a2=1?所以冊(cè)>1，

則Qn+i=|1一。九|+2%+1=a九一1+2%+1=3an,

n

所以0n=3-2(n>2),

又因?yàn)?=—1,不滿足上式，

；

所以即=[3n-2)n>2

(2)bn=log3a3+log3a4+…+1咤3%+2，

???bn=log|+logF+…+logf=1+2+3+…+n=

1

.—=2_2(!_\

bnn(n+l),rin+1，'

?,?數(shù)列｛￡｝的前n項(xiàng)和為:2Kl-|)+G—3)+…+(；-全)]=2(1-W)=猾，

2a

【解析】(1)根據(jù)已知等式求得。4，去絕對(duì)值后得到。九+1=|1-CLn\+n+1=。九一

l+2an+l=3an,分段即可求解；(2)利用裂項(xiàng)相消求和即可求解.

本題考查了數(shù)列的遞推式和裂項(xiàng)相消求和，屬于中檔題.

22

18.【答案】解：(1)若選①4為銳角且si7iB-cosC=3^-,

則2absinB—labcosC=c2—a2,由余弦定理得c?—a2=b2—2abeosC,

2

???2absinB—2abcosC=b-2abcosCf：?2asinB=b,

山正弦定理得2s譏AsinB=sinB,sinBH0,

AsinA=vA6(0^),->1=7.

226

若選②b=2asin(C+￡),

6

則sinB=2sinA(^-sicC4-jcosC),

AsinB=y/3sinAsicC+sinAcosCf

vsinB=sin(?l+C)=sinAcosC+cosAsinC,

???VSsinAsicC=cosAsinC,sinCW0,??.y/3sinA=cosAf

??.tanA=—?.:AG?，."=

326

(2)???b=fc,

?,?由余弦定理得M=b2+c2—2bccosA=—c2+c2—2x—cxcx—=—c2,

164216

_V7

CL=-C，

4

vBC邊上的高4。為2巡，

???S^ABC=1X2\/3X^C=1x^CXCx1,

:?c-4夕，b=—x4A/7=V21,

4

???CD=V21-12=3.

【解析1(1)若選①，利用余弦定理和正弦定理化簡(jiǎn)，結(jié)合4為銳角，可得sin4=：,進(jìn)

而可得4的值，

若選②，由兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得到tanA=手，結(jié)合A為銳角，進(jìn)而可得A的值.

(2)利用余弦定理求出a=^c,再利用三角形的面積公式求出c,b,最后利用勾股定理

4

求解即可.

本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，考查

了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)證明：在梯形CQDi。中，因?yàn)镃G=CD=DDi=：CiDi=l,

所以功?！?今連結(jié)。Ci，由余弦定理可求得DC】=6，

因?yàn)?。?。母=5仁，所以Z?Ci_LDDi，

因?yàn)槠矫?4山1。_L平面CC15。且交于所以DC]_L平面4①。山，

因?yàn)?。＜=平面4412。，所以ADIDCi，因?yàn)?。_LDC,DC(\DCr=D,

所以AD_L平面CGDiD；

(2)解：連結(jié)力iG，由(1)可知，_L平面CC/iD,

以義為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

第14頁(yè)，共18頁(yè)

因?yàn)?51平面CGDiD,所以&C在平面CCWiD內(nèi)的射影為D】C,

所以4C與平面CGDiD所成的角為4&CD1，即乙4傳。1=*

在RtA&CDi中，因?yàn)镃DI=6，所以久久=3,

則5(0,0,0),4(3,0,0),。(0彳,日)，C(0,|,y)-6(0,2,0).

所以取=(03片)，甌=(3,0,0),而=(-3,2,0),=(一3,|,務(wù)

設(shè)平面的法向量為記=(x,y,z),

則有隹至7。，即伊+%=。，

(m-Di&=0=0

令y=3,則x=0,z=—V3?故沆=(0,3,—b),

設(shè)平面441GC的法向量為日=(a,b,c),

元4G=0f—3a+2b=0

則有即，Q,3,V3_

I—3QH—bH--c=O'

n-A^C=0i22

令Q=2,則b=3,c=V3,故運(yùn)=(2,3,b),

所以|cos＜訪員＞|=嘉=晟

由圖可知，二面角C-力4—。銳二面角，故二面角C—力4-0的余弦值為它.

4

【解析】本題考查了線面垂直的判定定理

的應(yīng)用以及二面角的求解，在求解有關(guān)空

間角問(wèn)題的時(shí)候，一般會(huì)建立合適的空間

直角坐標(biāo)系，將空間角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為空間向

量問(wèn)題進(jìn)行研究，屬于中檔題.

(1)在梯形CC也D中，求出NDDiG=g,連結(jié)。G，由余弦定理求得DG=百，由勾股

定理可證DG_LDDi，再由面面垂直的性質(zhì)定理證明DG工平面44D1D,從而得到4D1

DC.,結(jié)合an1DC,由線面垂直的判斷定理證明即可；

(2)利用線面角的定義確定①C與平面CCi/D所成的角為乙4也以，由此求解線段的長(zhǎng)度,

建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出兩

個(gè)平面的法向量，然后由向量的夾角公式求解即可.

20.【答案】解：(1)證明：由題意知當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)不符合題意，

設(shè)1：y=kx+1,4(%I，9，B(X2,9，聯(lián)立｛%J：；I消去y得：x2—4kx-4=0,

p=16k24-16>0

則,xr+x2=4fc,

.XiX2=-4

設(shè)E4：y=^x-^,EB：y=^x-建，聯(lián)立直線瓦4與直線EB的方程可解得

/24J24

E(警,竽)，即E(2k,-1),

當(dāng)k=0時(shí)，EFlx軸，4Bly軸，EF14B成立，

當(dāng)卜。0時(shí)，kEF=-i,EFJ.AB也成立，

綜上，EFA.AB；

(2)由刀=4而，得與=一M2,則竺好迂=包+這+2=-，一：+2=-4必，

由入W[~/2],得44-16[2,|],

乙AZ

???/e[0,1],

???SABE=\\AB\x\EF\=iVlTFlXi-Xzlx2V1TF=4(1+k2^e[4,yV2].

【解析】(1)顯然直線1的斜率存在，設(shè)出直線/的方程并與拋物線方程聯(lián)立，再由宜線E4

及直線EB的方程得到E(2k,-1),由此分k=。及k豐0討論即可得出EF1AB；

(2)由題意可得到妙G[0,i],而SMBE=4(1+fc2)t由此即可求得△ABE面積的取值范

圍.

本題考查直線與拋物線的綜合運(yùn)用，考查平面向量的運(yùn)用以及三角形的面積公式，考查

邏輯推理能力及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)由題意可得，門(mén)將每次可以撲出點(diǎn)球的概率p=；x；x3x：=g

33Zo

X?8(3,4

O

門(mén)將在前三次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X可能的取值為0,1,2,3,

P(X=k)=或?)<|)3-勺k=0,1,2,3,

故X的分布列為：

X0123

1252551

P

2167272五

故E(X)=3x|=i

OZ

(2)證明：①第n次傳球之前