2025屆甘肅省武威市武威一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

2025屆甘肅省武威市武威一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．當(dāng)圓的圓心到直線的距離最大時，（）A B.C. D.2．已知隨機變量，且，，則為（）A.0.1358 B.0.2716C.0.1359 D.0.27183．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點P是橢圓上的動點，，，則的最小值為（）A. B.C D.4．設(shè)，直線與直線平行，則（）A. B.C. D.5．等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B.8C.1或 D.或6．設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且當(dāng)時，.若對任意，都有，則的取值范圍是（）A. B.C. D.7．函數(shù)單調(diào)減區(qū)間是（）A. B.C.和 D.8．口袋中裝有大小形狀相同的紅球3個，白球3個，小明從中不放回的逐一取球，已知在第一次取得紅球的條件下，第二次取得白球的概率為（）A.0.4 B.0.5C.0.6 D.0.759．已知在平面直角坐標系中，圓的方程為，直線過點且與直線垂直.若直線與圓交于兩點，則的面積為A.1 B.C.2 D.10．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A. B.C. D.11．命題的否定是（）A. B.C. D.12．已知為等差數(shù)列，為公差，若成等比數(shù)列，且，則數(shù)列的前項和為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，且，則實數(shù)________________14．知函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為_____________.15．在等比數(shù)列中，若，，則數(shù)列的公比為___________.16．圓關(guān)于y軸對稱的圓的標準方程為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知關(guān)于的不等式的解集為.（1）求的值；（2）若，求的最小值，并求此時的值.18．（12分）已知直線過點，且其傾斜角是直線的傾斜角的（1）求直線的方程；（2）若直線與直線平行，且點到直線的距離是，求直線的方程19．（12分）橢圓的離心率為，設(shè)為坐標原點，為橢圓的左頂點，動直線過線段的中點，且與橢圓相交于、兩點．已知當(dāng)直線的傾斜角為時，（1）求橢圓的標準方程；（2）是否存在定直線，使得直線、分別與相交于、兩點，且點總在以線段為直徑的圓上，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請說明理由20．（12分）正四棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為4.E為棱上的動點，F(xiàn)為棱的中點.（1）證明：；（2）若E為棱上的中點，求直線BE到平面的距離.21．（12分）已知函數(shù)，且）的圖象經(jīng)過點和

.（1）求實數(shù)，的值；（2）若，求數(shù)列前項和

.22．（10分）已知數(shù)列，，，為其前n項和，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】求出圓心坐標和直線過定點，當(dāng)圓心和定點的連線與直線垂直時滿足題意，再利用兩直線垂直，斜率乘積為-1求解即可.【詳解】解：因為圓的圓心為,半徑，又因為直線過定點A(-1,1),故當(dāng)與直線垂直時，圓心到直線的距離最大，此時有，即，解得.故選：C.2、C【解析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可求概率.【詳解】由題設(shè)可得，，故選：C.3、A【解析】由橢圓的定義可得；利用基本不等式，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.【詳解】根據(jù)橢圓的定義可知，，即，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立.故選：A4、C【解析】根據(jù)直線平行求解即可.【詳解】因為直線與直線平行，所以，即，經(jīng)檢驗，滿足題意.故選：C5、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式及等比數(shù)列通項公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則因為，所以，即，解得或，所以或.故選：C.6、D【解析】由題意得當(dāng)時，，根據(jù)題意作出函數(shù)的部分圖象，再結(jié)合圖象即可求出答案【詳解】解：當(dāng)時，，又，∴當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且；又，則函數(shù)圖象每往右平移兩個單位，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，作出其大致圖象得，當(dāng)時，由得，或，由圖可知，若對任意，都有，則，故選：D【點睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題7、B【解析】根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)，然后由求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，故選：B8、C【解析】求出第一次取得紅球的事件、第一次取紅球第二次取白球的事件概率，再利用條件概率公式計算作答.【詳解】記“第一次取得紅球”為事件A，“第二次取得白球”為事件B，則，，于是得，所以在第一次取得紅球的條件下，第二次取得白球的概率為0.6.故選：C9、A【解析】∵圓的方程為，即，∴圓的圓心為，半徑為2.∵直線過點且與直線垂直∴直線.∴圓心到直線的距離.∴直線被圓截得的弦長，又∵坐標原點到的距離為，∴的面積為.考點：1、直線與圓的位置關(guān)系；2、三角形的面積公式.10、B【解析】根據(jù)和可求得，結(jié)合等差數(shù)列通項公式可求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由得：；又，，.故選：B.11、C【解析】根據(jù)含全稱量詞命題的否定可寫出結(jié)果.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，所以命題的否定是.故選：C12、C【解析】先利用已知條件得到，解出公差，得到通項公式，再代入數(shù)列，利用裂項相消法求和即可.【詳解】因為成等比數(shù)列，，故，即，故，解得或（舍去），故，即，故的前項和為：.故選：C.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的方法：（1）倒序相加法：如果一個數(shù)列的前項中首末兩端等距離的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可以用倒序相加法（2）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前項和即可以用錯位相減法來求；（3）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時，中間的一些像可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列:或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；（5）并項求和法：一個數(shù)列的前項和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和，形如類型，可采用兩項合并求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】，利用向量的數(shù)量積的坐標運算即可.【詳解】，則，解得故答案為：14、【解析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合冪函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性判斷零點的分布，進而求m的范圍.【詳解】由解析式知：在上為增函數(shù)且，在上，時為單調(diào)函數(shù)，時無零點，故要使有兩個不同的零點，即兩側(cè)各有一個零點，所以在上必遞減且，則，可得.故答案為：15、##【解析】求出等比數(shù)列的公比，利用定義可求得數(shù)列的公比.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因此，數(shù)列的公比為.故答案為：.16、【解析】根據(jù)題意可得圓心坐標為，半徑為1，利用平面直角坐標系點關(guān)于坐標軸對稱特征可得所求的圓心坐標為，半徑為1，進而得出結(jié)果.【詳解】由題意知，圓的圓心坐標為，半徑為1，設(shè)圓關(guān)于y軸對稱的圓為，所以，半徑為1，所以的標準方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）;（2），.【解析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系，得到等式和不等式，最后求出的值；（2）化簡函數(shù)的解析式，利用基本不等式可以求出函數(shù)的最小值.【小問1詳解】由題意知：，解得【小問2詳解】由（1）知，∴，由對勾函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，∴，即當(dāng)，函數(shù)的最小值為18、（1）；（2）或【解析】（1）先求得直線的傾斜角，由此求得直線的傾斜角和斜率，進而求得直線的方程；（2）設(shè)出直線的方程，根據(jù)點到直線的距離列方程，由此求解出直線的方程【詳解】解（1）直線的傾斜角為，∴直線的傾斜角為，斜率為，又直線過點，∴直線的方程為，即；（2）設(shè)直線的方程為，則點到直線的距離，解得或∴直線的方程為或19、（1）（2）存在，且直線的方程為或【解析】（1）分析可知，，直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式可求得的值，即可得出橢圓的標準方程；（2）設(shè)點、，設(shè)直線的方程為，將該直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出點、，由已知得出，求出的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：因為，則，，所以，橢圓的方程為，即，易知點，則點，當(dāng)直線的傾斜角為時，直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，所以，，解得，則，，因此，橢圓的標準方程為.【小問2詳解】解：易知點，若直線與軸重合，則、為橢圓長軸的兩個端點，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，直線的斜率為，直線的方程為，故點，同理可得點，，，由題意可得，解得或.因此，存在滿足題設(shè)條件的直線，且直線的方程為或，點總在以線段為直徑的圓上.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件建立空間直角坐標系，利用空間位置關(guān)系的向量證明計算作答.(2)利用(1)中坐標系，證明平面，再求點B到平面的距離即可作答.【小問1詳解】在正四棱柱中，以點D為原點，射線分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，如圖，則，因E為棱上的動點，則設(shè)，，而，，即，所以.【小問2詳解】由(1)知，點，，，，設(shè)平面的一個法向量，則，令，得，顯然有，則，而平面，因此，平面，于是有直線BE到平面的距離等于點B到平面的距離，所以直線BE到平面的距離是.21、（1），（