2025屆山東省德州市高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆山東省德州市高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．有3個(gè)興趣小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參加其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參加各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參加同一個(gè)興趣小組的概率為A. B.C. D.2．連續(xù)拋擲一枚硬幣3次，觀察正面出現(xiàn)的情況，事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對立事件是（）A.只有2次出現(xiàn)反面 B.至多2次出現(xiàn)正面C.有2次或3次出現(xiàn)正面 D.有2次或3次出現(xiàn)反面3．已知直線、的方向向量分別為、，若，則等于（）A.1 B.2C.0 D.34．設(shè)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若（為常數(shù)），則（）A. B.C. D.5．（文科）已知點(diǎn)為曲線上的動點(diǎn),為圓上的動點(diǎn),則的最小值是A.3 B.5C. D.6．已知圓，圓，M，N分別是圓上的動點(diǎn)，P為x軸上的動點(diǎn)，則以的最小值為（）A B.C. D.7．三棱錐D－ABC中，AC＝BD，且異面直線AC與BD所成角為60°，E、F分別是棱DC、AB的中點(diǎn)，則EF和AC所成的角等于()A.30° B.30°或60°C.60° D.120°8．雙曲線的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，若直線與該雙曲線交于、兩點(diǎn)，為等腰直角三角形，則該雙曲線離心率為（）A. B.C. D.9．設(shè)太陽光線垂直于平面，在陽光下任意轉(zhuǎn)動棱長為一個(gè)單位的立方體，則它在平面上的投影面積的最大值是（）A.1 B.C. D.10．已知雙曲線，過點(diǎn)作直線l，若l與該雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.411．在正方體中，AC與BD的交點(diǎn)為M.設(shè)則下列向量與相等的向量是（）A. B.C. D.12．若，則（）A.0 B.1C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)軍營所在平面區(qū)域?yàn)閧(x,y)|x2+y2≤},河岸線所在直線方程為x+2y-4=0.假定將軍從點(diǎn)P(,)處出發(fā),只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營,當(dāng)將軍選擇最短路程時(shí),飲馬點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為______.最短總路程為______14．一個(gè)四面體有五條棱長均為2，則該四面體的體積最大值為_______15．假設(shè)要考查某公司生產(chǎn)的袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時(shí)，先將800袋牛奶按000，001，，799進(jìn)行編號，若從隨機(jī)數(shù)表第7行第8列的數(shù)開始向右讀，則得到的第4個(gè)的樣本個(gè)體的編號是______（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行到第9行）84421753315724550688770474476721763350258392120676630163785916955667199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342996602795416．已知點(diǎn)和，M是橢圓上一動點(diǎn)，則的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)及圓，點(diǎn)P是圓B上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線l交半徑于點(diǎn)T，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時(shí)，記點(diǎn)T的軌跡為曲線E（1）求曲線E的方程；（2）設(shè)存在斜率不為零且平行的兩條直線，，它們與曲線E分別交于點(diǎn)C、D、M、N，且四邊形是菱形，求該菱形周長的最大值18．（12分）已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)為，，，離心率為（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（2）的左頂點(diǎn)為，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，求證：19．（12分）在柯橋古鎮(zhèn)的開發(fā)中，為保護(hù)古橋OA，規(guī)劃在O的正東方向100m的C處向?qū)Π禔B建一座新橋，使新橋BC與河岸AB垂直，并設(shè)立一個(gè)以線段OA上一點(diǎn)M為圓心，與直線BC相切的圓形保護(hù)區(qū)（如圖所示），且古橋兩端O和A與圓上任意一點(diǎn)的距離都不小于50m，經(jīng)測量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正南方向25m，，建立如圖所示直角坐標(biāo)系（1）求新橋BC的長度；（2）當(dāng)OM多長時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最??？20．（12分）如圖，分別是橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，軸，點(diǎn)A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且，.（1）求橢圓C的方程；（2）已知M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，若點(diǎn)，，試探究點(diǎn)M，，N是否一定共線？說明理由.21．（12分）△的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知（1）求角B的大小；（2）若△不為鈍角三角形，且，，求△的面積22．（10分）已知的二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，（1）求的值；（2）求展開式的所有有理項(xiàng)(指數(shù)為整數(shù))，并指明是第幾項(xiàng)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】每個(gè)同學(xué)參加的情形都有3種，故兩個(gè)同學(xué)參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A2、D【解析】根據(jù)對立事件的定義即可得出結(jié)果.【詳解】對立事件是指事件A和事件B必有一件發(fā)生，連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣3次，“至少2次出現(xiàn)正面”即有2次或3次出現(xiàn)正面，對立事件為0次或1次出現(xiàn)正面，即“有2次或3次出現(xiàn)反面”故選：D3、C【解析】由可得出，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】若，則，所以，所以，解得.故選：C4、C【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】.故選：C.5、A【解析】數(shù)形結(jié)合分析可得,當(dāng)時(shí)能夠取得的最小值,根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離減去半徑求解即可.【詳解】由對勾函數(shù)的性質(zhì),可知,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,結(jié)合圖象可知當(dāng)A點(diǎn)運(yùn)動到時(shí)能使點(diǎn)到圓心的距離最小,最小為4,從而的最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查兩動點(diǎn)間距離的最值問題,考查轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.6、A【解析】求出圓關(guān)于軸的對稱圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關(guān)于軸對稱圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為3，易知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即：.故選：A.注意:9至12題為多選題7、B【解析】取AD中點(diǎn)為G，連接GF、GE，易知△EFG為等腰三角形，且∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補(bǔ)角，據(jù)此可求∠FEG大小，從而得EF和AC所成的角的大小【詳解】如圖，取AD中點(diǎn)為G，連接GF、GE，易知FG∥BD，GE∥AC，且FG＝，GE＝AC，故FG＝GE，∠EGF為異面直線AC和BD所成角或其補(bǔ)角，故∠EGF＝60°或120°故EF和AC所成角為∠FEG或其補(bǔ)角，當(dāng)∠EGF＝60°時(shí)，∠FEG＝60°，當(dāng)∠EGF＝120°時(shí)，∠FEG＝30°，∴EF和AC所成的角等于30°或60°故選：B8、A【解析】求出，分析可得，可得出關(guān)于、、的齊次等式，由此可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】聯(lián)立，可得，則，易知點(diǎn)、關(guān)于軸對稱，且為線段的中點(diǎn)，則，又因?yàn)闉榈妊苯侨切危?，，即，即，所以，，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：A.9、C【解析】確定正方體投影面積最大時(shí),是投影面與平面AB'C平行，從而求出投影面積的最大值.【詳解】設(shè)正方體投影最大時(shí)，是投影面與平面AB'C平行，三個(gè)面的投影為兩個(gè)全等的菱形，其對角線為，即投影面上三條對角線構(gòu)成邊長為的等邊三角形，如圖所示，所以投影面積為故選：C10、D【解析】先確定雙曲線的右頂點(diǎn)，再分垂直軸、與軸不垂直兩種情況討論，當(dāng)與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元整理，再分、兩種情況討論，即可得解【詳解】解：根據(jù)雙曲線方程可知右頂點(diǎn)為，使與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)情況為：①當(dāng)垂直軸時(shí)，此時(shí)過點(diǎn)的直線方程為，與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線方程為聯(lián)立方程可得當(dāng)即時(shí)，方程只有一個(gè)根，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，整理可得即故選：D11、C【解析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，推出的向量表示，可得答案.【詳解】，故選：C.12、D【解析】由復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算求，再求模即可.【詳解】由題設(shè)，，故2.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】求出P(,)關(guān)于直線x+2y4=0對稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)，再求出線段OP'與直線x+2y-4=0的交點(diǎn)A,再利用圓的幾何性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】設(shè)P(,)關(guān)于直線x+2y4=0的對稱點(diǎn)為P'(m,n),則解得因?yàn)閺狞c(diǎn)P到軍營總路程最短,所以A為線段OP'與直線x+2y4=0的交點(diǎn),聯(lián)立得y=(42y),解得y=.所以“將軍飲馬”的最短總路程為=，故答案為，.【點(diǎn)睛】本題主要考查對稱問題以及圓的幾何性質(zhì)，屬于中檔題.解析幾何中點(diǎn)對稱問題，主要有以下三種題型：（1）點(diǎn)關(guān)于直線對稱，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，利用，且點(diǎn)在對稱軸上，列方程組求解即可；（2）直線關(guān)于直線對稱，利用已知直線與對稱軸的交點(diǎn)以及直線上特殊點(diǎn)的對稱點(diǎn)（利用（1）求解），兩點(diǎn)式求對稱直線方程；（3）曲線關(guān)于直線對稱，結(jié)合方法（1）利用逆代法求解.14、1【解析】由已知中一個(gè)四面體有五條棱長都等于2，易得該四面體必然有兩個(gè)面為等邊三角形，根據(jù)棱錐的幾何特征，分析出當(dāng)這兩個(gè)平面垂直時(shí)，該四面體的體積最大，將相關(guān)幾何量代入棱錐體積公式，即可得到答案【詳解】一個(gè)四面體有五條棱長都等于2，如下圖：設(shè)除PC外的棱均為2，設(shè)P到平面ABC距離為h，則三棱錐的體積V＝，∵是定值，∴當(dāng)P到平面ABC距離h最大時(shí)，三棱錐體積最大，故當(dāng)平面PAB⊥平面ABC時(shí)，三棱錐體積最大，此時(shí)h為等邊三角形PAB的AB邊上的高，則h，故三棱錐體積的最大值為：故答案為：115、【解析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法依次列舉出來即可.【詳解】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法最先檢測的3袋牛奶編號為：331、572、455、068.故答案為：068.16、【解析】由題設(shè)條件可知，.當(dāng)M在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，在第一象限交點(diǎn)時(shí)有，在第三象限交點(diǎn)時(shí)有.顯然當(dāng)M在直線與橢圓第三象限交點(diǎn)時(shí)有最大值，其最大值.由此能夠求出的最大值.【詳解】解：A為橢圓右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為，則由橢圓定義，于是.當(dāng)M不在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，M、F、B三點(diǎn)構(gòu)成三角形，于是，而當(dāng)M在直線與橢圓交點(diǎn)上時(shí)，在第一象限交點(diǎn)時(shí)，有，在第三象限交點(diǎn)時(shí)有.顯然當(dāng)M在直線與橢圓第三象限交點(diǎn)時(shí)有最大值，其最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握基本公式.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)，建立方程求出，即可（2）設(shè)的方程為，，，，，設(shè)的方程為，，，，，分別聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，以及弦長公式，求得，，運(yùn)用菱形和橢圓的對稱性可得，關(guān)于原點(diǎn)對稱，結(jié)合菱形的對角線垂直和向量數(shù)量積為0，可得，設(shè)菱形的周長為，運(yùn)用基本不等式，計(jì)算可得所求最大值【小問1詳解】點(diǎn)在線段的垂直平分線上，，又，曲線是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，和為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓設(shè)曲線的方程為，，，曲線的方程為【小問2詳解】設(shè)的方程為，，，，，設(shè)的方程為，，，，，聯(lián)立可得，由可得，化簡可得，①，，，同理可得，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又橢圓關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，也關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以且，所以，，，，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危傻?，即，即，即，可得，化簡可得，設(shè)菱形的周長為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，此時(shí)，滿足①，所以菱形的周長的最大值為【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在處理此類直線與橢圓相交問題中，一般先設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理得出，，再具體問題具體分析，一般涉及弦長計(jì)算問題，運(yùn)算比較繁瑣，需要較強(qiáng)的運(yùn)算能力，屬于難題。18、（1）；（2）證明見解析【解析】(1)由可求出，結(jié)合離心率可知，進(jìn)而可求出，即可求出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)由題意知，，則由直線的點(diǎn)斜式方程可得直線的解析式為，與橢圓進(jìn)行聯(lián)立，設(shè)，，結(jié)合韋達(dá)定理可得，從而由斜率的計(jì)算公式對進(jìn)行整理化簡從而可證明.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以．又因?yàn)殡x心率，所以，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）證明：由題意知，，，則直線的解析式為，代入橢圓方程，得設(shè)，，則．又因?yàn)?，，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題第二問的關(guān)鍵是聯(lián)立直線和橢圓的方程后，結(jié)合韋達(dá)定理，用表示交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，從而代入進(jìn)行整理化簡.19、（1）80m；（2）.【解析】（1）根據(jù)斜率的公式，結(jié)合解方程組法和兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可；（2）根