2025屆浙江省亳州市數(shù)學高一上期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2025屆浙江省亳州市數(shù)學高一上期末學業(yè)水平測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.2．某流行病調(diào)查中心的疾控人員針對該地區(qū)某類只在人與人之間相互傳染的疾病，通過現(xiàn)場調(diào)查與傳染源傳播途徑有關(guān)的蛛絲馬跡，根據(jù)傳播鏈及相關(guān)數(shù)據(jù)，建立了與傳染源相關(guān)確診病例人數(shù)與傳染源感染后至隔離前時長t（單位：天）的模型：.已知甲傳染源感染后至隔離前時長為5天，與之相關(guān)確診病例人數(shù)為8；乙傳染源感染后至隔離前時長為8天，與之相關(guān)確診病例人數(shù)為20.若某傳染源感染后至隔離前時長為兩周，則與之相關(guān)確診病例人數(shù)約為（）A.44 B.48C.80 D.1253．與直線垂直，且在軸上的截距為-2的直線方程為（）A. B.C. D.4．在上，滿足的的取值范圍是A. B.C. D.5．若，則有（）A.最大值 B.最小值C.最大值2 D.最小值26．四面體中，各個側(cè)面都是邊長為的正三角形，分別是和的中點，則異面直線與所成的角等于（）A.30° B.45°C.60° D.90°7．直線與圓相切，則的值為（）A. B.C. D.8．已知，，則的大小關(guān)系是A. B.C. D.9．點關(guān)于直線的對稱點是A. B.C. D.10．如圖，已知正方體中，異面直線與所成的角的大小是A.B.C.D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為元時，可全部租出.當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元.若使租賃公司的月收益最大，每輛車的月租金應(yīng)該定為__________12．若函數(shù)滿足：對任意實數(shù)，有且，當時，，則時，________13．已知函數(shù)有兩個零點分別為a，b，則的取值范圍是_____________14．已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的正半軸，終邊經(jīng)過點，則___________.15．已知，是相互獨立事件，且，，則______16．學校某研究性學習小組在對學生上課注意力集中情況的調(diào)查研究中，發(fā)現(xiàn)其在40分鐘的一節(jié)課中，注意力指數(shù)與聽課時間（單位：分鐘）之間的關(guān)系滿足如圖所示的圖象，當時，圖象是二次函數(shù)圖象的一部分，其中頂點，過點；當時，圖象是線段BC，其中.根據(jù)專家研究，當注意力指數(shù)大于62時，學習效果最佳.要使得學生學習效果最佳，則教師安排核心內(nèi)容的時間段為____________.（寫成區(qū)間形式）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)（1）求實數(shù)，的值；（2）判斷的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；（3）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍18．已知函數(shù).（1）根據(jù)定義證明：函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）根據(jù)定義證明：函數(shù)是奇函數(shù).19．已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明.20．近年來，我國大部分地區(qū)遭遇霧霾天氣，給人們的健康、交通安全等帶來了嚴重影響.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)工業(yè)廢氣等污染物排放是霧霾形成和持續(xù)的重要因素，污染治理刻不容緩.為此，某工廠新購置并安裝了先進的廢氣處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，以降低對空氣的污染.已知過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量（單位：mg/L）與過濾時間（單位：h）間的關(guān)系為（，均為非零常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)），其中為時的污染物數(shù)量.若經(jīng)過5h過濾后還剩余90%的污染物.（1）求常數(shù)的值；（2）試計算污染物減少到40%至少需要多長時間.（精確到1h，參考數(shù)據(jù)：，，，，）21．已知，（1）若，求a的值；（2）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】作出弧度角的正弦線、余弦線和正切線，利用三角函數(shù)線來得出、、的大小關(guān)系.【詳解】作出弧度角的正弦線、余弦線和正切線如下圖所示，則，，，其中虛線表示的是角的終邊，，則，即.故選：D.【點睛】本題考查同角三角函數(shù)值的大小比較，一般利用三角函數(shù)線來比較，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】根據(jù)求得，由此求得的值.【詳解】依題意得，，，所以.故若某傳染源感染后至隔離前時長為兩周，則相關(guān)確診病例人數(shù)約為125.故選：D3、A【解析】先求出直線的斜率，再利用直線的點斜式方程求解.【詳解】由題得所求直線的斜率為，∴所求直線方程為，整理為故選：A【點睛】方法點睛：求直線的方程，常用的方法：待定系數(shù)法，先定式（從直線的五種形式中選擇一種作為直線的方程），后定量（求出直線方程中的待定系數(shù)）.4、C【解析】直接利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可【詳解】上，滿足的的取值范圍：.故選C【點睛】本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查計算能力，是基礎(chǔ)題5、D【解析】構(gòu)造基本不等式即可得結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴，當且僅當，即時，等號成立，即有最小值2.故選：D.【點睛】本題主要考查通過構(gòu)造基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】利用中位線定理可得GE∥SA，則∠GEF為異面直線EF與SA所成的角，判斷三角形為等腰直角三角形即可.【詳解】取AC中點G，連接EG，GF，F(xiàn)C設(shè)棱長為2，則CF=，而CE=1∴EF=，GE=1，GF=1而GE∥SA，∴∠GEF為異面直線EF與SA所成的角∵EF=，GE=1，GF=1∴△GEF為等腰直角三角形，故∠GEF=45°故選：B.【點睛】求異面直線所成的角先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質(zhì)及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因為異面直線所成的角是直角或銳角，所以最后結(jié)果一定要取絕對值.7、D【解析】由圓心到直線的距離等于半徑可得【詳解】由題意圓標準方程為，圓心坐標為，半徑為1，所以，解得故選：D8、D【解析】因為，故，同理，但，故，又，故即，綜上，選D點睛：對于對數(shù)，如果或，那么；如果或，那么9、A【解析】設(shè)對稱點為，則，則，故選A.10、C【解析】在正方體中，利用線面垂直的判定定理，證得平面，由此能求出結(jié)果【詳解】如圖所示，在正方體中，連結(jié)，則，，由線面垂直的判定定理得平面，所以,所以異面直線與所成的角的大小是故選C本題主要考查了直線與平面垂直判定與證明，以及異面直線所成角的求解，其中解答中牢記異面直線所成的求解方法和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，平時注意空間思維能力的培養(yǎng)，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4050【解析】設(shè)每輛車的月租金定為元，則租賃公司的月收益：當時，最大，最大值為，即當每車輛的月租金定為元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益是，故答案為.【思路點睛】本題主要考查閱讀能力、數(shù)學建模能力和化歸思想以及幾何概型概率公式，屬于難題.與實際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現(xiàn)實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型進行解答.解答本題的關(guān)鍵是：將租賃公司的月收益表示為關(guān)于每輛車的月租金的函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.12、【解析】由，可知.所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).，時，..對任意實數(shù)，有，可知函數(shù)關(guān)于點(1,0)中心對稱,所以，又.所以.綜上可知，時，.故答案為.點睛：抽象函數(shù)的周期性：（1）若，則函數(shù)周期為T；（2）若，則函數(shù)周期為（3）若，則函數(shù)的周期為；（4）若，則函數(shù)的周期為.13、【解析】根據(jù)函數(shù)零點可轉(zhuǎn)化為有2個不等的根，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，由均值不等式求解即可.詳解】不妨設(shè)，因為函數(shù)有兩個零點分別為a，b，所以，所以，即，且，，當且僅當，即時等號成立，此時不滿足題意，，即，故答案為：14、【解析】利用三角函數(shù)定義求出、的值，結(jié)合誘導公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，，因此，.故答案為：.15、【解析】由相互獨立事件的性質(zhì)和定義求解即可【詳解】因為，是相互獨立事件，所以，也是相互獨立事件，因為，，所以，故答案為：16、【解析】當，時，設(shè)，把點代入能求出解析式；當，時，設(shè)，把點、代入能求出解析式，結(jié)合題設(shè)條件，列出不等式組，即可求解.詳解】當x∈（0，12]時，設(shè)，過點（12，78）代入得，a則f（x），當x∈(12，40]時，設(shè)y＝kx+b，過點B（12，78）、C（40，50）得，即，由題意得，或得4＜x≤12或12＜x＜28，所以4＜x＜28，則老師就在x∈（4，28）時段內(nèi)安排核心內(nèi)容，能使得學生學習效果最佳，故答案為：（4，28）【點睛】本題考查解析式的求法，考查不等式組的解法，解題時要認真審題，注意待定系數(shù)法的合理運用，屬于中檔題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）在上單調(diào)遞增，證明見解析（3）的取值范圍為.【解析】（1）根據(jù)得到，根據(jù)計算得到，得到答案.（2）化簡得到，，計算，得到是增函數(shù).（3）化簡得到，參數(shù)分離，求函數(shù)的最大值得到答案.【詳解】（1）因為在定義域R上是奇函數(shù).所以，即，所以．又由，即，所以，檢驗知，當，時，原函數(shù)是奇函數(shù).（2）在上單調(diào)遞增.證明：由（1）知，任取，則，因為函數(shù)在上是增函數(shù)，且，所以，又，所以，即，所以函數(shù)R上單調(diào)遞增.（3）因為是奇函數(shù)，從而不等式等價于，因為在上是增函數(shù)，由上式推得，即對一切有恒成立，設(shè)，令，則有，，所以，所以，即的取值范圍為.18、⑴見解析;⑵見解析.【解析】(1)利用單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用奇偶性定義證明函數(shù)奇偶性.試題解析：⑴設(shè)任意的，且，則，，即，又，，即，在上是增函數(shù)⑵，,，即所以函數(shù)是奇函數(shù).點睛：證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）取值：在定義域上任取，并且（或）；（2）作差：，并將此式變形（要注意變形到能判斷整個式子符號為止）；（3）定號：判斷的正負（要注意說理的充分性），必要時要討論；（4）下結(jié)論：根據(jù)定義得出其單調(diào)性19、（1）（2）增函數(shù)，證明見解析【解析】（1）又函數(shù)為奇函數(shù)可得，結(jié)合求得，即可得出答案；（2）令，利用作差法判斷的大小，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：因為函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，所以，即，所以，又，所以，所以；【小問2詳解】解：增函數(shù)，證明如下：令，則，因為，所以，，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間上遞增.20、（1）（2）42h【解析】（1）根據(jù)題意，得到，求解，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，得到，由題意得到，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由已知得，當時，；當時，.于是有，解得（或）.（2）由（1）知，當時，有，解得.故污染物減少到40%至少需要42h.【點睛】本題