2025屆黑龍江省牡丹江市三中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2025屆黑龍江省牡丹江市三中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在空間直角坐標(biāo)系中，為直線的一個方向向量，為平面的一個法向量，且，則（）A. B.C. D.2．2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（COVID—19）疫情，并快速席卷我國其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特異治療方法，防控難度很大武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人在排查期間，一戶6口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員隨機地逐一進行“核糖核酸”檢測，若出現(xiàn)陽性，則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為p（0＜p＜1）且相互獨立，該家庭至少檢測了5個人才能確定為“感染高危戶”的概率為f（p），當(dāng)p=p0時，f（p）最大，則p0=（）A. B.C. D.3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，，直線AP，BP相交于點P，且它們斜率之積是.當(dāng)時，的最小值為（）A. B.C. D.4．已知拋物線，為坐標(biāo)原點，以為圓心的圓交拋物線于、兩點，交準(zhǔn)線于、兩點，若，，則拋物線方程為（）A. B.C. D.5．已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，其公比為q，前n項和為，滿足，且是與的等差中項，則下列選項正確的是（）A. B.C D.6．若將一個橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90°，所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”，下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（）A. B.C. D.7．某公司門前有一排9個車位的停車場，從左往右數(shù)第三個，第七個車位分別停著A車和B車，同時進來C，D兩車．在C，D不相鄰的情況下，C和D至少有一輛與A和B車相鄰的概率是（）A. B.C. D.8．在區(qū)間內(nèi)隨機取一個數(shù)，則方程表示焦點在軸上的橢圓的概率是A. B.C. D.9．新冠肺炎疫情的發(fā)生，我國的三大產(chǎn)業(yè)均受到不同程度的影響，其中第三產(chǎn)業(yè)中的各個行業(yè)都面臨著很大的營收壓力.2020年7月國家統(tǒng)計局發(fā)布了我國上半年國內(nèi)經(jīng)濟數(shù)據(jù)，如圖所示，圖1為國內(nèi)三大產(chǎn)業(yè)比重，圖2為第三產(chǎn)業(yè)中各行業(yè)比重下列關(guān)于我國上半年經(jīng)濟數(shù)據(jù)的說法正確的是（）A.第一產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值與第三產(chǎn)業(yè)中“其他服務(wù)業(yè)”的生產(chǎn)總值基本持平B.第一產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值超過第三產(chǎn)業(yè)中“金融業(yè)”的生產(chǎn)總值C.若“住宿和餐飲業(yè)”生產(chǎn)總值為7500億元，則“房地產(chǎn)”生產(chǎn)總值為22500億元D.若“金融業(yè)”生產(chǎn)總值為41040億元，則第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為166500億元10．已知點與不重合的點A，B共線，若以A，B為圓心，2為半徑的兩圓均過點，則的取值范圍為（）A. B.C. D.11．已知集合，，若，則＝（）A.{1，2，3} B.{1，2，3，4}C.{0，1，2} D.{0，1，2，3}12．2021年4月29日，中國空間站天和核心艙發(fā)射升空，這標(biāo)志著中國空間站在軌組裝建造全面展開，我國載人航天工程“三步走”戰(zhàn)略成功邁出第三步.到今天，天和核心艙在軌已經(jīng)九個多月.在這段時間里，空間站關(guān)鍵技術(shù)驗證階段完成了5次發(fā)射、4次航天員太空出艙、1次載人返回、1次太空授課等任務(wù).一般來說，航天器繞地球運行的軌道近似看作為橢圓，其中地球的球心是這個橢圓的一個焦點，我們把橢圓軌道上距地心最近（遠）的一點稱作近（遠）地點，近（遠）地點與地球表面的距離稱為近（遠）地點高度.已知天和核心艙在一個橢圓軌道上飛行，它的近地點高度大約351km，遠地點高度大約385km，地球半徑約6400km，則該軌道的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)x，y滿足約束條件則的最大值為________14．已知平面的一個法向量為，點為內(nèi)一點，則點到平面的距離為___________.15．為和的等差中項，則_____________.16．光線從橢圓的一個焦點發(fā)出，被橢圓反射后會經(jīng)過橢圓的另一個焦點；光線從雙曲線的一個焦點發(fā)出，被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個焦點射出．如圖，一個光學(xué)裝置由有公共焦點的橢圓與雙曲線構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點發(fā)出，依次經(jīng)與反射，又回到了點，歷時秒；若將裝置中的去掉，此光線從點發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點，歷時秒；若，則與的離心率之比為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一個盒中裝有編號分別為、、、的四個形狀大小完全相同的小球.（1）從盒中任取兩球，列出所有的基本事件，并求取出的球的編號之和大于的概率；（2）從盒中任取一球，記下該球的編號，將球放回，再從盒中任取一球，記下該球的編號，列出所有的基本事件，并求的概率.18．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在的最大值.19．（12分）已知橢圓的離心率為，直線與橢圓C相切于點（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線與橢圓C交于不同的兩點M，N，與直線交于點Q（P，Q，M，N均不重合），記的斜率分別為，若．證明：為定值20．（12分）已知橢圓左右焦點分別為，，離心率為，P是橢圓上一點，且面積的最大值為1.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交橢圓于M，N兩點，求的取值范圍.21．（12分）已知等差數(shù)列滿足：，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足：，，求數(shù)列的通項公式.22．（10分）已知橢圓的左、右頂點坐標(biāo)分別是，，短軸長等于焦距.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓相交于兩點，線段的中點為，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由已知條件得出，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求得實數(shù)的值.【詳解】因為，則，解得.故選：B.2、A【解析】解設(shè)事件A為：檢測了5人確定為“感染高危戶”，設(shè)事件B為：檢測了6人確定為“感染高危戶”，則，再利用基本不等式法求解.【詳解】解：設(shè)事件A為：檢測了5人確定為“感染高危戶”，設(shè)事件B為：檢測了6人確定為“感染高危戶”，則，，所以，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即，故選：A3、A【解析】設(shè)出點坐標(biāo)，求得、所在直線的斜率，由斜率之積是列式整理即可得到點的軌跡方程，設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義，從而求出的最小值；【詳解】解：設(shè)點坐標(biāo)為，則直線的斜率；直線的斜率由已知有，化簡得點的軌跡方程為又，所以點的軌跡方程為，即點的軌跡為以、為頂點的雙曲線的左支（除點），因為，設(shè)，由雙曲線的定義可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時取得最小值，因為，所以，所以，即的最小值為；故選：A4、C【解析】設(shè)圓的半徑為，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的方程，求出正數(shù)的值，即可得出拋物線的方程.【詳解】設(shè)圓的半徑為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，由勾股定理可得，因為，將代入拋物線方程得，可得，不妨設(shè)點，則，所以，，解得，因此，拋物線的方程為.故選：C.5、D【解析】根據(jù)題意求得，即可判斷AB，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式即可判斷C；再根據(jù)等比數(shù)列前項和公式即可判斷D.【詳解】解：因為各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，，所以，又因是與的等差中項，所以，即，解得或（舍去），故B錯誤；所以，故A錯誤；所以，故C錯誤；所以，故D正確.故選：D.6、A【解析】由題意可得，所給的橢圓中的，的值求出的值，進而判斷所給命題的真假【詳解】解：因為橢圓短的軸兩頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點，即，即，中，，，所以，故，所以正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；故選：7、B【解析】先求出基本事件總數(shù)，和至少有一輛與和車相鄰的對立事件是和都不與和車相鄰，由此能求出和至少有一輛與和車相鄰的概率【詳解】解：某公司門前有一排9個車位的停車場，從左往右數(shù)第三個，第七個車位分別停著車和車，同時進來，兩車，在，不相鄰的條件下，基本事件總數(shù)，和至少有一輛與和車相鄰的對立事件是和都不與和車相鄰，和至少有一輛與和車相鄰的概率：故選：B8、D【解析】若方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得，，故方程表示焦點在軸上的橢圓的概率是，故選D.9、D【解析】根據(jù)扇形圖及柱形圖中的各產(chǎn)業(yè)與各行業(yè)所占比重，得到第三產(chǎn)業(yè)中“其他服務(wù)業(yè)”及“金融業(yè)”的生產(chǎn)總值占總生產(chǎn)總值的比重，進而比較出AB選項，利用“住宿和餐飲業(yè)”生產(chǎn)總值和“房地產(chǎn)”生產(chǎn)總值的比值，求出“房地產(chǎn)”生產(chǎn)總值，判斷出C選項，利用第三產(chǎn)業(yè)中“金融業(yè)”的生產(chǎn)總值與第二產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值比值，求出第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值，判斷D選項.【詳解】A選項，第三產(chǎn)業(yè)中“其他服務(wù)業(yè)”的生產(chǎn)總值占總生產(chǎn)總值的，因為，所以第三產(chǎn)業(yè)中“其他服務(wù)業(yè)”的生產(chǎn)總值明顯高于第一產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值，A錯誤；B選項，第三產(chǎn)業(yè)中“金融業(yè)”的生產(chǎn)總值占總生產(chǎn)總值的，因為，故第一產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值少于第三產(chǎn)業(yè)中“金融業(yè)”的生產(chǎn)總值，B錯誤；“住宿和餐飲業(yè)”生產(chǎn)總值和“房地產(chǎn)”生產(chǎn)總值的比值為，若“住宿和餐飲業(yè)”生產(chǎn)總值為7500億元，則“房地產(chǎn)”生產(chǎn)總值為億元，故C錯誤；第三產(chǎn)業(yè)中“金融業(yè)”的生產(chǎn)總值占總生產(chǎn)總值的，與第二產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)總值比值為，若“金融業(yè)”生產(chǎn)總值為41040億元，則第二產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為166500億元，D正確.故選：D10、D【解析】由題意可得兩點的坐標(biāo)滿足圓，然后由圓的性質(zhì)可得當(dāng)時，弦長最小，當(dāng)過點時，弦長最長，再根據(jù)向量數(shù)量積的運算律求解即可【詳解】設(shè)點，則以A，B為圓心，2為半徑的兩圓方程分別為和，因為兩圓過，所以和，所以兩點的坐標(biāo)滿足圓，因為點與不重合的點A，B共線，所以為圓的一條弦，所以當(dāng)弦長最小時，，因為，半徑為2，所以弦長的最小值為，當(dāng)過點時，弦長最長為4，因為，所以當(dāng)弦長最小時，的最大值為，當(dāng)弦長最大時，的最小值為，所以的取值范圍為，故選：D11、D【解析】根據(jù)題意，解不等式求出集合，由，得，進而求出，從而可求出集合，最后根據(jù)并集的運算即可得出答案.【詳解】解：由題可知，，而，即，解得：，又由于，得，因為，則，所以，解得：，所以，所以.故選：D.【點睛】本題考查集合的交集的定義和并集運算，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】根據(jù)遠地點和近地點，求出軌道即橢圓的半長軸和半焦距，即可求得答案.【詳解】設(shè)橢圓的半長軸為a，半焦距為c.則根據(jù)題意得;解得，故該軌道即橢圓的離心率為，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】先作出可行域，由，得，作出直線，向下平移過點時，取得最大值，求出點坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中可得答案【詳解】作出可行域如圖（圖中陰影部分），由，得，作出直線，向下平移過點時，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故答案為：114、1【解析】利用空間向量求點到平面的距離即可.【詳解】，，∴則點P到平面的距離為.故答案為：1.15、【解析】利用等差中項的定義可求得結(jié)果.【詳解】由等差中項的定義可得.故答案為：.16、##0.75【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線定義用長半軸長和實半軸長表示出撤掉裝置前后的路程，然后由已知可解.【詳解】記橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，由橢圓和雙曲線的定義有：，得，即，又由橢圓定義知，，因為，所以，即所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）基本事件答案見解析，概率為；（2）基本事件答案見解析，概率為.【解析】（1）利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“取出的球的編號之和大于”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（2）利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）記“從盒中任取兩球，取出球的編號之和大于”為事件，樣本點表示“從盒中取出、號球”，且和表示相同的樣本點（以此類推），則樣本空間為，則，根據(jù)古典概型可知，從盒中任取兩球，取出球的編號之和大于的概率為；（2）記“”為事件，樣本點表示第一次取出號球，將球放回，從盒中取出號球（以此類推），則樣本空間，則，所以，故事件“”的概率為.18、（1）（2）【解析】（1）利用兩角和的余弦公式以及輔助角公式可得，再由正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間，整體代入即可求解.（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】，，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】由（1），解得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，所以函數(shù)的最大值為.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率和橢圓經(jīng)過的點建立方程組，求解方程組可得橢圓的方程；（2）先根據(jù)相切求出直線的斜率，結(jié)合可得，再逐個求解，，然后可證結(jié)論.【小問1詳解】解：由題意，解得故橢圓C的方程為.【小問2詳解】證明：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，因為直線與橢圓C相切，所以判別式，即，整理得，所以，故直線的方程為，因為，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組解得故點Q坐標(biāo)為，聯(lián)立方程組，化簡得設(shè)點因為判別式，得又，所以故，于是為定值.【點睛】直線與橢圓的相切問題一般是聯(lián)立方程，結(jié)合判別式為零求解；定值問題的求解一般結(jié)合目標(biāo)式中的項，逐個求解，代入驗證即可.20、（1