2025屆桂林中學高二數學第一學期期末聯考模擬試題含解析

2025屆桂林中學高二數學第一學期期末聯考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．魏晉時期數學家劉徽首創(chuàng)割圓術，他在《九章算術》方田章圓田術中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”這是注述中所用的割圓術是一種無限與有限的轉化過程，比如在正數中的“”代表無限次重復，設，則可以利用方程求得，類似地可得到正數（）A.2 B.3C. D.2．若直線與直線垂直，則a=（）A.-2 B.0C.0或-2 D.13．某考點配備的信號檢測設備的監(jiān)測范圍是半徑為100米的圓形區(qū)域，一名工作人員持手機以每分鐘50米的速度從設備正東方向米的處出發(fā)，沿處西北方向走向位于設備正北方向的處，則這名工作人員被持續(xù)監(jiān)測的時長為（）A.1分鐘 B.分鐘C.2分鐘 D.分鐘4．已知呈線性相關的變量x與y的部分數據如表所示：若其回歸直線方程是，則（）x24568y34.5m7.59A.6.5 B.6C.6.1 D.75．如圖，某鐵路客運部門設計的從甲地到乙地旅客托運行李的費用c（元）與行李質量w（kg）之間的流程圖．已知旅客小李和小張托運行李的質量分別為30kg，60kg，且他們托運的行李各自計費，則這兩人托運行李的費用之和為（）A.28元 B.33元C.38元 D.48元6．已知是定義在上的函數，其導函數為，且，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.7．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點且斜率為的直線與雙曲線在第二象限的交點為，若，則雙曲線的離心率是（）A B.C. D.8．拋物線的焦點為，準線為，焦點在準線上的射影為點，過任作一條直線交拋物線于兩點，則為（）A.銳角 B.直角C.鈍角 D.銳角或直角9．若，則下列等式一定成立的是（）A. B.C. D.10．某中學的“希望工程”募捐小組暑假期間走上街頭進行了一次募捐活動，共收到捐款1200元.他們第1天只得到10元，之后采取了積極措施，從第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.這次募捐活動一共進行的天數為（）A.13 B.14C.15 D.1611．下列命題中正確的是A.命題“若，則”的否命題為：“若，則”B.若命題，是假命題，則實數C.“”的一個充分不必要條件是“”D.命題“若，則”的逆否命題為真命題12．若函數在上為增函數，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與曲線有且僅有一個公共點．則b的取值范圍是__________14．設拋物線的準線方程為__________.15．設函數的導數為，且，則___________16．甲乙參加摸球游戲，袋子中裝有3個黑球和1個白球，球的大小、形狀、質量等均一樣，若從袋中有放回地取1個球，再取1個球，若取出的兩個球同色，則甲勝，若取出的兩個球不同色則乙勝，求乙獲勝的概率為_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知兩點（1）求以線段為直徑的圓C的方程；（2）在（1）中，求過M點的圓C的切線方程18．（12分）某城市一入城交通路段限速60公里/小時，現對某時段通過該交通路段的n輛小汽車車速進行統(tǒng)計，并繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若這n輛小汽車中，速度在50~60公里小時之間的車輛有200輛.（1）求n的值；（2）估計這n輛小汽車車速的中位數；（3）根據交通法規(guī)定，小車超速在規(guī)定時速10%以內（含10%）不罰款，超過時速規(guī)定10%以上，需要罰款.試根據頻率分布直方圖，以頻率作為概率的估計值，估計某輛小汽車在該時段通過該路段時被罰款的概率.19．（12分）已知數列與滿足（1）若，且，求數列的通項公式；（2）設的第k項是數列的最小項，即恒成立．求證：的第k項是數列的最小項；（3）設．若存在最大值M與最小值m，且，試求實數的取值范圍20．（12分）如圖，在平面直角坐標系中，點，，（1）求直線BC的方程；（2）記的外接圓為圓M，若直線OC被圓M截得的弦長為4，求點C的坐標21．（12分）已知點，，設動點P滿足直線PA與PB的斜率之積為，記動點P的軌跡為曲線E（1）求曲線E的方程；（2）若動直線l經過點，且與曲線E交于C，D（不同于A，B）兩點，問：直線AC與BD的斜率之比是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由22．（10分）已知函數.（Ⅰ）求的單調遞減區(qū)間；（Ⅱ）若當時，恒成立，求實數a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設，則，解方程可得結果.【詳解】設，則且，所以，所以，所以，所以或（舍）.所以.故選：A【點睛】關鍵點點睛：設是解題關鍵.2、C【解析】代入兩直線垂直的公式，即可求解.【詳解】因為兩直線垂直，所以，解得：或.故選：C3、C【解析】以設備的位置為坐標原點，其正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立平面直角坐標系，求得直線和圓的方程，利用點到直線的距離公式和圓的弦長公式，求得的長，進而求得持續(xù)監(jiān)測的時長.【詳解】以設備的位置為坐標原點，其正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，可得，圓記從處開始被監(jiān)測，到處監(jiān)測結束，因為到的距離為米，所以米，故監(jiān)測時長為分鐘故選：C.4、A【解析】根據回歸直線過樣本點的中心進行求解即可.【詳解】由題意可得，，則，解得故選：A.5、D【解析】根據程序框圖分別計算小李和小張托運行李的費用，再求和得出答案.【詳解】由程序框圖可知，當時，元；當時，元，所以這兩人托運行李的費用之和為元.故選：D6、B【解析】令，再結合，和已知條件將問題轉化為，最后結合單調性求解即可.【詳解】解：令，則，因為，所以，即函數為上的增函數，因為，不等式可化為，所以，故不等式的解集為故選：B7、B【解析】根據得到三角形為等腰三角形，然后結合雙曲線的定義得到，設，進而作，得出，由此求出結果【詳解】因為，所以，即所以，由雙曲線的定義，知，設，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線的離心率為.故選：B8、D【解析】設出直線方程，聯立拋物線方程，利用韋達定理，求得，根據其結果即可判斷和選擇.【詳解】為說明問題，不妨設拋物線方程，則，直線斜率顯然不為零，故可設直線方程為，聯立，可得，設坐標為，則，故，當時，，；當時，，；故為銳角或直角.故選：D.9、D【解析】利用復數除法運算和復數相等可用表示出，進而得到之間關系.【詳解】，，，則.故選：D.10、C【解析】由題意可得募捐構成了一個以10元為首項，以10元為公差的等差數列，設共募捐了天，然后建立關于的方程，求出即可【詳解】由題意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，募捐構成了一個以10元為首項，以10元為公差的等差數列，根據題意，設共募捐了天，則，解得或（舍去），所以，故選：11、C【解析】．命題的否定是同時否定條件和結論；．將當成真命題解出的范圍，再取補集即可；．求出“”的充要條件再判斷即可；．判斷原命題的真假即可【詳解】解：對于A：命題“若，則”的否命題為：“若，則“，故A錯誤；對于B：當命題，是真命題時，，所以，又因為命題為假命題，所以，故B錯誤；對于C：由“”解得：，故“”是“”的充分不必要條件，故C正確；對于D：因為命題“若，則”是假命題，所以其逆否命題也是假命題，故D錯誤；故選：C12、C【解析】求出函數的導數，要使函數在上為增函數，要保證導數在該區(qū)間上恒正即可，由此得到不等式,解得答案.詳解】由題意可知，若在遞增，則在恒成立，即有，則，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或.【解析】根據曲線方程得曲線的軌跡是個半圓，數形結合分析得兩種情況：（1）直線與半圓相切有一個交點；（2）直線與半圓相交于一個點，綜合兩種情況可得答案.【詳解】由曲線，可得，表示以原點為圓心，半徑為的右半圓，是傾斜角為的直線與曲線有且只有一個公共點有兩種情況：（1）直線與半圓相切，根據，所以，結合圖像可得；（2）直線與半圓的上半部分相交于一個交點，由圖可知.故答案為：或.【點睛】方法點睛：處理直線與圓位置關系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何法；若方程中含有參數，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數法；如果或有限制，需要數形結合進行分析.14、【解析】由題意結合拋物線的標準方程確定其準線方程即可.【詳解】由拋物線方程可得，則，故準線方程為.故答案為【點睛】本題主要考查由拋物線方程確定其準線方法，屬于基礎題.15、【解析】，而，所以，，故填：.考點：導數16、##0.375【解析】先算出有放回地取兩次的取法數，再算出取出兩球不同色的取法數，根據古典概型的概率公式計算即可求得答案.【詳解】有放回地取兩球，共有種取法，兩次取球不同色的取法有種，故乙獲勝的概率為，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）求出圓心和半徑即可得到答案；（2）根據題意先求出切線的斜率，進而通過點斜式求出切線方程.【小問1詳解】由題意，圓心，半徑，則圓C的方程為：.【小問2詳解】由題意，，則切線斜率為-1，所以切線方程為：.18、（1）（2）（3）【解析】（1）根據已知條件，結合頻率與頻數的關系，即可求解（2）根據已知條件，結合中位數公式，即可求解（3）在這500輛小車中，有40輛超速，再結合古典概型的概率公式，即可求解【小問1詳解】解：由直方圖可知，速度在公里小時之間的頻率為，所以，解得【小問2詳解】解：設這輛小汽車車速的中位數為，則，解得小問3詳解】解：由交通法則可知，小車速度在66公里小時以上需要罰款，由直方圖可知，小車速度在之間有輛，由統(tǒng)計的有關知識，可以認為車速在公里小時之間的小車有輛，小車速度在之間有輛，故估計某輛小汽車在該時段通過該路段時被罰放的概率為19、（1）（2）證明見解析．（3）【解析】（1）由已知關系得出是等差數列及公差，然后可得通項公式；（2）由已知關系式，利用累加法證明對任意的，恒成立，即可得（3）由累加法求得通項公式，然后確定的奇數項和偶數項的單調性，得出數列的最大項和最小項，再利用已知范圍解得的范圍【小問1詳解】由已知，是等差數列，公差為6，所以；【小問2詳解】對任意的，恒成立，而恒成立，若，則，恒成立，同理若，也有恒成立，所以對任意的，恒成立，即是最小項；【小問3詳解】時，，所以，也適合此式所以，若，則，，，即，，若，由于，且是正負相間，因此無最大項也無最小項因此有，所以的奇數項數列是遞增數列，且，，的偶數項數列是遞減數列，且，，所以的最大值是，最小項是，，由，又，所以20、（1）；（2）.【解析】(1)延長CB交x軸于點N，根據給定條件求出即可計算作答.(2)利用待定系數法求出圓M的方程，再由給定弦長確定C點位置，推理計算得解.【小問1詳解】延長CB交x軸于點N，如圖，因，則，又，則有，又，于是得，則直線BC的傾斜角為120°，直線BC的斜率，因此，，即所以直線BC的方程為.【小問2詳解】依題意，設圓M的方程為，由(1)得：，解得，于是得圓M的方程為，即，圓心，半徑，因直線OC被圓M所截的弦長為4，則直線OC過圓心，其方程為，由解得，即，所以點C的坐標是.21、（1）；（2）直線AC和BD的斜率之比為定值【解析】（1）設，依據兩點的斜率公式可求得曲線E的方程（2）設直線l：，，，聯立方程得，得出根與系數的關系，表示直線AC的斜率，直線BD的斜率，并代入計算，可得其定值.【詳解】解：（1）設，依題意可得，所以，所以曲線E的方程為（2）依題意，可設直線l：，，，由，可得，則，，因為直線